新高考数学二轮复习讲义专题09 解三角形（2份打包，原卷版+解析版）

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1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的有关几个术语
方法技巧
【核心题型】
题型一：正余弦定理
1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
2．（2023·四川内江·统考一模） SKIPIF 1 < 0 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为D，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二：边角互化
4．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高三专题练习）秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边．已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·山西吕梁·统考二模）锐角 SKIPIF 1 < 0 是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型三：三角形面积公式巧用
7．（2023·广西柳州·二模）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．3
8．（2023·广西柳州·统考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ，若角A的内角平分线 SKIPIF 1 < 0 的长为3，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．21B．24C．27D．36
9．（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型四：解三角形的实际应用
10．（2023·四川凉山·统考一模）我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛 SKIPIF 1 < 0 的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，均垂直于地面），使目测点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，目测点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，测出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出岛高 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离（如图）．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则海岛的高 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．18B．16C．12D．21
11．（2022·四川南充·统考一模）某工厂的烟囱如图所示，底部为 SKIPIF 1 < 0 ，顶部为 SKIPIF 1 < 0 ，相距为 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 在同一水平线上，用高为 SKIPIF 1 < 0 的测角工具在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 位置测得烟囱顶部 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 处的仰角分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在同一条水平线上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则烟囱的高 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2022·江西·江西师大附中校考三模）地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼､黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一､“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若 SKIPIF 1 < 0 ，则楼高AB约为（ ）
A．58米B．68米C．78米D．88米
题型五：解三角形的综合应用
13．（2023·全国·校联考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
14．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 中,角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ,向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
15．（2023·全国·高三专题练习）如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内的一点， SKIPIF 1 < 0 记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 记为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中的对边分别记为m，n， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长和 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【高考必刷】
一、单选题
16．（2023·四川内江·统考一模） SKIPIF 1 < 0 的内角A、B、C所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．（2022·安徽黄山·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,O是 SKIPIF 1 < 0 的外心,则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
18．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注： SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．（2022·浙江杭州·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 外接圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
A．20B． SKIPIF 1 < 0 C．27D． SKIPIF 1 < 0
21．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
22．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ）的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的半径 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率）的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
24．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则B的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
25．（2022·湖北·荆门市龙泉中学校联考一模） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，BC边上的中线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为定值B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为30°
26．（2022·全国·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以下四个命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C．已知M是边BC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
27．（2022·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 边上的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列选项正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．角 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
28．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则b的值为______．
29．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边，S表示 SKIPIF 1 < 0 的面积，其公式为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
30．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______.
31．（2023·安徽·校联考模拟预测）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB长度为2a，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的轨迹称为双纽线．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 为双纽线，若 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，A，B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为______．
四、解答题
32．（2022·全国·统考高考真题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求B；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
33．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
34．（2022·全国·统考高考真题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求b．
35．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）如图，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(7)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ
图形
关系式
absin Aa＝bsin A或a≥b
解的个数
无解
两解
一解