新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第7题 直线和圆（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2022·北京卷T3）若直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题可知圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
2．（2021·北京卷T9）已知直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 变化时，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题可得圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
则弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．（2020·北京卷T5）已知半径为1的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时取得等号，
故选：A.
点到直线的距离公式
点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，点到直线的距离为： SKIPIF 1 < 0
两条平行线间的距离公式
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
直线与圆的位置关系
直线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0
代数关系 SKIPIF 1 < 0 ，几何关系 SKIPIF 1 < 0
圆上一点的切线方程
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
6.圆与圆的位置关系
设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，两圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，两圆外离，若 SKIPIF 1 < 0 ，两圆外切，若 SKIPIF 1 < 0 ，两圆内切
若 SKIPIF 1 < 0 ，两圆相交，若 SKIPIF 1 < 0 ，两圆内含，若 SKIPIF 1 < 0 ，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
7.弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有：
则 SKIPIF 1 < 0
或： SKIPIF 1 < 0

1．圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（ ）
A．(0，3]B．[0，3]
C．[1，3]D．[2，3]
【答案】C
【解析】圆心为(2，0)，半径1，所以圆上的点到原点的距离d满足2－1≤d≤2＋1，即1≤d≤3.
2．若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选B.
3．过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1， SKIPIF 1 < 0 )的圆的切线方程为（ ）
A．x＋ SKIPIF 1 < 0 y－4＝0
B． SKIPIF 1 < 0 x－y＝0
C．x－ SKIPIF 1 < 0 y＋2＝0
D．x＝1或x－ SKIPIF 1 < 0 y＋2＝0
【答案】C
【解析】注意到P(1， SKIPIF 1 < 0 )在圆x2＋y2－4x＝0上，
将点(1， SKIPIF 1 < 0 )代入公式(x0－2)(x－2)＋(y0－0)(y－0)＝4，得直线方程x－ SKIPIF 1 < 0 y＋2＝0.
4．已知直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为： SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由垂径定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
5．已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，那么点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 .
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 .
所以圆上的点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为： SKIPIF 1 < 0 ，故选C
6．若过点 SKIPIF 1 < 0 向圆C： SKIPIF 1 < 0 作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】过点 SKIPIF 1 < 0 向圆 SKIPIF 1 < 0 作两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 方程相减，得公共弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A
7．若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】D
【解析】圆心坐标为O（1，1），半径r＝1，OP＝.因为圆心、切点、点O构成直角三角形，所以切线长为＝2
8．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 圆心连线的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确．
故选：C．
9．圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的圆的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由圆 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
设 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
10．已知半径为1的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】D
【解析】设圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即圆的圆心的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
其中点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D
11．已知点A(－2，0)，B(2，0)，点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动，则PA2＋PB2的最小值是（ ）
A．14B．26C．40D．58
【答案】B
【解析】设点P(x，y)，则PA2＋PB2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2＋8＝2OP2＋8.
因为OP的最小值为－2＝3，所以PA2＋PB2的最小值是2×32＋8＝26.
12．过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C．8D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ,则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 是过点 SKIPIF 1 < 0 的弦，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在圆的内部，
且该圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由垂径定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知直线l： SKIPIF 1 < 0 ，圆C： SKIPIF 1 < 0 ，则直线l被圆C所截得的线段的长为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由已知可得，圆C： SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线与圆相交.
根据垂径定理可得，直线l被圆C所截得的线段的长为 SKIPIF 1 < 0 .
15．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】如图，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为2．
16．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得其渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 .
依题意，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
17．写出一个过点 SKIPIF 1 < 0 且与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，写出一个即可）
【解析】依题意，将圆 SKIPIF 1 < 0 化为标准方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 表示以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，
当切线的斜率不存在时，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 正好与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
当切线的斜率存在时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由于只需写出一个过点 SKIPIF 1 < 0 且与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，写出一个即可）
18．设直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【解析】方法一：

如图所示，由已知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 得距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立圆与直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
19．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与圆C相交所得弦的长为2，则直线l的斜率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
由已知得圆心C到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则C到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
20．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ；若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 标准化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切时，可知 SKIPIF 1 < 0 .
核心考点
考情统计
考向预测
备考策略
圆的性质
2022·北京卷T3
可以预测2024年新高考命题方向将继续以直线与圆的问题展开命题．
直线与圆以客观题为主，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查圆的性质与直线的位置关系，及最值问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。
最值问题
2021·北京卷T9
最值问题
2020·北京卷T5