新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题8-1 立体几何中外接球内切球问题（含解析）

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专题8-1立体几何中外接球内切球问题
目录
专题8-1立体几何中外接球内切球问题 1
1
题型一：外接球公式法 1
题型二：外接球补型法 4
题型三：外接球单面定球心法 10
题型四：外接球双面定球心法 18
题型五：内切球问题 25
34
一、单选题 34
二、多选题 41
三、填空题 45


题型一：外接球公式法
【典例分析】

例题1．（2023·陕西西安·高三期末（理））长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为（    ）
A．24π B．32π C．36π D．48π
【答案】C
【详解】设长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，解得，，所以长方体外接球的半径为，所以外接球的体积为.
故选：C.
例题2．（2022·广东珠海·高一期末）一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为正方体的棱长为，所以其体对角线为，
所以外接球的直径即为，即外接球的半径，
所以外接球的体积；
故选：D
例题3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））若体积为12的长方体的每个顶点都在球的球面上，且此长方体的高为2，则球的表面积的最小值为___________.
【答案】
【详解】设长方体长和宽分别为，球的半径为，所以
所以，故
所以表面积，当时，等号成立.
即球的表面积的最小值为
故答案为：
【提分秘籍】

①长方体外接球：在长方体中，设一个顶点出发的三条边长分别为：，，，则长方体外接球半径
②正方体外接球：在正方体中，设边长为，则正方体外接球半径
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积
故选：C.
2．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（文））已知长方体的外接球的表面积为，若，，则直线与直线所成角的余弦值为__________．
【答案】##
【详解】设长方体的外接球半径为，则，可得，
则，，
连接、，如下图所示：

因为且，故四边形为平行四边形，则，
故直线与直线所成角为或其补角，
由勾股定理可得，，
，
由余弦定理可得，
因此，直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
3．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）
【答案】
【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为.
故答案为：.

题型二：外接球补型法
【典例分析】
例题1．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为__________．
【答案】
【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱，且对棱中点E，F分别满足，，
则可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球
如下图所示：

设长方体的长、宽、高分别为
则，
所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为.
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，

设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，
因此三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：A
例题3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为___________；若､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最大值为___________.
【答案】     3    
【详解】由已知可证明，，两两垂直且长度均为，

所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，

设外接球的半径为，则.
设三棱锥外接球球心为，内切球球心为，内切球与平面的切点为，易知：，，三点均在上，且平面，
设内切球的半径为，由等体积法：
，得，
将几何体沿截面切开，得到如下截面图：

两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到，，
∴，∴，两点间距离的最大值为.
故答案为：3；
【提分秘籍】
①墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公式法求解外接球问题；
②对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公式法求解外接球问题；

【变式演练】
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知：三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示：

又因为，
所以长方体的体对角线长为，
所以外接球的半径为：，
所以外接球的表面积为，
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于三棱锥中，平面ABC，，，
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：

则体对角线即为外接球的直径，
所以，
故三棱锥的外接球表面积为．
故选：D
3．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（理））已知三棱锥中， 面， 则三棱锥的外接球的体积为___________.
【答案】
【详解】
由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，
所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
由图可知长方体的长宽高分别为，
所以体对角线长，
所以外接球的体积等于.
故答案为:.
4．（2022·湖北·高二期中）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，，，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．
【答案】50π
【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A﹣BCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，且分别以a，b，c为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，
并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，
设球半径为R，则有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，
∴4R2＝50，
∴球的表面积为．
故答案为：．

题型三：外接球单面定球心法
【典例分析】

例题1．（2022·福建·高三阶段练习）在正三棱锥中，为的中心，已知，，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设侧棱长为x，且易知

则，
因为，则,所以，解得，
所以，
设球心为M，则MP=MA=R，，
因为，所，解得，所以表面积，
故选：A.
例题2．（2022·四川·泸州市龙马高中高二阶段练习（文））在三棱锥中，，平面，则三棱锥的外接球的体积为______．
【答案】##．
【详解】解：如图所示，设底面的中心为, 连接,取的中点，连接.
由正弦定理得.
因为
因为AC⊥平面PAB，平面PAB，所以,
所以四边形是矩形，所以.
所以球的半径为.
所以外接球O的体积为.
故答案为：

例题3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）在四面体中，，，，设，则该几何体的外接球的体积为_________
【答案】
【详解】如图,该四面体的外接球的球心O必经过△ABC外接圆的圆心且垂直于平面ABC的直线上,且到A,P的距离相等.

在△ABC中,由余弦定理得：.
由正弦定理得：,解得：
而，所以.
即该几何体的外接球的半径.
所以外接球的体积为.
故答案为：.
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形），求出三角形外接圆圆心
如图：若为直角三角形，则外接圆圆心在斜边的中点上；
若为正三角形，则外接圆圆心在重心位置；
若为普通三角形，则利用正弦定理,确定出的位置
②第二步：过点作出平面的垂线，如图为，则球心在直线上；
③计算：在中，利用勾股定理求出外接球半径


【变式演练】
1．（2022·贵州·高三阶段练习（理））设三棱锥满足，且，当三棱锥体积最大时，则三棱锥外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】中，，则在以为弦，所对圆周角为的圆上的一段优弧上，如图，易知当即为等边三角形时，到的距离最大为，
当不变时，假设于，当平面平面，从而平面时，点到平面的距离最大为，也即三棱锥的高最大，从而体积最大，
此时是中点，连接，，，
设是外心，则，，，
过作平面的垂线，则三棱锥的外接球球心在此垂线上，设是三棱锥的外接球球心，如图，连接，
，易得，设外接球半径为，即，
在直角梯形和直角三角形中，，
，解得，
球表面积为．
故选：B．

2．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知三棱锥中，，，，则它的外接球的表面积为______.
【答案】##
【详解】解：三棱锥中，，，，
所以，为等边三角形，且，
所以
因为平面，
所以平面，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，的外心为，连接，如图，
由球的性质可知平面，
所以，
因为，在中，由正弦定理得，
所以，即，
所以，三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：

3．（2022·江苏·常州市第一中学高三阶段练习）已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，点M在上，且，那么外接球的半径为______；过点M作四边形外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.
【答案】          ##
【详解】空1：
由题意知和为等边三角形，取中点E，连，，则，
平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
同理可证：平面，
设外接球的球心为O，半径为R，
分别取、的中心、，连接，
则平面，平面，
∴，，则为平行四边形，
由题意可得：，
又∵平面，平面，
∴，
故，
空2：
连，
∵，，，则H，O，M三点共线，
∴，
设过M作四边形外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d，则，即，
∵，则有：
当时，此时截面过球心，取到最大值，截面的面积最大为；
当时，取到最小值，截面的面积最小为；
故截面面积最大值和最小值之比为.
故答案为：；.

4．（2022·山西运城·高三期中）已知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.
【答案】         
【详解】已知正四棱锥内切球的体积为，设球体的半径为，，解得，设正四面体的高为，如图所示，

因为球与四棱锥相内切，所以由等体积法得：，
在中，，，即，化简得：，
解得，，设正四棱锥外接球的半径为，外接球的球心为，在中，，解得，所以正四棱锥外接球的表面积为.
故答案为：①；②
题型四：外接球双面定球心法
【典例分析】
例题1．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取中点，则，
∴平面，，又，∴，作，设点轨迹所在平面为，则平面经过点且，设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，易知平面平面，且四点共面，由题可得，，解Rt，得，又，则三棱锥外接球半径，易知到平面的距离，

故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为．
故选：C
例题2．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.
【答案】
【详解】
取的中点为分别是正三角形和正三角形的重心，
是该三棱锥外接球的球心，连接,
则分别在上，平面，平面，，，
因为平面平面，，平面平面，平面
所以平面，所以，同理可得，所以四边形是平行四边形，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，平面，
所以，
∵，
∴，
∴四边形为正方形，∴，
在直角三角形中，球半径
∴外接球体积为，
故答案为：
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形），求出三角形外接圆圆心
如图：若为直角三角形，则外接圆圆心在斜边的中点上；
若为正三角形，则外接圆圆心在重心位置；
若为普通三角形，则利用正弦定理,确定出的位置
②第二步：过点作出平面的垂线；
③第三步：重复上述两步，再做一条垂线；
④第四步：两条垂线的交点为球心


【变式演练】
1．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取中点，连接，
则，平面
∴平面，，又，
∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，

设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt ，得，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：.
2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知四边形是边长为3的菱形且一个内角为，把等边沿折起，使得点到达点，则三棱锥体积最大时，其外接球半径为______．
【答案】
【详解】如图，取中点G，连接

当三棱锥体积最大时，平面平面，
此时平面，从而．
又四边形是边长为3且一个内角为的菱形，为等边三角形
所以与是边长为3等边三角形，
所以，
设分别为与的外接圆圆心，圆的半径为 ，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥的外接球球心，设球的半径为，且此时分别为等边与等边的中心，
所以
由此得到四边形为正方形，所以
所以，
所以外接球半径，
所以三棱锥的体积最大时，其外接球半径.
故答案为：.
3．（2022·福建·高二期中）已知菱形的各边长为，如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，若则三棱锥的体积为___________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为___________.

【答案】          ##
【详解】取中点，连接，则，平面，
∴平面，，
又，，
∴，则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作于，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，

设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：；.
题型五：内切球问题
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；
设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，
则有，也即，解得：，
正三棱锥的体积，
也即，解得：，
所以，
故选：B.
例题2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.
故选：A.

例题3．（2022·河南·高二阶段练习）已知正四面体的棱长为12，球内切于正四面体是球上关于球心对称的两个点，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】
设点在平面内的射影为，点在平面内的射影为，点在平面内的射影为，如图1.
因为正四面体的棱长为12，所以.
设球的半径为.
因为，所以，则.

，当且仅当时，等号成立.
过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图2.圆的半径为是关于点对称的两个点，且.
.
，当且仅当直线与圆相切时，等号成立.
，当且仅当时，
等号成立.
因为以上取等条件可以同时成立，所以.
【提分秘籍】
①等体积法：将空间几何体拆分为以内切球球心为顶点的多个几何体，再利用等体积法求出内切球半径，主要用于多面体内切球问题；
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：

即：，可求出.
②独立截面法：主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面），在截面中求出内切球的半径.
【变式演练】
1．（2022·浙江台州·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形，
所以四棱锥的内切球在等边三角形的“正投影”是等边三角形的内切圆，
设等边三角形的内切圆半径为，
则，解得，
所以内切球的半径为，其表面积为.
故选：D
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（    ）

A．圆锥的表面积是 B．球的体积是
C．四棱锥体积的最大值为 D．的最大值为
【答案】BCD
【详解】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，

正内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心都在线段上，连，
，则球O的半径，显然，，
，，
对于A，圆锥的表面积是，A错误；
对于B，球O的体积是，B正确；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥的体积最大，
，当且仅当，即时取“=”，
则四棱锥体积的最大值为，C正确；
对于D，因，则有，即，因此，
由均值不等式得：，即，当且仅当时取“=”，D正确.
故选：BCD
3．（2023·江西江西·高三阶段练习（理））如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的体积和为__________.

【答案】
【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接，

则为正四面体内切球的半径，
因为，，，
所以，
所以，解得，
所以正四面体内切球的体积，
由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径，
故最大球体积为；
中等球内切于高的正四面体中，中等球半径，
故中等球的体积为；
最小求内切于高的正四面体中，最小球半径，
故最小求的体积为；
所以九个球的体积和，
故答案为：.
4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和.

【答案】
【详解】作正方体的对角面，得如图所示的截面图:其中AB,CD为正方体的棱，AD,BC为正方体的面对角线，AC为体对角线，

球心和在上，过分别作的垂线交于E，F两点.
设小球半径为r，大球半径为R,则由题意知，
得，
∴，
∴，即两球半径之和为.

一、单选题
1．（2022·重庆市永川北山中学校高三期中）在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ）
A．100π B．50π C．144π D．72π
【答案】A
【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：

则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，
∵，
∴外接球的表面积为：．
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体. 若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，正八面体的棱长为，
根据正八面体的性质可知：，
所以是外接球的球心，且半径，
所以外接球的体积为.
故选：A

3．（2022·江苏扬州·高三期中）古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以 .
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】平面截球的截面为的内切圆，

正方体棱长为1，.
内切圆半径.
截面面积为：.
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为，则此圆台的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图为圆台及其外接球的轴截面，为外接球球心，，为等腰梯形的下底和上底的中点，所以，，
因为外接球的表面积为，所以外接球的半径为，圆台下底面半径为4，所以，，则，，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，设，

，，，
，
， ∴长轴长，，
则离心率.
故选：A
7．（2022·广东广州·高三阶段练习）在正四棱台中，上､下底面边长分别为，侧棱长为，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图：连接，记其交点为，
则为正方形的外接圆的圆心，连接记其交点为，
由正四棱台的性质可得平面，
设该正四棱台的外接球的球心为，由球的截面性质可得平面，
所以球心在直线上，设，
则，，，
所以，由已知，，，
因为底面，都为正方形可得，，
过点作，垂足为，则，
又，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以正四棱柱的外接球的半径为5，其外接球的表面积，
故选：C.

8．（2022·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（    ）
.
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，

由已知可得， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心，
连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故，
解得，故正四面体的外接球的半径.
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，

从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，解得,
故选：A
二、多选题
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（    ）

A．外接球的表面积为
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点作平面截圆锥OP的截面面积的最大值为2
D．设母线中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为
【答案】ABD
【详解】设母线长为，侧面积为，所以.
所以，为等边三角形.
则圆锥的轴截面的内切圆半径即为圆锥内切球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径，如图1

图1
设内切球的半径为，外接球的半径为，
则，
又，
所以，.
由正弦定理可得，在中，，即，则.
所以，外接球的表面积为，A正确.
因为，，，所以，B项正确.
显然，过点作平面截圆锥OP的截面均为腰长为等腰三角形，如图2，在底面圆上任取一点，易知.
所以，，即最大面积为，C项错误.

图2
将圆锥侧面沿剪开，得到的扇形的半径，弧长，
则扇形的圆心角，如图3所示.

图3
连结，即为最近路线，在中，有，，
所以，，D项正确.
故选：ABD.
10．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（    ）
A．正四面体的外接球的表面积为 B．正四面体的内切球的体积为
C．正四面体的棱长为12 D．线段MN的最大值为
【答案】BC
【详解】依题作出图形，如下：

设正四面体的棱长为a，
则它的外接球与内切球的球心重合，则它的外接球和内切球的球心重合，
作平面BCD，垂足为G，则G为的重心，且，
则正四面体的高为，
设正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，
由图可知，，解得，
，
依题可得，即，解得，故C正确；
正四面体的外接球的表面积为，故A错误；
正四面体的内切球的体积为，故B正确；
线段MN的最大值为，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）在四边形中， ， 为等边三角形，将沿边 折起，使得，则三棱锥外接球的体积为______.
【答案】##
【详解】取中点M，连接，

因为，所以 ,
为等边三角形，则，而，
故，,
由题意知为等边三角形，，M为中点，
故,,而平面,
故平面,又平面 ,故平面平面,
过D作平面的垂线，垂足为N，因为平面平面,
所以N点一定落在直线上，则,
,又，故，
即M为的中点，且M为外接圆圆心，
设三棱锥外接球的球心为O，则点O一定在过点M垂直于平面的直线上，
设外接球半径为R，则,①,
作为垂足，则为矩形，故 ,
所以,②,
②联立解得，
故答案为：
12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在三棱锥中，二面角和的大小都为，，，，则三棱锥的外接球与内切球的表面积的比值为__________.
【答案】
【详解】如图，作平面，垂足为，过作，垂足为，

所以为二面角的平面角，由，大小均为知，点到直线距离相等，即点是的内切圆圆心，设半径为则，
又因为在中，，，，
所以为直角三角形，
，
所以，
设中点为，过作直线的平行线，
所以三棱锥外接球球心在直线上且位于平面下方，
在直角中，过作交于，作交于，
连接，所以与全等，，
因为是中点，
所以，
所以，
所以在直角中，，
设，
所以
又因为，
所以，
解得，
所以，
设内切球半径为，
因为,
所以，
所以，
所以,
故答案为：.
13．（2022·全国·高三专题练习）在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】，正三棱锥中，所以，
侧面是正三角形，则正三棱锥为正四面体．
将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为，
则其外接球的半径，所以该正三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．

14．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（文））连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.

【答案】
【详解】解：不妨设正方体边长为2，则正方体内切球半径，
正八面体边长为，它的内切球球心为正方体中心，记正八面体内切球半径为，
将正八面体分为8个以为顶点的三棱锥，
故，
解得，
所以该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为.
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.
【答案】##
【详解】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，
又因为AB⊥AC，所以设，所以.，因为，所以 △ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当 “”时取等.
当时，底面△ABC周长最小，所以，所以
，所以此时
△ABC周长的最小值：.
故答案为：.
16．（2022·广西柳州·三模（文））已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为a、b、c，则该四面体的体积计算公式为，，其中．在等腰四面体A－BCD中，，，，则该四面体的内切球表面积为_________．
【答案】##
【详解】在中，设，
由余弦定理得，
，
∴，
四面体的体积，
∵△ABC为锐角三角形，∴，
，，
，
设四面体内切球半径为r，
∵四面体的四个面全等，则，解得，
∴内切球表面积为.
故答案为：.
17．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．
【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内切球半径为，
作出圆锥的轴截面如下图所示：

设，，，
，，，又，
，，
，
则圆锥表面积，圆锥内切球表面积，
所求比值为，
令，则，
当时，取得最大值.
故答案为：.