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新高考数学二轮复习讲义专题19 直线和圆(2份打包,原卷版+解析版)
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1.直线方程的五种形式
2.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
(ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))的解.
3.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=eq \r(x2-x12+y2-y12).
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=eq \f(|Ax0+By0+C|,\r(A2+B2)).
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=eq \f(|C1-C2|,\r(A2+B2)).
4圆的定义与方程
5.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.(最重要)
d
(2)代数法:eq \(――――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ=b2-4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交,=0⇔相切,<0⇔相离))
6.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=req \\al(2,1)(r1>0),
O2:(x-a2)2+(y-b2)2=req \\al(2,2)(r2>0)
【方法技巧】
处理定点问题的思路:
(1)确定题目中的核心变量(此处设为 SKIPIF 1 < 0 ),
(2)利用条件找到 SKIPIF 1 < 0 与过定点的曲线 SKIPIF 1 < 0 的联系,得到有关 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等式,
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点 SKIPIF 1 < 0 ,使得无论 SKIPIF 1 < 0 的值如何变化,等式恒成立,此时要将关于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等式进行变形,直至找到 SKIPIF 1 < 0 ,
①若等式的形式为整式,则考虑将含 SKIPIF 1 < 0 的式子归为一组,变形为“ SKIPIF 1 < 0 ”的形式,让括号中式子等于0,求出定点;
②若等式的形式是分式,一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系,可消去 SKIPIF 1 < 0 变为常数.
【核心题型】
题型一:待定系数法求直线方程
1.(2022·北京·统考模拟预测)已知圆 SKIPIF 1 < 0 ,直线l过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ,则“直线l与圆C相切”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简“直线l与圆C相切”得到 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ,再利用充分条件必要条件的定义判断得解.
【详解】当直线l没有斜率时, SKIPIF 1 < 0 ,与圆不相切.
当直线l有斜率时,设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由题得 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 .
所以“直线l与圆C相切”成立,则“ SKIPIF 1 < 0 ”不一定成立;“ SKIPIF 1 < 0 ”成立,则“直线l与圆C相切”成立.
所以“直线l与圆C相切”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件.
故选:B
2.(2023秋·北京石景山·高三统考期末)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于A,B两点,则线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ,圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
因此直线 SKIPIF 1 < 0 的垂直垂直平分线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的垂直垂直平分线方程为: SKIPIF 1 < 0 ,
故选:A
3.(2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测)已知直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 ,且被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为4,则直线l的方程是 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】考虑直线斜率不存在和存在两种情况,验证后得到 SKIPIF 1 < 0 满足要求,当斜率存在时,设出直线方程,利用点到直线距离公式列出方程,求出 SKIPIF 1 < 0 ,得到答案.
【详解】圆的标准方程为: SKIPIF 1 < 0 ,
由题意圆心到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0
(1)当直线的斜率不存在时,直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ,符合题意,
(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,则直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
综上,直线 l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
题型二:已知两直线位置求参数或者范围
4.(2023·吉林·东北师大附中校考二模)直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,当原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时, SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出直线 SKIPIF 1 < 0 所过定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标,分析可知当 SKIPIF 1 < 0 时,原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大,利用两直线垂直斜率的关系可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】直线方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大,且 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
5.(2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末)已知圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,且圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上,直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ,则过圆心 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线的方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用已知弦长先求圆心坐标,然后可求过圆心与直线L垂直的直线的方程.
【详解】由题意,设所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,并设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
则由题意知: SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
∵圆心 SKIPIF 1 < 0 在所求的直线上,所以有 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
故所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选∶A.
6.(2023·吉林·统考二模)已知 SKIPIF 1 < 0 ,若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A.1B.3C.8D.9
【答案】D
【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得 SKIPIF 1 < 0 ,在利用基本不等式即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】由题可知,两条直线斜率一定存在,
又因为两直线垂直,所以斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时,等号成立;
因此 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D
题型三:直线的定点问题
7.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ,若在直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】设出 SKIPIF 1 < 0 点坐标,由 SKIPIF 1 < 0 进行化简,结合二次函数的性质求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】对于直线 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,
设 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
根据二次函数的性质可知,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最大值,
且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A
8.(2023·贵州毕节·统考一模)已知点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线,切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.1D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意,设 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一点,由圆的切线的性质得点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上,求出该圆的方程,与圆C的方程联立可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程,将其变形分析可得直线 SKIPIF 1 < 0 恒过的定点,由点到直线的距离分析可得答案.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 与圆相离;
设 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一点,则 SKIPIF 1 < 0 ,
过点P作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线,切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 ,
则点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上,
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
则其方程为 SKIPIF 1 < 0 ,变形可得 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,可得: SKIPIF 1 < 0 ,
又由 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 ,
变形可得 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,由于 SKIPIF 1 < 0 ,故点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内,
则 SKIPIF 1 < 0 时,C到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大,
其最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选∶B
题型四:直线有关的对称问题
9.(2023秋·贵州贵阳·高三统考期末)若 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点,当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离取得最大值时,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出直线 SKIPIF 1 < 0 所过定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标,分析可知当 SKIPIF 1 < 0 为射线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的交点且 SKIPIF 1 < 0 时,点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大,求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率,可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,
将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程变形为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,如下图所示:
当 SKIPIF 1 < 0 为射线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的交点且 SKIPIF 1 < 0 时,点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
10.(2023·北京平谷·统考模拟预测)点M、N在圆 SKIPIF 1 < 0 上,且M、N两点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,则圆C的半径( )
A.最大值为 SKIPIF 1 < 0 B.最小值为 SKIPIF 1 < 0 C.最小值为 SKIPIF 1 < 0 D.最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程,得出圆心坐标和半径的表达式,利用已知条件,得到圆心在直线上,结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 经过圆心 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
故有 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,圆C的半径的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
11.(2023·陕西西安·校考模拟预测) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,一束光线从点 SKIPIF 1 < 0 出发射到 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 ,经 SKIPIF 1 < 0 反射后,再经 SKIPIF 1 < 0 反射,落到线段 SKIPIF 1 < 0 上(不含端点),则 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,再数形结合得到点 SKIPIF 1 < 0 的变动范围,从而得到 SKIPIF 1 < 0 ,由此得解.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
同理可得:
点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,
点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,
如图所示:
利用光线反射的性质可知,当这束光线反射后最终经过点 SKIPIF 1 < 0 时,则其先经过点 SKIPIF 1 < 0 ;当这束光线反射后最终经过点 SKIPIF 1 < 0 时,则其先经过点 SKIPIF 1 < 0 ;
所以点 SKIPIF 1 < 0 之间为点 SKIPIF 1 < 0 的变动范围,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 ,即直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在,而 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D
12.(2023秋·江西吉安·高三统考期末)已知点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】求出直线 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称直线 SKIPIF 1 < 0 ,由于直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时,圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大, SKIPIF 1 < 0 取最小值可得答案.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴直线 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 ,即直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内,
圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时,圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大, SKIPIF 1 < 0 取最小值,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
题型五:几何法求圆的方程
13.(2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末)已知点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点,点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个不同的动点,且 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A.11B.12C.13D.14
【答案】A
【分析】由圆内的弦长求得圆心O到弦中点Q的长即得点Q的轨迹方程,从而转化成求两圆上任意两点间距离的最小值.
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以点 SKIPIF 1 < 0 在以原点 SKIPIF 1 < 0 为圆心,1为半径的圆上,即:方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A.
14.(2023·全国·高三专题练习)已知 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上两点,且 SKIPIF 1 < 0 .若存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 恰为 SKIPIF 1 < 0 的中点,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据直线与圆相交弦长可得 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为圆 SKIPIF 1 < 0 ,又根据直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可确定 SKIPIF 1 < 0 ,交点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 恰为 SKIPIF 1 < 0 的中点,即圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点,根据圆与圆的位置关系即可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】解:圆 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 恰为 SKIPIF 1 < 0 的中点,直线与圆相交弦长 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .
又直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
则点 SKIPIF 1 < 0 是两垂线的交点,所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上,则圆心 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹要除去点 SKIPIF 1 < 0 ,
由已知得圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
15.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,动圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切,则面积最大的圆的标准方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】据题意分析可知直线经过定点 SKIPIF 1 < 0 ;圆的圆心到直线距离的最大时,圆的半径最大,即可得到面积最大的圆的标准方程.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 直线方程为: SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 直线经过定点 SKIPIF 1 < 0 ,
易知: SKIPIF 1 < 0 圆的半径最大时,圆的面积最大, SKIPIF 1 < 0 圆心到直线的距离最大时圆的面积最大,
又 SKIPIF 1 < 0 动圆 SKIPIF 1 < 0 ,圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 与已知直线垂直时圆的半径最大, SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 面积最大的圆的标准方程为: SKIPIF 1 < 0 .
故选:B
题型六:待定系数法求圆的方程
16.(2023·山西·校联考模拟预测)已知圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的公切线共有( )
A.0条B.1条C.2条D.3条
【答案】B
【分析】先根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 ,从而得到两圆的圆心和半径,进而求得圆心距等于两半径的差,得知两圆内切,即可知道公切线只有1条.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为a,
所以圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 .
圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,
圆心距 SKIPIF 1 < 0 ,所以两圆相内切.
所以两圆的公切线只有1条.
故选:B.
17.(2023·全国·高三专题练习)与直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 都相切的半径最小的圆的方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】求出过圆心与直线垂直的直线方程,所求圆的圆心在此直线上,又圆心到直线的距离可得所求圆的半径,设所求圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 的左上方,利用 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
过圆心 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,所求圆的圆心在此直线上,又圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则所求圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
设所求圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 的上,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 不符合题意,舍去 ),故所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
18.(2023·全国·高三专题练习)如图,点A,B,D在圆Γ上,点C在圆Γ内, SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线,则圆Γ的周长为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系,用待定系数法求出圆的方程,然后可解.
【详解】以C为原点,BC和CD坐在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
设圆的一般方程为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
所以圆的周长为 SKIPIF 1 < 0
故选:B
题型七:几何法求弦长
19.(2023·全国·模拟预测)若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长之比为 SKIPIF 1 < 0 ,则圆C的面积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出圆心分别到两条直线的距离,根据勾股定理求出两条直线被圆截得的弦长,根据弦长之比为 SKIPIF 1 < 0 列式求出 SKIPIF 1 < 0 ,可得圆的半径,从而可得圆的面积.
【详解】圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ,
直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ,
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,满足 SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆C的半径为 SKIPIF 1 < 0 ,面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
20.(2023秋·河南·高三校联考期末)在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,已知圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为2,且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切,则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.3D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由已知求出圆心 SKIPIF 1 < 0 .根据圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ,进而由直线与圆相切可得 SKIPIF 1 < 0 ,解方程即可得出答案.
【详解】由已知可得,圆心 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 .
圆心到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
又圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切,则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
21.(2022秋·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习)已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ,则正实数 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A.8B.4C.1D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】求出圆心到一条渐近线的距离,利用弦心距、半径、半弦长的关系求解即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,即圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
由双曲线的对称性,取双曲线的一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆心到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,依题意得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A
题型八:圆或者直线上的点的距离问题
22.(2023·福建福州·统考二模)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的圆记为 SKIPIF 1 < 0 ,点E,F分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 上的动点,EF长度的最小值为4,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】画出图形,当 SKIPIF 1 < 0 过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时, SKIPIF 1 < 0 长度最小,此时圆心 SKIPIF 1 < 0 到对称轴的距离为4,根据点到直线的的公式建立方程即可求解.
【详解】
由题易知两圆不可能相交或相切,则如图,当 SKIPIF 1 < 0 过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时, SKIPIF 1 < 0 长度最小,
此时圆心 SKIPIF 1 < 0 到对称轴的距离为4,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D
23.(2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测)在直角坐标系xOy中,已知点P是圆O: SKIPIF 1 < 0 上一动点,若直线l: SKIPIF 1 < 0 上存在点Q,满足线段PQ的中点也始终在圆O上,则k的取值范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由题意分析可知,只要O的圆心到直线l的距离不超过3,再结合点到直线的距离公式即可求得k的取值范围.
【详解】由题意分析可知,直线l: SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为圆O: SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
若满足线段PQ的中点 SKIPIF 1 < 0 点在圆上,则 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设圆心O到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
.
24.(2022秋·江西萍乡·高三统考期末)点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点,点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点, SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的定点,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A.2B. SKIPIF 1 < 0 C.3D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】画图,找出抛物线焦点,化简圆的普通方程为标准方程,结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.
【详解】如图所示:
由 SKIPIF 1 < 0 知,抛物线焦点 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,化为 SKIPIF 1 < 0 ,
即为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心,1为半径的圆,
又 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ,
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于抛物线的准线: SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时, SKIPIF 1 < 0 最小,此时为3,
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为: SKIPIF 1 < 0 ,
故选:A.
题型九:直线和圆的综合问题
25.(2023·重庆·统考二模)过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 的两条不同的直线 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 为圆心 SKIPIF 1 < 0 的公共弦所在的直线记为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值.
【答案】(1)24
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)根据题意设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程可得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程,从而可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,进而可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标,即可得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标表示,同理可得 SKIPIF 1 < 0 ,求解 SKIPIF 1 < 0 即可;
(2)结合(1),根据抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,进而可得 SKIPIF 1 < 0 ,即可得到圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ,从而可得到圆 SKIPIF 1 < 0 的方程,同理也可得到圆 SKIPIF 1 < 0 的方程,两圆方程相减即可得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程,再根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】(1)依题意,抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,且其在抛物线内部,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 是上述方程的两个实数根,
所以 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
同理可得 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
于是 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)结合(1),
由抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
同理可得圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
于是圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦所在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,
故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛:解答小问(2)的关键是根据抛物线的定义求得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,进而可得 SKIPIF 1 < 0 ,从而得到圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ,可得到圆 SKIPIF 1 < 0 的方程,同理可得到圆 SKIPIF 1 < 0 的方程,再根据点到直线的距离公式求解.
26.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线,设切点为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 恰为抛物 SKIPIF 1 < 0 的准线.
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程;
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点,抛物线 SKIPIF 1 < 0 上四点 SKIPIF 1 < 0 满足: SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 .
(i)求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率;
(ii)设 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)(i)0;(ii)48
【分析】(1)设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ,由几何性质易得: SKIPIF 1 < 0 ,即可解决;(2)设 SKIPIF 1 < 0 ,(i)中,由于 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上,得 SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 ,代入联立得 SKIPIF 1 < 0 点纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,即可解决;(ⅱ)由(i)得点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,又点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上,得 SKIPIF 1 < 0 ,可得: SKIPIF 1 < 0 即可解决.
【详解】(1)设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 .
由几何性质易得: SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
即: SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 .
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为: SKIPIF 1 < 0 .
(2)设 SKIPIF 1 < 0
(i)由题意, SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上,即 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 代入,
得: SKIPIF 1 < 0 ,
同理: SKIPIF 1 < 0 ,
有 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 点纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0.
(ⅱ)因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以点 SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上,有 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,代入上式可得:
SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取到最大价 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为48.
27.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 上点M的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l与椭圆C交于A,B两点,且以AB为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 (Q与A,B不重合),证明:动直线l过定点,并求出该定点坐标.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析,直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】(1)设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,数形结合得到点 SKIPIF 1 < 0 与圆上点M的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 加上半径,从而列出方程,结合 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上,从而求出 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,得到椭圆方程;
(2)先考虑直线l斜率存在,设直线l: SKIPIF 1 < 0 ,与椭圆方程联立,得到两根之和,两根之积,由 SKIPIF 1 < 0 求出直线l: SKIPIF 1 < 0 或l: SKIPIF 1 < 0 ,舍去不合要求的解,再考虑直线l斜率不存在时,得到直线l: SKIPIF 1 < 0 ,不合要求,证明出结论,及定点坐标.
【详解】(1)因为椭圆C: SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为1,
点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 上点M的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 加上半径,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)当直线l斜率存在时,设直线l: SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
设点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
则直线l: SKIPIF 1 < 0 或l: SKIPIF 1 < 0 ,
因为Q与A,B不重合,故 SKIPIF 1 < 0 不合要求,
所以直线l: SKIPIF 1 < 0 ,即直线过定点 SKIPIF 1 < 0 .
当直线l斜率不存在时,设直线l: SKIPIF 1 < 0 ,不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ,直线l: SKIPIF 1 < 0 ,因为Q与A,B不重合,所以不满足题意.
综上,直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【高考必刷】
一、单选题
28.(2023·重庆·统考二模)已知点 SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 ,若在圆 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 可以为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ,可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 ,故点 SKIPIF 1 < 0 是两圆的交点,根据圆与圆的位置关系即可求出.
【详解】根据 SKIPIF 1 < 0 可知,点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
若在圆 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,故圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 相切,
即 SKIPIF 1 < 0 或, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (无解),
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故选:D.
29.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 有公共点(公共点不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ),结合直线与圆的位置关系分析运算.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ,则点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上(点 SKIPIF 1 < 0 不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ),
∵以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,则圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
即直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 有公共点(公共点不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ),
当直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 有公共点时,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
当直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的公共点为A或B时,则直线 SKIPIF 1 < 0 即为x轴,即 SKIPIF 1 < 0 ;
综上所述:实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
30.(2023·陕西安康·统考二模)已知直线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】斜率相等且截距不同的两条直线平行,或不存在斜率的两个不同直线也平行,由此利用条件的充分性和必要性定义即可得出答案.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,充分性成立;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,必要性不成立
故选:A.
31.(2023·贵州贵阳·统考一模)已知直线 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 ,其中实数 SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点位于第一象限的概率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】首先由两条直线相交,联立方程组写出两条直线的交点坐标,接下来根据交点在第一象限得到a的范围,利用几何概型概率计算公式计算即可
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无交点;
当 SKIPIF 1 < 0 时,由 SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 ,
由题意 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
由几何概型的概率公式知,所求的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A.
32.(2023·山东·烟台二中校考模拟预测)已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为3,斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别交F的左右两支于A,B两点,直线 SKIPIF 1 < 0 分别交F的左、右两支于C,D两点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E,点E恒在直线l上,若直线l的斜率存在,则直线的方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由点差法可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关系式、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关系式,由E,M,N三点共线, SKIPIF 1 < 0 列式可得结果.
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ①,同理得 SKIPIF 1 < 0 ②,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,则E,M,N三点共线,所以 SKIPIF 1 < 0 ,将①②代入得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线l的斜率存在,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即点E在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
故选:A.
33.(2023·河北邢台·校联考模拟预测)已知点 SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B.12C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用中点坐标求出AB的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为圆心 SKIPIF 1 < 0 、半径为1的圆,得 SKIPIF 1 < 0 的最大值,结合 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】由题意知, SKIPIF 1 < 0 ,圆M的半径为4,设AB的中点 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即点D的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ,圆心 SKIPIF 1 < 0 ,半径为1,
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为12.
故选:B.
34.(2023·全国·本溪高中校联考模拟预测)已知O为平面点角坐标系的原点,点 SKIPIF 1 < 0 ,B为圆 SKIPIF 1 < 0 上动点,记经过A、B的直线为l,以O为圆心与l相切的圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,经过O、A、B三点的圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设l与x轴交点为C, SKIPIF 1 < 0 ,利用三角函数的定义和正弦定理,得到 SKIPIF 1 < 0 ,从而有 SKIPIF 1 < 0 ,再利用点与圆上的点的距离求解.
【详解】解:如图所示:
设l与x轴交点为C, SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中,由正弦定理得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
二、多选题
35.(2023·湖南·模拟预测)已知圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法正确的是( )
A.若圆 SKIPIF 1 < 0 与x轴相切,则 SKIPIF 1 < 0
B.直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 始终有两个交点
C.若 SKIPIF 1 < 0 ,则圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离
D.若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 存在公共弦,则公共弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】选项A:若圆 SKIPIF 1 < 0 与x轴相切,则 SKIPIF 1 < 0 等于圆的半径;
选项B:直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内部,故直线与圆 SKIPIF 1 < 0 始终有两个交点;
选项C:利用圆心距与半径之和的关系,判断两圆是否外离;
选项D:若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共弦,联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为.
【详解】对于选项A:圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,半径为2,若圆 SKIPIF 1 < 0 与x轴相切,则 SKIPIF 1 < 0 ,故A错误;
对于选项B:直线 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ,
又由 SKIPIF 1 < 0 ,则点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内部,故直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 始终有两个交点,故B正确;
对于选项C:若 SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ,其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,
圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,
圆心距 SKIPIF 1 < 0 ,两圆外离,故C正确;
对于选项D:若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共弦,联立两个圆的方程可得 SKIPIF 1 < 0
即公共弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,故D错误.
故选:BC.
36.(2023·湖北·统考模拟预测)已知直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点P,圆 SKIPIF 1 < 0 ,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点C,则( )
A.若直线l与圆M相切,则 SKIPIF 1 < 0
B.当 SKIPIF 1 < 0 时,四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
C.直线 SKIPIF 1 < 0 经过一定点
D.已知点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为定值
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式,解出 SKIPIF 1 < 0 即可判断A;根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ,进而求出 SKIPIF 1 < 0 ,根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和,根据三角形面积公式即可求出结果;根据相切可知 SKIPIF 1 < 0 四点共圆,且 SKIPIF 1 < 0 为直径,求出圆的方程即可得弦所在的直线方程,进而判断C;根据直线 SKIPIF 1 < 0 过定点及 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,即C在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上,求出圆的方程可发现圆心为点 SKIPIF 1 < 0 ,即可判断D.
【详解】解:对于A,若直线l与圆M相切,则圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以A正确;
对于B,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 为圆的两条切线,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ,
所以B错误;
对于C,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 四点共圆,且 SKIPIF 1 < 0 为直径,
所以该圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆的方程为: SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 是该圆和圆 SKIPIF 1 < 0 的相交弦,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为两圆方程相减,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
化简可得: SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ,所以C正确;
对于D,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,所以 SKIPIF 1 < 0
即点C在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆的方程为: SKIPIF 1 < 0 ,圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为点C在该圆上,所以 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ,所以D正确.
故选:ACD
37.(2023·山西·校联考模拟预测)已知圆 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点,则下列说法正确的是( )
A.圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为8
B.若直线 SKIPIF 1 < 0 平分圆 SKIPIF 1 < 0 的周长,则 SKIPIF 1 < 0
C.若圆 SKIPIF 1 < 0 上至少有三个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
D.若 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线,切点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,当点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有最大值
【答案】BD
【分析】由圆 SKIPIF 1 < 0 ,知圆心 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,由直线过圆心可求 SKIPIF 1 < 0 ,从而判断B; SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ,可求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离,判断A;由已知圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ,可求 SKIPIF 1 < 0 的范围判断C;利用 SKIPIF 1 < 0 ,从而可求 SKIPIF 1 < 0 最小时 SKIPIF 1 < 0 的位置判断D.
【详解】由圆 SKIPIF 1 < 0 ,知圆心 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,
对于A,直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ,故A不正确;
对于B,直线 SKIPIF 1 < 0 平分圆 SKIPIF 1 < 0 的周长,则直线过圆心 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;
对于C,若圆 SKIPIF 1 < 0 上至少有三个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故C错误;
对于D, SKIPIF 1 < 0 ,要使 SKIPIF 1 < 0 最大,只需要 SKIPIF 1 < 0 最大即可,又 SKIPIF 1 < 0 ,故需 SKIPIF 1 < 0 最小,此时 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直,故此时 SKIPIF 1 < 0 与定点 SKIPIF 1 < 0 重合,故 SKIPIF 1 < 0 ,故D正确,
故选:BD.
38.(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)已知 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上的两点, SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点,则( )
A.直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离
B.当 SKIPIF 1 < 0 为两定点时,满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 有2个
C.当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
D.当 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线时,直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】利用点到直线的距离判断A;确定 SKIPIF 1 < 0 最大时的情况判断B;取AB中点D,由线段PD长判断C;求出直线AB的方程判断D作答.
【详解】对于A,因为 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,即直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离,A正确;
对于B,当A,B为过点P的圆O的切线的切点时, SKIPIF 1 < 0 最大,而 SKIPIF 1 < 0 ,
显然 SKIPIF 1 < 0 是锐角,正弦函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增, SKIPIF 1 < 0 ,
因此 SKIPIF 1 < 0 最大,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 最大,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 最小,则有 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ,
所以当 SKIPIF 1 < 0 为两定点时,满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 只有1个,B错误;
对于C,令AB的中点为D,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点D在以O为圆心, SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上,
SKIPIF 1 < 0 ,显然当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动时, SKIPIF 1 < 0 无最大值,C不正确;
对于D,设 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 为切线时, SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上,
此圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,于是直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,D正确.
故选:AD
三、填空题
39.(2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于第一象限的点A,与椭圆C交于 SKIPIF 1 < 0 两点,与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为: SKIPIF 1 < 0 ,根据直线和圆 SKIPIF 1 < 0 相切、直线和椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交且 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ,进而求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 有斜率,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为: SKIPIF 1 < 0 ,
联立直线和圆的方程: SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
联立直线和椭圆的方程: SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 可知: SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点,
在直线方程中,令 SKIPIF 1 < 0
由中点坐标公式可知: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 , 直线方程为 SKIPIF 1 < 0
故答案为: SKIPIF 1 < 0
【点睛】求解直线和圆相切的问题,有两种方法,一种是利用圆心到直线的距离等于半径来进行求解;另一种是联立直线的方程和圆的方程,化简后利用判别式来进行求解.
40.(2023·河南郑州·统考一模)经过点 SKIPIF 1 < 0 以及圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的圆的方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出两圆的交点坐标,设出所求圆的一般方程,将三点坐标代入,解出参数,可得答案.
【详解】联立 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
则圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
设经过点 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故经过点 SKIPIF 1 < 0 以及圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为: SKIPIF 1 < 0
41.(2023·全国·高三专题练习)已知圆 SKIPIF 1 < 0 ,设直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,若圆 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上,且垂直平分线与圆相切可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上,
SKIPIF 1 < 0 所以中垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,由点斜式得 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 满足条件的 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个,
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相切,
SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
42.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知P是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点,P到y轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,到圆 SKIPIF 1 < 0 上动点Q的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】2
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标,把 SKIPIF 1 < 0 的最小值转化为 SKIPIF 1 < 0 减去圆的半径,再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ,准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
过点 SKIPIF 1 < 0 作准线 SKIPIF 1 < 0 的垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点, SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
到圆 SKIPIF 1 < 0 上动点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时等号成立,且点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点时等号成立,又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点,点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的交点时等号成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2,
故答案为:2
四、解答题
43.(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 引圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的一条切线,切点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线,切点分别为P,Q,是否存在点A使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ?若存在,求点A的个数;否则,请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在,点A的个数为2,理由见解析
【分析】(1)由题意可求出 SKIPIF 1 < 0 ,过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴,根据勾股定理可知 SKIPIF 1 < 0 ,即可求出参数p,进而得到抛物线方程;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求出切点弦PQ的方程,联立抛物线方程,根据弦长公式求出 SKIPIF 1 < 0 ,在利用点到直线距离公式求出点 SKIPIF 1 < 0 到直线PQ的距离d,由 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 列出方程,得出A点的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 ,联立圆的方程得 SKIPIF 1 < 0 ,方程的根的个数即为点A的个数.
【详解】(1)解:如图
已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,
圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中,满足 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)存在点A使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,点A的个数为2,理由如下:
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由(1)可知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 切点弦PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,斜率 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
点 SKIPIF 1 < 0 到直线PQ的距离 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即点A的轨迹为抛物线 SKIPIF 1 < 0 往左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度,
因为点A在圆M上,联立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
显然 SKIPIF 1 < 0 是一个根,因式分解得 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
若 SKIPIF 1 < 0 ,由于 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立,所以 SKIPIF 1 < 0 为增函数,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
根据零点存在定理函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在一个零点,
所以存在两个点A使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了抛物线切点弦方程及弦长公式,高次方程的因式分解问题,构造函数并利用导函数求出函数的单调性,根据零点存在定理求出方程的根,此题的关键点在于,根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,求出点A的轨迹方程,利用其轨迹方程和圆M有几个交点即可得到点A的个数.
44.(2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)已知圆心为 SKIPIF 1 < 0 的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上,求:
(1)求圆心为 SKIPIF 1 < 0 的圆的标准方程;
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上,点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值;
(3)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ,求该直线的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)设圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,利用圆经过的两个点,且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上,建立方程组就可以求得.
(2)求出圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离,即可求出 SKIPIF 1 < 0 最小值.
(3)根据直线被圆截得的弦长为8,求出圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离,用点到直线的距离公式建立方程,求出 SKIPIF 1 < 0 得值,即可写出直线方程.
【详解】(1)设圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,因为圆经过 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ,且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上,
所以 SKIPIF 1 < 0 解得: SKIPIF 1 < 0
所以圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因为圆 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为
SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线与圆相离,
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
(3)当斜率存在时,由条件可知,圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
根据点到直线的距离公式得: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
当斜率不存在时,直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,符合截圆所得的弦长为8
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
名称
方程
适用范围
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不含直线x=x0
斜截式
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y-y1,y2-y1)=eq \f(x-x1,x2-x1)
(x1≠x2,y1≠y2)
不含直线x=x1 和直线y=y1
截距式
eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准式
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心为(a,b)
半径为r
一般式
x2+y2+Dx+Ey+F=0
充要条件:D2+E2-4F>0
圆心坐标:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2)))
半径r=eq \f(1,2)eq \r(D2+E2-4F)
方法
位置
关系
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
无解
外切
d=r1+r2
一组实数解
相交
|r1-r2|
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
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