福建省三明市2021_2022学年高一数学下学期期末质量检测试卷

这是一份福建省三明市2021_2022学年高一数学下学期期末质量检测试卷，共11页。

A. B.
C. D.
2. 掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现的点数大于2”，B=“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为（ ）
A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等
3. 在边长为2的正方形ABCD中，E为BC中点，则（ ）
A. 2B. 4C. D. 5
4. 北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为（ ）
A. 33B. 34C. 35D. 36
5. 在长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角正弦为（ ）
A. B. C. D.
6. 用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A. 1B. 2C. D.
7. 如图，平行四边形ABCD中，E是AD中点，F在线段BE上，且．记，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 某研究性学习小组为了测量某铁塔OT的高度，在地面A处测得塔顶T的仰角为60°，在距离A处20米的地面B处测得塔顶T的仰角为45°，并测得，则塔高OT为（ ）
A. 米B. 20米C. 30米D. 米
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 新中国成立以来，我国一共进行了七次全国人口普查（以下简称“普查”），历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示．下列结论正确的是（ ）
A. 第三次普查城镇人口数量低于2亿
B. 对比这七次普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增
C. 第六次普查城镇人口数量超过第二次人口普查总人口数
D. 与前一次普查对比，第五次普查的总人口增长量高于第四次普查的总人口增长量
10. 设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确是（ ）
A. B.
C. z是方程的一个根D. 满足最小正整数n为3
11. 已知向量，满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12. 对于给定的异面直线m，n，以下判断正确的是（ ）
A. 总存在四个顶点分别在m，n上正三棱锥
B. 总存在直线l，使得l同时与m，n垂直且相交
C. 总存在平面α，β，使得，，且
D. 对于任意点A，总存在过A且与m，n都相交的直线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，则______．
14. 某校从高一男生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，将得到的数据（单位：cm）从小到大排序：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，x，172，172，173，173，174，175．若该样本数据的第70百分位数是171，则x的值为______．
15. 设i是虚数单位，若关于x的方程有实数解，则m的取值集合为______．
16. 如图，在中空的圆台容器内有一个与之等高的实心圆柱，圆柱的底面与圆台的下底面重合．已知圆台的上底面半径与高均为40cm，下底面半径为10cm．现要在圆柱侧面和圆台侧面的间隙放置一些金属球，则能完全放入的金属球的最大半径为______cm，这样最大半径的金属球最多可完全放入______个．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，．
（1）求与夹角θ的余弦值；
（2）若与垂直，求实数k的值．
18. 如图，在直三棱柱中，E为中点，且．
（1）证明：AB⊥BC；
（2）若，且F为AC中点，求点B到平面的距离．
19. 如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
（1）求BE的长；
（2）若，求五边形ABCDE的周长．
20. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，，E是边BC上的点，且．连结AE，并以AE为折痕将△ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥，如图2．
（1）设平面PEC与平面PAD的交线为l，证明：AD∥l；
（2）在图2中，已知．
①证明：平面PAE⊥平面AECD；
②求以P，A，D，E为顶点的四面体外接球的表面积．
21. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）若，且，求△ABC的面积；
（2）求的最大值．
22. 某市为了解居民月均用水量的整体情况，通过简单随机抽样，获得了其中20户居民的月均用水量（单位：t），数据如下：
9.5 11.7 7.1 16.5 8.3 11.2 10.4 13.5 13.2 6.8
8.5 13.4 9.2 10.2 10.8 12.6 14.2 7.4 9.7 11.8
经计算，，，其中为抽取的第i户居民的月均用水量，其中．
（1）设“从这20个数据中大于13的数据中任取两个，其中恰有一个数据大于15”为事件A，求A的概率；
（2）根据统计原理，决定只保留区间内的数据，剔除该区间外的数据．
①利用保留的数据作为样本，估计该市居民月均用水量的平均值与方差（结果保留2位小数）；
②根据剔除前后的数据对比，写出一个统计结论．
答案
1-8 DCBBA CDD 9.BD 10.ACD 11.BC 12.BC
13. ##
14. 170
15.
16. ①. 10 ②. 6
17.（1）由题设，.
（2）由，，
所以，可得.
18.（1）因为，且，所以，
因为是直三棱柱，所以平面，
所以，又因为，且平面，平面，
所以平面，因平面，
所以AB⊥BC.
（2）因为平面，平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以平面，
设中点为，连接，因为是中点，
则，所以平面，
连接，，
因为，
所以，
设中点为，则，则，
所以，设点到平面的距离为，
则，
因为，所以，
解得： .
所以点到平面的距离为.
19.（1）由，，可得：，，
而，故，
在直角△中，则.
（2）由（1）知：，则，
，
由且，则，
所以.
所以五边形ABCDE的周长.
20.（1）由题设，，而面，面，
所以面，
又面，面，平面PEC与平面PAD的交线为l，面
所以且，
综上，.
（2）①若为中点，连接，
由题设，，，则，，
所以，故，
又，平行四边形ABCD中，可得，
在△中，，，故，
在△中，，，即，
所以，又为中点，故，
在△中，，，则，
所以，
由，面，故面，
又面，则面面.
②由①知：△为直角三角形，则外接圆圆心为，故外接圆半径为，
又面，则以P，A，D，E为顶点的四面体外接球球心在直线上，
若外接球半径为，则，可得，
所以外接球的表面积为.
21.（1）由，故，而，
所以，故.
（2）由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
22.（1）解：从表中数据得，抽取的20户居民的月均用水量大于13的数据有16.5、13.5、13.2、13.4、14.2，共5个，
记，
从上述大于13的5个数据中随机抽取两个的结果有如下：，，，，，，，，，，共10种情况，
恰有一个数据大于15的有：，，，，共4种情况，
所以；
（2）解：由题意得，
①，所以，
，
由此剔除了16.5这个数据，其他19个数据将保留作为样本，
即现有样本平均值等于，
故估计该市居民月均用水量的平均值是10.5t.
剔除了16.5这个数据，其他19个数据将保留作为样本，，
所以现有样本方差为，
故估计该市居民月均用水量的方差是4.93.
②对比剔除前后的数据，可看出剔除后的平均值与剔除前的平均值差别较大，剔除后的方差值与剔除前的方差值差别较大，
16.5作为被剔除的数据，且是样本中最大的数据，对平均值、方差造成较大影响，
说明平均数易受极端数据的影响，即一个数据离平均数越远，对平均数的影响越大;
故当计算平均值时，可以通过去掉最大值和最小值，以降低它们对平均值计算结果的影响