2021-2022学年福建省三明市高二下学期普通高中期末质量检测数学试题含解析

2021-2022学年福建省三明市高二下学期普通高中期末质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则＝（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得，再根据集合的交集求解即可.

【详解】解：因为，，

所以，

故选：D

2．函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据幂函数的性质判断即可；

【详解】解：因为的定义域为，

又，故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；

当时，由幂函数的性质可知，在上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误；

故选：A

3．已知随机变量，则（       ）

A．4.8 B．5.8 C．9.6 D．10.6

【答案】C

【分析】先利用公式计算随机变量的方差，再利用公式计算即可.

【详解】因为随机变量，方差，

所以.

故选：C.

4．“”是“函数的定义域为R”的（       ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出“函数的定义域为R”时对应a的范围，记为集合B, 记集合,利用集合法进行判断.

【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.

i.时，对任意恒成立；

ii. 时，只需，解得：；

所以.

记集合,.

因为A B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.

故选：B.

5．为更好开展常态化疫情防控核酸检测服务工作，某单位安排4名党员志愿者到3个免费采样点协助工作，每名志愿者只去1个采样点，每个采样点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．96种

【答案】C

【分析】先分组，再分配，按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】解：首先从名党员志愿者中选择名作为一组，有种，

再将三组分配到三个地方有种，

按照分步计数原理可知一共有种方案；

故选：C

6．已知集合，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数的定义求解即可

【详解】对于A：当时，由得，但，故A错误；

对于B：因为任取一个元素，通过在中都有唯一的元素与之对应，故B正确；

对于C：当时，由得，但，故C错误；

对于D：当时，由得，但，故D错误；

故选：B

7．已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【分析】由已知得， 代入得，令，根据基本不等式可求得答案.

【详解】解：因为，所以，所以 ，

所以，

令，则，且 ，

所以，当且仅当，即，时，取等号，

所以的最小值是.

故选：A.

8．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲，有，设，可求得，从而有是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，代入可求得.

【详解】解：要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲，

所以，即，

设，则，所以，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．已知5个成对数据（x，y）的散点图如下，若去掉点D（4，3），则下列说法正确的是（       ）

A．变量x与变量y呈负相关 B．变量x与变量y的相关性变强

C．残差平方和变小 D．样本相关系数r变大

【答案】ABC

【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可

【详解】由散点图可知，去掉点D后，与的线性相关加强，且为负相关，所以AB正确，

由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C正确，

由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误，

故选：ABC

10．若，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用反比例函数的单调性和不等式的性质，判断出选项B和D；利用作差法得出选项C错误；构造函数，求导判断单调性，判断选项A．

【详解】，，且，故选项B和D正确；

，，故选项C错误；

构造函数，则，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

而与的大小未知，故选项A不确定，错误；

故选：BD

11．设为正整数，展开式的系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为b，下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则展开式中项的系数为28160

D．若，则展开式中项的系数为44

【答案】ABD

【分析】由题知，，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为为正整数，

所以，展开式的系数的最大值即为二项式系数的最大值，故，

展开式的二项式系数的最大值为，

对于A选项，若，则，故A选项正确；

对于B选项，若，即，故，解得，故B选项正确；

对于C选项，若，则展开式中项的系数为，故C选项错误；

对于D选项，若，则展开式中项的系数为，故D选项正确.

故选：ABD

12．已知函数，下列说法正确的有（       ）

A．的一个周期是

B．的对称中心是

C．在上的最大值是

D．在内的所有零点之和为

【答案】BD

【分析】选项AB根据三角函数的性质分析即可；选项C求导分析的单调性求出最值；选项D根据对称性和单调性，数形结合分析即可.

【详解】选项A：，所以不是的一个周期，A错误.

选项B：的对称中心是，也是的对称中心，所以的对称中心是，B正确.

选项C：，当时，；令解得.

所以当即时，单调递减；即时，单调递增.

所以，C错误.

选项D：在所有零点即与图像所有交点的横坐标，根据B选项关于中心对称和C选项中的单调性可画出简图：

显然是一个交点，

又因为也关于中心对称，所以图像交点关于对称.

故零点和为，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知曲线在点处的切线为l，则直线l的方程为___．

【答案】

【分析】先求导，则，再由点斜式求解即可

【详解】因为，

所以，，

所以切线方程为：，即，

故答案为：

14．某城市每年6月份的平均气温t近似服从，若，则可估计该城市6月份平均气温低于26摄氏度的天数为___．

【答案】6

【分析】先由正态分布的对称性求出气温低于26℃的概率，从而可求出气温低于26℃的天数

【详解】因为每年6月份的平均气温近似服从，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以该城市6月份平均气温低于26℃的天数为.

故答案为：6.

15．已知函数的最小值为－1，则实数a＝___．

【答案】－

【分析】分段函数分别讨论每一区间的值域，解出符合要求的值即可.

【详解】 时 与最小值为 不符合；

故最小值为只能是 时， ，解得 或 .所以

故答案为： .

四、双空题

16．悬索桥是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁．当微积分尚未出现时，伽利略猜测缆索悬链线的形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出缆索悬链线的方程为，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数．则_____，函数的最小值为___．

【答案】         

【分析】利用已知化简求值即可；写出函数的表达式，利用换元法以及二次函数的图象和性质求出最小值．

【详解】；

，

令，则，当时，函数有最小值；

故答案为：；．

五、解答题

17．三明市拥有丰富的非物质文化遗产资源，目前，我市有永安大腔戏、泰宁梅林戏、龙舞（大田板凳龙）、竹纸制作技艺、祭祖习俗（石壁客家祭祖习俗）、沙县小吃制作技艺、杂剧作场戏等7个项目入选国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为了研究市民的性别与对我市非物质文化遗产资源了解程度的关联性，某调查机构随机抽取200位市民（其中男女各100位）进行问卷调查．被调查者得分的频数统计表如下：

若被调查者得分不低于8分，则认为对我市非物质文化遗产资源“了解”，若得分低于8分，则认为对我市非物质文化遗产资源“不了解”．

完成下面的列联表，依据小概率伯的独立性检验，能否认为性别与了解程度有关联？

参考公式：

．

参考数据：

【答案】列联表见解析，认为性别与了解程度之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.

【分析】根据题意，可得高于8分的男女总人数为120人，由列联表中了解的人数中女生有40人，可得其他部分的人数，根据独立性检验的公式，可得最后答案.

【详解】解：列联表如下：

零假设为：分类变量X与Y相互独立，即性别与了解程度之间无关联．

根据列联表中的数据，得：

，

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与了解程度之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．

18．已知函数（，且），且．

(1)求a；

(2)，求t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入求解即可；

（2）先判断的单调性与奇偶性，再利用单调性与奇偶性求解即可

【详解】(1)因为，

所以，即，

所以或．

又因为，且，

所以．

(2)由（1）得，所以，

因为和在R上是增函数，

所以f（x）在R上是增函数，

又因为，

所以f（x）为奇函数，

因为，

所以，

所以，解得，

即t的取值范围是．

19．有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：

(1)第1次取出的零件是一等品的概率；

(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设＝“被挑出的是第i箱”，＝“第i次取出的零件是一等品”，

由根据条件概率计算公式计算出，，再由可得答案；

（2）由（1）得，根据条件概率公式计算出，

，

代入可得答案．

【详解】(1)设＝“被挑出的是第i箱”，

＝“第i次取出的零件是一等品”，

则，

因为，，

所以第1次取出的零件是一等品的概率是．

(2)由（1）得，

因为，

所以

，

所以．

故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为．

20．2022年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消费满600元（含600元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（只能选择其中的一种）．

方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元．

方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回摸出3个球，中奖规则为：若模到2个红球，1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折．

(1)某顾客恰好消费600元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望；

(2)若顾客消费1000元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？

【答案】(1)分布列见解析，

(2)从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理

【分析】（1）设实付金额为X元，求出X可能的取值并利用相互独立事件求出对应的概率，列出分布列可求出期望；

（2）若选择方案一，设摸到红球的个数为Y，实付金额为，求出，

若选择方案二，设实付金额为元，求出，比较可得答案．

【详解】(1)设实付金额为X元，则X可能的取值为0，200，400，600，

，

，

故X的分布列为

所以（元）.

(2)若选择方案一，设摸到红球的个数为Y，实付金额为，则，

由已知可得，故，

所以（元）

若选择方案二，设实付金额为元，则可能的取值为0，500，750，1000，，

．

故的分布列为

所以（元）.

所以，

故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理．

21．在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：

(1)根据统计表中的数据判断，与哪一个更适合作为关于的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立关于的经验回归方程；

(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同．若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．

参考数据：

，，，其中，，，．

参考公式：

对于一组数据（，），（，），…，（，），其经验回归直线的斜率和截距的

最小二乘估计公式分别为；

【答案】(1)，

(2)2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车

【分析】（1）根据题意，选择的函数模型是，令，则，再结合已知数据计算回归方程即可.

（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，进而得，解得，即可得从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为，再解即可得答案.

【详解】(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是

令，则，

因为，，

所以，

．

所以．

(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，

依题意得，，解得，

设从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，

则有，

设从2021年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有

．

所以，

解得

故从2021年底起经过7年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．

22．已知函数．

(1)若，求函数的极值；

(2)讨论函数的零点个数．

【答案】(1)有极小值，无极大值

(2)答案见解析

【分析】（1）根据导数法求函数极值的的步骤求解即可；

（2）由题意，当时，

令，的零点个数为函数的图象与直线的交点个数．用导数法研究零点个数即可

【详解】(1)的定义域为R，

当时，，

令，得

当x变化时，的变化情况如下表：

所以有极小值，无极大值；

(2)因为，

当时，，

令，

当或时，，单调递增；

当或时．，单调递减；

所以有极大值，极小值

令，解得．

当或时，；当．

所以的图象经过特殊点，

当时，，当时，．

根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示．

的零点个数为函数的图象与直线的交点个数．

所以，关于函数的零点个数有如下结论：

当或时，有2个零点；

当或或时，有1个零点；

当时，没有零点

【点睛】本题只要考查了函数的极值与零点，考查了灵活利用导数知识分析问题，解决问题的能力，综合考查了逻辑推理与运算能力，体现了分类讨论的思想.