新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第08讲 函数的单调性（2份打包，原卷版+解析版）

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1．函数单调性的定义
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；若有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
2．单调区间的定义
若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数或减函数，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是 SKIPIF 1 < 0 ”与“函数在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然 SKIPIF 1 < 0 .
（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数 SKIPIF 1 < 0 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
3．函数单调性的常用结论
（1）若 SKIPIF 1 < 0 均为区间A上的增(减)函数，则 SKIPIF 1 < 0 也是区间A上的增(减)函数；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的单调性相同；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的单调性相反；
（3）函数 SKIPIF 1 < 0 在公共定义域内与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的单调性相反；
（4）函数 SKIPIF 1 < 0 在公共定义域内与 SKIPIF 1 < 0 的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
① SKIPIF 1 < 0 的单调性：在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
② SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的单调性：在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
4．函数的最值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
5、判断函数的单调性
1．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 进行适当变形，进而比较出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
6、 函数单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
（1）由 SKIPIF 1 < 0 的大小关系可以判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系，也可以由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系判断出 SKIPIF 1 < 0 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为 SKIPIF 1 < 0 的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的取值应在外层函数的定义域内．
7、 函数最值的求解
1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；若函数在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.
3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.
4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.
【知识拓展】
1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,f（x）)的单调性相反.
2.“对勾函数”y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的单调增区间为(－∞，－eq \r(a))，(eq \r(a)，＋∞)；单调减区间是[－eq \r(a)，0)，(0，eq \r(a)].
【考点研习一点通】
考点01 单调性的判定和证明
1、下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
2.已知函数f(x)= SKIPIF 1 < 0 ，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
考点02：求函数的单调区间
3.函数f(x)= SKIPIF 1 < 0 在（ ）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
4、函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
考点03：利用单调性比较大小
5.设函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6、定义在实数集 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系正确的是（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考点04：利用单调性确定参数取值范围
7.若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.【多选题】（2021·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 [t，t+1]，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则整数t的取值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．3D．5
考点05：利用函数的单调性解决不等式问题
9.【多选题】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列x的范围满足不等式 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10、若定义在 SKIPIF 1 < 0 的奇函数f(x)在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且f(2)=0，则满足 SKIPIF 1 < 0 的x的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考点06：函数的单调性和最值（值域）问题
11.若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．有最大值，但无最小值B．既有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值
12.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_____.
考点07：抽象函数的单调性问题
13.（2021·海南高三其他模拟）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
14.设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0(1)f(0)＝1；
(2)x∈R时，恒有f(x)>0；
(3)f(x)在R上是减函数．
【考点易错】
易错01函数的单调性
1、 下列函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 且在定义域内单调递增的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
易错02单调性的证明
2、已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）判断函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，并用定义法证明；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
3、定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），有 SKIPIF 1 < 0 ，则
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4、已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如果对于 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）解不等式 SKIPIF 1 < 0 .
易错03利用单调性求最值
5、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若在区间 SKIPIF 1 < 0 上，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
6、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．
易错04：抽象函数的单调性问题
7.（2020·上海高三专题练习）函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：在上是单调增函数；
（Ⅲ）若，且，求证：.
8．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≥3.
【巩固提升】
1.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．y= SKIPIF 1 < 0 在R上为减函数B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在R上为增函数D．y= SKIPIF 1 < 0 f(x)在R上为减函数
2.已知，那么( )
A. 在区间上单调递增 B. 在上单调递增
C. 在上单调递增 D. 在上单调递增
3．下列函数中是增函数的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4.设函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
5.下列函数中，在区间（0，+ SKIPIF 1 < 0 ）上单调递增的是
A． SKIPIF 1 < 0 B．y= SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6.设 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
7.若定义在 SKIPIF 1 < 0 的奇函数f(x)在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且f(2)=0，则满足 SKIPIF 1 < 0 的x的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8.下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
9.下列函数在其定义域上是增函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10.已知偶函数y=f(x)在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11.已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[ SKIPIF 1 < 0 ，+∞）D．（﹣∞， SKIPIF 1 < 0 ]
12.设函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，若两函数在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性相同，则把区间 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的“稳定区间”.已知区间 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“稳定区间”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13.已知函数 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
14.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_______，最大值是________.
15.已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数a的取值范围.增函数
减函数
定义
一般地，设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，如果对于定义域 SKIPIF 1 < 0 内某个区间 SKIPIF 1 < 0 上的任意两个自变量的值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ，那么就说函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数
当 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ，那么就说函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数
图象描述
自左向右看，图象是上升的
自左向右看，图象是下降的
前提
设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足
条件
（1）对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
（3）对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
结论
SKIPIF 1 < 0 为最大值
SKIPIF 1 < 0 为最小值