新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题9-2 圆锥曲线（解答题）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4348" 专题9-2圆锥曲线（解答题） PAGEREF _Tc4348 \h 1
\l "_Tc27599" PAGEREF _Tc27599 \h 1
\l "_Tc22528" 题型一：中点弦问题 PAGEREF _Tc22528 \h 1
\l "_Tc25821" 题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题 PAGEREF _Tc25821 \h 7
\l "_Tc13224" 题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题 PAGEREF _Tc13224 \h 17
\l "_Tc27148" 题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题 PAGEREF _Tc27148 \h 25
\l "_Tc5574" 题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题 PAGEREF _Tc5574 \h 35
\l "_Tc16476" 题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题 PAGEREF _Tc16476 \h 44
\l "_Tc10235" PAGEREF _Tc10235 \h 53
题型一：中点弦问题
【典例分析】
例题1．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且弦 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
例题2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）动点 SKIPIF 1 < 0 与定点 SKIPIF 1 < 0 的距离和它到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的比是 SKIPIF 1 < 0 ，记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请问点 SKIPIF 1 < 0 能否为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，并说明理由.
【提分秘籍】
中点弦问题常用方法：
①点差法（回代检验）
②联立，借助韦达定理.
【变式演练】
1．（2022·高二课时练习）已知：椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，求：
（1）以 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
2．（2022春·广西·高二校联考阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 方程，若不存在，请说明理由．
3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 且过点F，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若线段AB的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的方程．
题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题
【典例分析】
例题1．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .设点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，射线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
例题2．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求坐标原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的取值范围；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点，过点 SKIPIF 1 < 0 作与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值.
【提分秘籍】
①面积公式： SKIPIF 1 < 0 （其中底可以选择弦长，利用弦长公式求解，高可以利用点到
直线的距离公式求解）
②面积也可以通过分割求解.
③涉及到面积最值时，通常可以考虑基本不等式，转化为一元二次函数，求导等方法，求最值。
【变式演练】
1．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为原点），求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
2．（2022春·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,离心率 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)如图,若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 过双曲线的左焦点,分别交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点,求 SKIPIF 1 < 0 的值,并求出 SKIPIF 1 < 0 外接圆的方程
3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知双曲线C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过 SKIPIF 1 < 0 点，过双曲线C的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，做倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为左焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
4．（2022春·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线C： SKIPIF 1 < 0 上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补．
(1)证明：直线AB的斜率为定值；
(2)当△PAB为直角三角形时，求△PAB的面积．
题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二假期作业）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称这两个椭圆相似， SKIPIF 1 < 0 称为其相似比．
(1)求经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相似的椭圆方程．
(2)设过原点的一条射线 SKIPIF 1 < 0 分别与（1）中的两个椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点（其中点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上），求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值．
例题2．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上（ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）.
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 引圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，切线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的另一交点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标记为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【提分秘籍】
解析几何中求参数的范围常用工具：
①基本不等式；②转化为一元二次函数型；③求导
【变式演练】
1．（2022春·江西·高二统考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3， SKIPIF 1 < 0 的最小值为1.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点 SKIPIF 1 < 0 ，它的两条渐近线分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围.
3．（2022秋·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离不小于 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题
【典例分析】
例题1．（2022·天津南开·统考三模）已知焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，中心在原点，离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （不与点 SKIPIF 1 < 0 重合）均在椭圆上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点，并求这个定点的坐标．
例题2．（2022春·山东菏泽·高二校考期中）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？若是过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由.
【提分秘籍】
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，常利用直线的点斜式方程 SKIPIF 1 < 0 或截距式 SKIPIF 1 < 0 来证明.
【变式演练】
1．（2022·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆于P，Q两点，直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
2．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022春·江西抚州·高二校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
4．（2022秋·云南昆明·高二校联考期中）已知一个边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题
【典例分析】
例题1．（2022春·北京西城·高三北京师大附中校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，连接椭圆 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点所成的四边形的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程和离心率；
(2)已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
例题2．（2022春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 与该双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴相交的两点关于原点对称，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
例题3．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的最小值为4．
(1)求抛物线的方程：
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若是，求出该定值，否则，请说明理由．
【提分秘籍】
求定值问题常见的解题方法有两种：
①先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
②引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
【变式演练】
1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴比短轴长2，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，过点P的直线l与C交于A，B两点，延长 SKIPIF 1 < 0 到D，延长 SKIPIF 1 < 0 到E，且满足 SKIPIF 1 < 0 轴．证明：D，E两点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之积为定值．
2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 的距离大2，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，求直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率的比值.
3．（2022春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）若抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 到它的焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的标准方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线C相交于A，B两点.求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，面积为2.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，不经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且斜率 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出定点的坐标.
【提分秘籍】
求定线问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．
②“设而不求”．
【变式演练】
1．（2022·江西萍乡·统考一模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．如图所示，斜率为 SKIPIF 1 < 0 且过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在射线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，它的右顶点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，经过点 SKIPIF 1 < 0 且不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的两点，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点必在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 同时相切.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的右边），过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
1．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知定点 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线和半径 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
2．（2022春·山东滨州·高二校考期中）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线C上，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
3．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.
4．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 在一条定抛物线上．
5．（2022春·陕西西安·高二统考期中）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的两点．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 轴上一定点．
6．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，A为椭圆与y轴交点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为 SKIPIF 1 < 0
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于 SKIPIF 1 < 0 ，N两点，点 SKIPIF 1 < 0 ，记直线PM的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线PN的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求证直线 SKIPIF 1 < 0 恒过一定点？
7．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）设椭圆中心在原点 SKIPIF 1 < 0 上，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 到两焦点的距离的和等于 SKIPIF 1 < 0 ：
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)在（2）的结论下，求 SKIPIF 1 < 0 的长.
8．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离与到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离之差为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的两个动点，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 为垂足.证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.
9．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点是 SKIPIF 1 < 0 ,且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,点P是椭圆C上任一点,且 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
10．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，不过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
11．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 .设点 SKIPIF 1 < 0 ​为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，射线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ​.
(1)求证: SKIPIF 1 < 0 ​;
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
12．（2022春·湖北恩施·高二校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点A是C的左顶点， SKIPIF 1 < 0 ，C的离心率为2.
(1)求C的方程；
(2)直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点.
13．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率存在的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
14．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.