福建省龙岩市2021_2022学年高一数学下学期期末教学质量检查试卷

这是一份福建省龙岩市2021_2022学年高一数学下学期期末教学质量检查试卷，共11页。

（考试时间：120分钟满分150分）
注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数满足，则（）
A. B. 1C. D.
【答案】C
2. 在中，已知，，，则（）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】B
3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，即把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有4或6的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】A
6. “学习强国”平台设立了“助农”栏目实施对口扶贫，销售各种农产品.根据2021年全年某农产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出了如图所示的双层饼图，根据双层饼图（季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比），下列说法错误的是（）
A. 第三季度的销售额为160万元
B. 2月份的销售额为90万元
C. 12个月的月销售额的众数为60万元
D. 12个月的月销售额的极差为60万元
【答案】D
7. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）
A. 如果，，，那么
B. 如果，，，那么
C. 如果，，，那么
D. 如果，，，，那么
【答案】A
8. 在中，为线段的中点，为线段上的一点且，若，，则的值为（）
A. 12B. 6C. D.
【答案】B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，以下说法中正确的是（）
A.
B. 复数虚部为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆
【答案】AD
10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（）
A. 甲与乙是对立事件B. 甲与乙是互斥事件
C. 丙与丁相互独立D. 甲与丁相互独立
【答案】BD
11. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
12. 如图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，，分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是（）
A. 平面B. 存在点，，使得
C. 平面与平面所成的角为D. 的最小值为
【答案】AC
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某年级举行合唱比赛，8位评委对某班级代表队的评分如下：82，79，78，81，95，88，84，92，则该组数据的第75百分位数是__________.
【答案】90
14. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
15. 某班同学的体重状况调查中，已知30名男生的平均体重为60kg，方差为50，20名女生的平均体重为50kg，方差为60，那么该班50名同学的平均体重为__________kg，方差为__________.
【答案】 ①. 56； ②. 78
16. 正四面体中，，为棱上一点，且的最小值为，若为线段的中点，则过点的平面截该正四面体外接球所得截面面积的最小值为__________.
【答案】##
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 1.已知向量，.
（1）当实数k为何值时，向量与共线？
（2）若，，且，求实数m的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
因为，，所以，，当向量与共线时，，解得：，故当时，向量与共线
【小问2详解】
，．
∵，∴，∴.
18. 某校组织学生观看“太空授课”后抽取100名学生参加科学探索知识竞赛，并将所得成绩分成6组：，，，，，，进而绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计100名学生成绩的众数，并求图中的值；
（2）用分层抽样的方法从成绩落在内的学生中抽取6人，再从这6人中选出2人作问卷调查，求这2人在同一组中的概率.
【答案】（1）众数75，；
（2）
【解析】
【小问1详解】
由频率分布直方图可得众数为，
又，解得；
【小问2详解】
三组，，对应的频率分别为0.05，0.1，0.15，则在内应抽取1人，记为；
在内应抽取2人，记为；在内应抽取3人，记为，则从这6人中选出2人包含的基本事件为
，共15个，
其中2人在同一组包含的基本事件为共4个，则这2人在同一组中的概率为.
19. 如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，，，.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【小问1详解】
连接交于，连接，易得为中点，又为线段的中点，则，
又平面，平面，则平面；
【小问2详解】
由余弦定理得：，即，则，则，
平行四边形为矩形，则，又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，则，又是半圆弧上的点，则，又，
平面，则平面，又平面，则平面平面.
20. 在中，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的大小；
（2）若，_____，求边上的中线的长.
在“①；②周长为；③的面积为.”这三个条件中任选一个填入上述空格中.
【答案】（1）；
（2）3
【解析】
【小问1详解】
由正弦定理得，又由余弦定理得，又，则；
【小问2详解】
由正弦定理得，即，又，则，，则；
若选①，，可得，又，则，由余弦定理可得，
即，则；
若选②，由，可得，又，
可得，由余弦定理可得，即，则；
若选③，由，可得，又，则，由余弦定理可得，
即，则.
21. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛.约定先赢两局者获胜，比赛随即结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
（1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
（2）哪两位同学进行首场比赛能使甲获胜的概率最大？请作出判断并说明理由.
【答案】（1）；
（2）甲丙进行首场比赛，理由见解析.
【解析】
【小问1详解】
第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况：①乙丙对战乙胜，甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为；
②乙丙对战丙胜，甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为；综上：甲获胜的概率为；
【小问2详解】
若第一局乙丙对战，由（1）知甲获胜的概率为；
若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况：①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为；
②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，乙丙对战乙胜，甲乙对战甲胜，概率为；
③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜，概率为；
所以最终甲能获胜的概率为；
若第一局甲丙对战，则甲获胜有3种情况：①甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜，概率为；
②甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，甲丙对战甲胜，概率为；
③甲丙对战丙胜，乙丙对战乙胜，甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为；
所以最终甲能获胜的概率为；又，则第一局甲丙对战，能使甲获胜的概率最大.
22. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知为棱上的动点，设直线与平面所成角为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
由题意，，由已知，平面，
平面，平面，，
是直角三角形，面积为，
F点到底面ABC的距离，
三棱锥A-EFB的体积；
【小问2详解】
，建立空间直角坐标系如下图：
则有，，
设D点的坐标为，则有，
，，设平面的一个法向量为，
则有，即解得y=0，取x=1=2，z=1，，
，，
显然当m=0时，最大，最大值=；
综上，三棱锥A-EFB的体积为 ，的最大值为.