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    新高考数学二轮复习讲义专题18 空间向量在立体几何中的应用(角和距离)(2份打包,原卷版+解析版)

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    这是一份新高考数学二轮复习讲义专题18 空间向量在立体几何中的应用(角和距离)(2份打包,原卷版+解析版),文件包含新高考数学二轮复习讲义专题18空间向量在立体几何中的应用角和距离原卷版doc、新高考数学二轮复习讲义专题18空间向量在立体几何中的应用角和距离解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共59页, 欢迎下载使用。

    考点一:空间角的向量法解法
    考点二:点P到直线 l 的距离
    已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))=a,则点P到直线l的距离为eq \r(a2-a·u2) (如图).
    考点三:点P到平面α的距离
    设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图).
    【核心题型】
    题型一:空间向量求线面角/面面角
    1.(2023·湖南邵阳·统考二模)如图所示,在矩形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 (除端点外)上的动点,沿直线 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法中正确的是( )
    A.当点 SKIPIF 1 < 0 固定在线段 SKIPIF 1 < 0 的某位置时,点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹为球面
    B.存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
    C.点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
    D.异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【分析】当点 SKIPIF 1 < 0 固定在线段 SKIPIF 1 < 0 的某位置时,线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为定值, SKIPIF 1 < 0 ,过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为定点, SKIPIF 1 < 0 的长度为定值,由此可判断A;无论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 (端点除外)的哪个位置, SKIPIF 1 < 0 均不与 SKIPIF 1 < 0 垂直,即可判断B;以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系,求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,由点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离公式 SKIPIF 1 < 0 求解,即可判断C;设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,利用向量夹角公式求解,即可判断D.
    【详解】
    选项A:当点 SKIPIF 1 < 0 固定在线段 SKIPIF 1 < 0 的某位置时,线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为定值, SKIPIF 1 < 0 ,过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为定点, SKIPIF 1 < 0 的长度为定值,且 SKIPIF 1 < 0 在过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直的平面内,故 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心, SKIPIF 1 < 0 为半径的圆,故A错;
    选项B:无论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 (端点除外)的哪个位置, SKIPIF 1 < 0 均不与 SKIPIF 1 < 0 垂直,故 SKIPIF 1 < 0 不与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直,故B错;
    选项C:以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,
    则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,故C错;
    选项D:设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故D正确.
    故选:D.
    2.(2023春·湖北·高二校联考阶段练习)如图,在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
    (1)求证: SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ,由面面垂直和线面垂直的性质和勾股定理可证得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由此可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,由线面垂直性质可证得结论;
    (2)作 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,根据垂直关系,以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点可建立空间直角坐标系,利用线面角的向量求法可求得结果.
    【详解】(1)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 为等边三角形, SKIPIF 1 < 0 ,
    又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 中点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (2)作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
    由(1)知: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 正方向为 SKIPIF 1 < 0 轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
    3.(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)如图,在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点.
    (1)证明:平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 ,且异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成30°角,求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)要证明面面垂直,需证明线面垂直,利用垂直关系转化为证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,即可证明;
    (2)首先建立空间直角坐标系,利用向量公式求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标,并分别求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量,利用二面角的向量公式,即可求解.
    【详解】(1)证明:∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵ SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)因为 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    以 SKIPIF 1 < 0 为原点, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向建立空间直角坐标系,
    所以 SKIPIF 1 < 0
    设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    因为异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成30°角,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    由题意知,平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
    题型二:空间向量求空间距离
    4.(2023·宁夏银川·校联考一模)如图,圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆,AB,CD为底面圆的两条直径,P为SB的中点.
    (1)求证: SKIPIF 1 < 0 平面PCD;
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 体积最大时,求S到平面PCD的距离.
    【答案】(1)证明见解析
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)连接OP,利用中位线定理可证OP∥SA,由线面平行的判定定理证明即可;
    (2)由题意 SKIPIF 1 < 0 ,建立空间直角坐标系,利用向量求解点到平面距离.
    【详解】(1)证明:连接OP,如图所示,
    因为O为AB的中点,P为SB的中点,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)记底面圆半径为r,侧面展开图半径为R,则R=2,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 体积最大时, SKIPIF 1 < 0 ,
    以O为原点,OD,OB,OS为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面PCD的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以点S到平面PCD的距离 SKIPIF 1 < 0
    5.(2023·全国·校联考模拟预测)如图,在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,D是棱PC的中点.
    (1)求证: SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求直线BC与平面ADB所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)根据题意,由线面垂直的判定定理证得 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,再得到 SKIPIF 1 < 0 平面PBC,从而即可得证;
    (2)根据题意,以C为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 方向分别为x轴,y轴,z轴的正A方向,建立空间直角坐标系,再由空间向量的坐标运算结合线面角的计算公式,即可得到结果.
    【详解】(1)证明:在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    又平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面PAB,
    所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,
    又 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,PB, SKIPIF 1 < 0 平面PBC,所以 SKIPIF 1 < 0 平面PBC,
    又 SKIPIF 1 < 0 平面PBC,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)
    在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    以C为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 方向分别为x轴,y轴,z轴的正A方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面ADB的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
    取 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    设直线BC与平面ADB所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,则
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线BC与平面ADB所成角的正弦值是 SKIPIF 1 < 0 .
    6.(2023秋·天津河北·高三统考期末)如图, SKIPIF 1 < 0 垂直于梯形 SKIPIF 1 < 0 所在平面, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形.
    (1)求证: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的大小;
    (3)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
    【答案】(1)证明见解析
    (2) SKIPIF 1 < 0
    (3) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ,由三角形中位线性质可得 SKIPIF 1 < 0 ,由线面平行判定定理可得结论;
    (2)以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点可建立空间直角坐标系,利用面面角的向量求法可求得结果;
    (3)利用点到平面距离的向量求法可求得结果.
    【详解】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点,又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点, SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 正方向为 SKIPIF 1 < 0 轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
    SKIPIF 1 < 0 轴 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,则平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
    (3)由(2)知: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
    题型三:空间线段点存在问题
    7.(2023·河南焦作·统考模拟预测)如图1,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点,且 SKIPIF 1 < 0 .现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 ,如图2.
    (1)证明: SKIPIF 1 < 0 .
    (2)已知二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ,在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ?若存在,确定 SKIPIF 1 < 0 的位置;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)存在, SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)翻折前,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,翻折后,有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立;
    (2)由二面角的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ,然后以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴,过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系,设 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,利用空间向量法可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式,解出 SKIPIF 1 < 0 的值,即可得出结论.
    【详解】(1)证明:翻折前,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,翻折后,有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)解:因为二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以,二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ,
    以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴,过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
    不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    取 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,合乎题意,
    故当 SKIPIF 1 < 0 时,直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
    8.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中,底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形,点 SKIPIF 1 < 0 在底面上的投影为AC的中点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求证: SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)求点 SKIPIF 1 < 0 到侧面 SKIPIF 1 < 0 的距离;
    (3)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得直线DE与侧面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ?若存在,请求出 SKIPIF 1 < 0 的长;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)证明见解析
    (2) SKIPIF 1 < 0
    (3)存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ,1
    【分析】(1)由已知条件可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,即可得到 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量,利用点到平面的距离公式即可求解;
    (3)假设存在满足条件的点E,并 SKIPIF 1 < 0 ,利用向量的加减运算,求出 SKIPIF 1 < 0 ,利用线面夹角公式得出 SKIPIF 1 < 0 ,求得 SKIPIF 1 < 0 ,即可求出 SKIPIF 1 < 0 的长.
    【详解】(1)证明:由点 SKIPIF 1 < 0 在底面ABC上的投影为AC的中点 SKIPIF 1 < 0 ,知 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,
    又 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    因 SKIPIF 1 < 0 是以AC为斜边的等腰直角三角形,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)由点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为AC的中点,侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形,知 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 是以AC为斜边的等腰直角三角形, SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由(1)知直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两两垂直,故以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,
    直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,故点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为:
    SKIPIF 1 < 0
    (3)假设存在满足条件的点E,并 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    于是,由直线DE与侧面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,
    可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    又 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
    因此存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
    9.(2021·天津静海·静海一中校考二模)如图,在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形,其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上(不包括端点),点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
    (1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求证:直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值;
    (3)是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ?若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的值;若不存在,说明理由.
    【答案】(1)证明过程见详解
    (2) SKIPIF 1 < 0
    (3)存在, SKIPIF 1 < 0 ,理由见详解.
    【分析】(1) 取 SKIPIF 1 < 0 的一个靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,利用平行的传递性得到 SKIPIF 1 < 0 ,进而得到四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,则 SKIPIF 1 < 0 ,再利用线面平行的判定定理即可求解;
    (2)根据题意,建立空间直角坐标系,分别求出平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量,代入向量的夹角公式即可求解;
    (3)假设存在点 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,根据(2)中平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量以及题中 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
    【详解】(1)取 SKIPIF 1 < 0 的一个靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    又因为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点,
    所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)如图所示,以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴,以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴,以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
    (3)存在, SKIPIF 1 < 0 .
    假设存在点 SKIPIF 1 < 0 (不包括端点),设 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由(2)得 SKIPIF 1 < 0 ,且平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    整理得: SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去),
    故存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 .
    【高考必刷】
    一、单选题
    10.(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)在正方体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的点,且 SKIPIF 1 < 0 ,则( )
    A.平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B.平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 四点共面D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【分析】根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,利用坐标法依次讨论各选项即可得答案.
    【详解】解:如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的点,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    对于A选项,设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,即平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不满足,错误;
    对于B选项,设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以, SKIPIF 1 < 0 ,即平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不满足,错误;
    对于C选项,由 SKIPIF 1 < 0 ,
    若 SKIPIF 1 < 0 四点共面,则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,显然方程组无解,
    故不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立,
    所以 SKIPIF 1 < 0 四点不共面,错误;
    对于D选项, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,正确;
    故选:D
    11.(2023·全国·模拟预测)如图,已知圆柱 SKIPIF 1 < 0 的轴截面 SKIPIF 1 < 0 为矩形, SKIPIF 1 < 0 ,P,Q分别为圆柱上、下底面圆周上一点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【分析】建立空间直角坐标系,设 SKIPIF 1 < 0 ,根据已知得出 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即可根据异面直线夹角的向量求法得出答案.
    【详解】如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,结合 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以异面直线PQ与AB所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:C.
    12.(2023·全国·模拟预测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,直线AC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【分析】建立空间直角坐标系,由直线AC1与平面A1B1C1所成的角的正弦值得 SKIPIF 1 < 0 ,计算 SKIPIF 1 < 0 ,得异面直线BA1与B1C所成角的余弦值.
    【详解】取AC的中点O,连接BO,则BO⊥AC,以O为坐标原点,OB,OC所在直线分别为x,y轴,过点O且平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系.
    设a=1,则 SKIPIF 1 < 0 ,易知AA1⊥平面A1B1C1,则直线AC1与平面A1B1C1所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,故异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    13.(2023·福建莆田·统考二模)在正方体 SKIPIF 1 < 0 中,点M,N分别是 SKIPIF 1 < 0 上的动点,当线段 SKIPIF 1 < 0 的长最小时,直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【分析】建立空间直角坐标系,作出辅助线,找到 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的公垂线,即线段 SKIPIF 1 < 0 的长最小,进而表达出 SKIPIF 1 < 0 的坐标,从而利用线面角的夹角公式进行求解.
    【详解】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴,建立空间直角坐标系,
    因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为正方形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为点M ,N分别是 SKIPIF 1 < 0 上的动点,
    当点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 交点时, SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,
    此时 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的公垂线,即线段 SKIPIF 1 < 0 的长最小,
    设正方体边长为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角大小为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A
    14.(2023·四川·校联考一模)在长方体 SKIPIF 1 < 0 中,已知异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与AB所成角的大小分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ,结合题意可求得 SKIPIF 1 < 0 ,以 SKIPIF 1 < 0 为原点,分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴,建立空间直角坐标系,求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量,结合空间向量夹角公式可得答案.
    【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ,从而 SKIPIF 1 < 0 ,
    由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ,从而 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    以 SKIPIF 1 < 0 为原点,分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴,建立空间直角坐标系,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0
    所以,直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,
    从而直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    15.(2023·山东菏泽·统考一模)如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且 SKIPIF 1 < 0 四个顶点在同一平面内,下列结论:① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;②平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;③ SKIPIF 1 < 0 ;④平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,正确命题的个数为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】D
    【分析】根据题意,以正八面体的中心 SKIPIF 1 < 0 为原点, SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴,建立如图所示空间直角坐标系,由空间向量的坐标运算以及法向量,对选项逐一判断,即可得到结果.
    【详解】
    以正八面体的中心 SKIPIF 1 < 0 为原点, SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴,建立如图所示空间直角坐标系,
    设正八面体的边长为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
    所以, SKIPIF 1 < 0 ,
    设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
    又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,①正确;
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,②正确;
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,③正确;
    易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,④正确;
    故选:D
    16.(2023春·云南昆明·高三校考阶段练习)如图,在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中,P为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点,Q为正方形 SKIPIF 1 < 0 内一动点(含边界),则下列说法中不正确的是( )
    A.若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,则动点Q的轨迹是一条线段
    B.存在Q点,使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
    C.当且仅当Q点落在棱 SKIPIF 1 < 0 上某点处时,三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大
    D.若 SKIPIF 1 < 0 ,那么Q点的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【分析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ,证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,得动点轨迹判断A,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量,由 SKIPIF 1 < 0 与此法向量平行确定 SKIPIF 1 < 0 点位置,判断B,利用空间向量法求得 SKIPIF 1 < 0 到到平面 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值,确定 SKIPIF 1 < 0 点位置判断C,利用勾股定理确定 SKIPIF 1 < 0 点轨迹,得轨迹长度判断D.
    【详解】选项A,分别取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平行且相等得平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 点轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 ,A正确;
    选项B,以 SKIPIF 1 < 0 为原点, SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,因此正方形 SKIPIF 1 < 0 内(含边界)不存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,B错;
    选项C, SKIPIF 1 < 0 面积为定值,当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时,三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大, SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,d有最大值1,
    SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时,d有最大值 SKIPIF 1 < 0 ,
    综上, SKIPIF 1 < 0 时,d取得最大值1,故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时,d取得最大值,三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大,C正确;
    选项D, SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 点轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心, SKIPIF 1 < 0 为半径的圆弧,圆心角是 SKIPIF 1 < 0 ,轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ,D正确.
    故选:B.
    【点睛】关键点点睛:本题考查空间点的轨迹问题,解题关键是勾画出过 SKIPIF 1 < 0 且与平面 SKIPIF 1 < 0 平行的平面 SKIPIF 1 < 0 ,由体积公式,在正方形 SKIPIF 1 < 0 内的点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大,则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大.
    17.(2023·甘肃兰州·校考模拟预测)在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,则下面说法中正确的有( )
    A. SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
    B. SKIPIF 1 < 0
    C.直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
    D.点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【分析】建立如图所示空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ,由向量法即可证线面平行、线线垂直;求线面角、点面距离.
    【详解】直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,故可建立如图所示空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ,
    则有 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 .
    对A,平面 SKIPIF 1 < 0 的其中一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,A错;
    对B,由 SKIPIF 1 < 0 得BD与EF不垂直,B错;
    对C,平面 SKIPIF 1 < 0 的其中一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,C错;
    对D, SKIPIF 1 < 0 ,设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,D错.
    故选:A
    18.(2022·陕西安康·统考一模)如图,在多面体 SKIPIF 1 < 0 中,底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形, SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点M在棱 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法错误的是( )
    A.平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C.点M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 D.多面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【分析】A选项,作出辅助线,证明出 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,从而证明面面垂直;
    B选项,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解出平面的法向量,根据平面夹角列出方程,求出 SKIPIF 1 < 0 ;
    C选项,在第一问的基础上,求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量,从而利用点到平面距离公式求出答案.
    D选项,求出 SKIPIF 1 < 0 ,相加得到答案.
    【详解】对于A选项,取 SKIPIF 1 < 0 的中点G,连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于N,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形,所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ,且N是 SKIPIF 1 < 0 的中点,
    所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故A正确;
    对于B,取 SKIPIF 1 < 0 的中点H,由四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 是正三角形,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    以A为原点, SKIPIF 1 < 0 为坐标轴建立空间直角坐标系,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 重合,此时平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,不合题意,舍去;
    当 SKIPIF 1 < 0 时,设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    两式相减得: SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量可取 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;
    对于C,结合B,所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得: SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以点M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确;
    对于D, SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 ,
    梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 ,故D错误.
    故选:D.
    二、多选题
    19.(2023春·全国·高三校联考阶段练习)在正方体 SKIPIF 1 < 0 中,点P满足 SKIPIF 1 < 0 ,则( )
    A.若 SKIPIF 1 < 0 ,则AP与BD所成角为 SKIPIF 1 < 0 B.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】BCD
    【分析】 SKIPIF 1 < 0 与BD所成角为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角,为 SKIPIF 1 < 0 ,A错误,建系得到 SKIPIF 1 < 0 ,B正确,故面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,C正确, SKIPIF 1 < 0 ,D正确,得到答案.
    【详解】对选项A: SKIPIF 1 < 0 时P与 SKIPIF 1 < 0 重合, SKIPIF 1 < 0 与BD所成角为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角, SKIPIF 1 < 0 为等边三角形,则AP与BD所成角为 SKIPIF 1 < 0 ,错误;
    对选项B:如图建立空间直角坐标系,令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,正确;
    对选项C: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,同理可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,正确;
    对选项D: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,正确.
    故选:BCD
    20.(2023·河北石家庄·统考一模)已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2,M,N分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,则( )
    A. SKIPIF 1 < 0
    B. SKIPIF 1 < 0
    C.平面 SKIPIF 1 < 0 截此正方体所得截面的周长为 SKIPIF 1 < 0
    D.三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为3
    【答案】BC
    【分析】建立坐标系,利用空间向量坐标的关系判定A,B选项的正误,把截面作出来,根据截面形状可求周长,利用等体积进行转化可求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
    【详解】如图,以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴,建立空间直角坐标系,
    则 SKIPIF 1 < 0 ;
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行,A不正确;
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,B正确;
    如图,取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
    由正方体的性质可知, SKIPIF 1 < 0 ;
    因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ;
    平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得截面为梯形 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为正方体的棱长为2,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以平面 SKIPIF 1 < 0 截此正方体所得截面的周长为 SKIPIF 1 < 0 ,C正确;
    由上面分析可知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,即点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离;
    SKIPIF 1 < 0 ,
    而 SKIPIF 1 < 0 ,所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为1,D不正确.
    故选:BC.
    21.(2023·安徽·统考一模)在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中,已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则( )
    A.直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
    B.线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0
    C.直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
    D.直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】AC
    【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 分别用 SKIPIF 1 < 0 表示,再根据向量数量积的运算律即可判断ABC;对于D,先证明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,从而可得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,再解 SKIPIF 1 < 0 即可.
    【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    对于A, SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,故A正确;
    对于B,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,故B错误;
    对于C,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确;
    对于D,连接 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,
    因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    又因 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,
    在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,故D错误.
    故选:AC.
    22.(2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习)如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点,以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三条棱长都是 SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法正确的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
    B. SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0
    D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】ABD
    【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
    【详解】A选项,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
    由于 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    根据棱柱的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以A选项正确.
    B选项, SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,B选项正确.
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以C选项错误.
    D选项, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:ABD
    三、填空题
    23.(2022春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习)如图,在四面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点.若用一个与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直,且与四面体的每个面都相交的平面 SKIPIF 1 < 0 去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则下面的说法中正确的有___________.
    ① SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    ②四面体外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
    ③异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
    ④多边形截面面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】①②④
    【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ,进而根据线面垂直得线线垂直可判断①;将其补成长方体,转为为求长方体的外接球表面积可判断②;结合②建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可判断③;根据题意,证明截面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,且 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 可判断④.
    【详解】解:对于①,连接 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故正确;
    对于②,该几何体可以在如图2的长方体中截出,设长方体的长宽高分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即长方体的体对角线的长度为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以四面体的外接球即为该长方体的外接球,半径满足 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以四面体外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ,故正确;
    对于③,由②得 SKIPIF 1 < 0 ,如图3,以 SKIPIF 1 < 0 点为坐标原点,建立空间直角坐标系,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,故错误;

    对于④,如图4,设平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则由线面平行的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    同理, SKIPIF 1 < 0 ,所以截面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
    可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    设异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ,由③的讨论可得异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    则可得 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立,故正确.
    故答案为:①②④
    【点睛】本题考查空间几何体的截面问题,内接外接球问题,线面垂直,线线垂直等位置关系,考查运算求解能力,直观想象能力,是难题.本题解题的关键在于将该几何体放置于长方体中,利用长方体的几何性质求解.
    24.(2022·全国·高三专题练习)如图,在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点.
    (1)直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为___________;
    (2)直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为___________;
    (3)已知点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上,平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角为60°则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为___________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
    【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出线面角的正弦值,二面角的余弦值以及点到平面的距离;
    【详解】解:如图建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值 SKIPIF 1 < 0 .
    因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离,即点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ;
    假设在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ,使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角为 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    则 SKIPIF 1 < 0 ,设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    取 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    又平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 .
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    故在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ,使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 ;
    25.(2022秋·湖南怀化·高三校考阶段练习)如图,多面体ABCDEF中,面ABCD为正方形,DE⊥平面ABCD,CF∥DE,且AB=DE=2,CF=1,G为棱BC的中点,H为棱DE上的动点,有下列结论:
    ①当H为DE的中点时,GH∥平面ABE;
    ②存在点H,使得GH⊥AE;
    ③三棱锥B−GHF的体积为定值;
    ④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
    其中正确的结论序号为________.(填写所有正确结论的序号)
    【答案】①③④
    【分析】根据线面平行的判定定理,以及线线垂直的判定,结合棱锥体积的计算公式,以及棱锥外接球半径的求解,对每一项进行逐一求解和分析即可.
    【详解】对①:当H为DE的中点时,取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,如下所示:
    因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点,故可得 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    根据已知条件可知: SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ,
    故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,则 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 //面 SKIPIF 1 < 0 ,故①正确;
    对②:因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    又四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形,故 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 两两垂直,
    以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,建立空间直角坐标系如下所示:
    则 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    若GH⊥AE,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,不满足题意,故②错误;
    对③: SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 均为定点,故 SKIPIF 1 < 0 为定值,
    又 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 //面 SKIPIF 1 < 0 ,
    又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动,故点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离是定值,
    故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值,则③正确;
    对④:取△ SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ,过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ,
    则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 一定在 SKIPIF 1 < 0 上
    因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 在同一个平面,
    则过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 如图所示.
    在△ SKIPIF 1 < 0 中,容易知 SKIPIF 1 < 0 ,
    则由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    则由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ;
    设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    在△ SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,
    故由勾股定理可知: SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得: SKIPIF 1 < 0 ,则该棱锥外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0 ,故④正确.
    故答案为:①③④.
    【点睛】本题考查线面平行的证明,线线垂直的判定,以及三棱锥体积的计算和外接球半径的求解,属综合困难题.
    26.(2022·新疆·统考模拟预测)已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点, SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.则下列结论中正确序号为______.
    ① SKIPIF 1 < 0 ;② SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;③ SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ;④△ SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】①④
    【分析】①连接 SKIPIF 1 < 0 ,根据正方体性质有 SKIPIF 1 < 0 ,结合 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 即可判断;②③构建空间直角坐标系,求面 SKIPIF 1 < 0 的法向量及方向向量 SKIPIF 1 < 0 ,利用空间向量夹角的坐标表示判断线面关系,同理求线线角的关于参数m的余弦值,结合导数求最值,即可判断余弦值的范围;④将问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最小值,展开正方体侧面研究最小情况即可判断.
    【详解】①连接 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,正确;
    ②如下图示, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    若 SKIPIF 1 < 0 是面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量,则 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,
    而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,仅当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故错误;
    ③如下图, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以,存在 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 递增; SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 递减;
    所以 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,故错误;
    ④由△ SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ,要使周长最小只需 SKIPIF 1 < 0 最小,
    将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开成一个平面,如下图示:
    当 SKIPIF 1 < 0 共线时, SKIPIF 1 < 0 最小为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,正确.
    故答案为:①④
    【点睛】关键点点睛:②③构建空间直角坐标系,利用向量法判断线面关系、求线线角余弦值关于参数的表达式,进而应用导数判断最值.
    四、解答题
    27.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)如图,在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,底面ABCD是边长为2的菱形,△PAD为等边三角形,平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD, SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求点A到平面PBC的距离;
    (2)E为线段PC上一点,若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)取AD中点O,连接OB,OP.通过证明 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离;
    (2)由(1),如图建立以O为原点的空间直角坐标系,由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 .求得平面ADE的法向量后,利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
    【详解】(1)取AD中点O,连接OB,OP.
    ∵ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形,∴ SKIPIF 1 < 0 ,OA=1, SKIPIF 1 < 0 .
    又∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD,平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD=AD,
    SKIPIF 1 < 0 平面PAD,∴ SKIPIF 1 < 0 平面ABC.
    又∵ SKIPIF 1 < 0 平面ABCD,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    ∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    又∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面POB,
    SKIPIF 1 < 0 平面POB, SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 平面POB.
    又∵ SKIPIF 1 < 0 平面POB,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    ∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    设点A到平面PBC的距离为h,
    则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)由(1),分别以OA,OB,OP为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
    又 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,则取平面ABCD的法向量 SKIPIF 1 < 0 .
    设AE与平面ABCD所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,则
    SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    设平面ADE的法向量 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则取平面ADE的法向量 SKIPIF 1 < 0 ,又平面ABCD的法向量 SKIPIF 1 < 0 .
    故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
    28.(2023·重庆·统考二模)如图,在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,侧棱 SKIPIF 1 < 0 矩形 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,过棱 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0
    (1)证明: SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)先证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,再证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,然后证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,得证 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)以 SKIPIF 1 < 0 为原点,射线 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,由空间向量法求二面角得 SKIPIF 1 < 0 的长,然后利用棱锥体积公式计算.
    【详解】(1)证明:因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    由底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形,有 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    又因为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 得证.
    (2)如图,以 SKIPIF 1 < 0 为原点,射线 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,( SKIPIF 1 < 0 ),
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量;
    由(1)知, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量.
    因为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 (负值舍去).
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 .
    角的分类
    向量求法
    范围
    两条异面直线所成的角
    设两异面直线 l1,l2 所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cs θ=|cs〈u,v〉|= eq \f(|u·v|,|u||v|)
    eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))
    直线与平面所成的角
    设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cs 〈u,n〉|=eq \f(|u·n|,|u||n|)
    eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))
    两个平面的夹角
    设平面α与平面β的夹角为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cs θ=|cs 〈n1,n2〉|=eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
    eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))
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