新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点18 空间中的角度和距离问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
4.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
6.点到平面的距离
用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量eq \(AB,\s\up6(→))到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
1.异面直线所成的角，若向量a、b分别是异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向向量，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
2.设直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
3.设向量为m平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，向量n为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所称的二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
4.点到平面的距离的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.
5.求参数的值与范围是高中数学中的常见题型.立体几何中含参数的问题，解决起来既有常规的函数和不等式法，亦有具有立体几何特征的极限位置、几何直观、化曲为直等一些特殊方法.
6.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
解决存在性问题应注意以下几点：
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
线线、线面、面面角
1.（2021贵州省遵义航天高级中学高三月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，，， SKIPIF 1 < 0 ，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． SKIPIF 1 < 0 D．
2．（2022·湖南衡阳·二模）如图，已知圆台 SKIPIF 1 < 0 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为 SKIPIF 1 < 0 为母线，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
3．（2022·河南河南·三模（理））如图， SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 是圆锥底面的圆心， SKIPIF 1 < 0 为底面直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是底面的内接正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值最大？
4.（2022新高考地区专用）如图，在四棱锥中，底面中， SKIPIF 1 < 0 ，侧面平面，且，点在棱上，且．
则二面角的余弦值为____________
5．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= SKIPIF 1 < 0 ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．
(1)求证：EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值．
6．（2022·重庆八中模拟预测）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.
(1)证明:AC1⊥A1B；
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角A1－AB－C的余弦值.
7．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的棱长均为2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC；
(2)设M为侧棱 SKIPIF 1 < 0 上的点，若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面ABC夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求点M到直线 SKIPIF 1 < 0 距离．
空间距离
1.（2022江苏省南通市海安市高三学业质量监测）与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2.（2021山东省东营市广饶县第一中学高三上学期10月月考）如图，在四棱台 SKIPIF 1 < 0 中，底面为矩形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
与参数有关的问题
1.（2021广东省茂名市五校联盟第三次联考）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱的下底面的内接四边形，且为圆柱下底而的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1.
（1）证明：；
（2），B为的中点，点Q在线段上，记，当二面角的余弦值为时，求的值.
探究性问题
1.（2021广东省深圳市光明区高三第一调研）如图，在四棱锥中，，，，，.
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.
1. （2021年全国高考乙卷）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，P为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.（2021年全国高考乙卷） 如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
一、单选题
1．（2022·山西太原·二模（文））在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，则AD与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·三模（理））在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，△ABC是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以AB为直径的球的表面被△PAC截得的曲线长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
4．（2022·山东济南·一模）在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，O为正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．点B到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 D．直线BO与直线 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
5．（2022·重庆·模拟预测）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．圆锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
B．圆锥 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0
C．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为 SKIPIF 1 < 0
6．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
C．异面直线AP与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值为 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，沿直线 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 翻折成 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·湖南衡阳·二模）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点.下列说法正确的是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
B．正方体 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0
C．面 SKIPIF 1 < 0 截正方体 SKIPIF 1 < 0 外接球所得圆的面积为 SKIPIF 1 < 0
D．以顶点 SKIPIF 1 < 0 为球心， SKIPIF 1 < 0 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
9．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为_____.
10．（2022·浙江台州·二模）空间四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，在平面 SKIPIF 1 < 0 内过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的最大角的正弦值___________.
11．（2022·天津市第四中学模拟预测）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为___________；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为___________；
（3）已知点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角为60°则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为___________.
12．（2022·河南·模拟预测（理））已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为等边三角形，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为60°，则直线AD与平面BCD所成角的正弦值为______．
13．（2022·重庆八中模拟预测）过正方体 SKIPIF 1 < 0 的顶点A作直线l，使得l与直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成的角均为 SKIPIF 1 < 0 ，若这样的直线l恰有两条，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
四、解答题
14．（2022·河北唐山·二模）如图， SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是 SKIPIF 1 < 0 的中心，以EF为折痕把 SKIPIF 1 < 0 折起，使点A到达点P的位置，且 SKIPIF 1 < 0 平面ABC．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．
15．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形. SKIPIF 1 < 0 ，D，E分别为AC和 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，F为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？
16．（2022·全国·三模（理））如图所示，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四边形ABCD为矩形， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，点E为线段AB的中点，M为线段AE的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值．
17．（2022·广东潮州·二模）如图，平面 SKIPIF 1 < 0 平面CEFG，四边形CEFG中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E在正方形ACDE的外部，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
18．（2022·广东·二模）如图1，在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面ABC．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，二面角D-AC-E为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
19．（2022·山西太原·二模（文））如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
20．（2022·广东韶关·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点．AB=2，AD=4， SKIPIF 1 < 0
(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO//平面PAD；
(2)若二面角P-AD-B的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
21．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2，BC=CD=1．
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为60°，求侧棱 SKIPIF 1 < 0 的长．
22．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）如图， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
(3)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0，π)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
求法
cs β＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝|cs β|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)