福建省三明市普通高中2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题

三明市普通高中2021—2022学年第一学期期末质量检测

高一数学试题

本试卷共5页，满分150分．

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，，则（    ）

A. {2，3} B. {1，2，3} C. {2，3，4} D. {1，2，3，4}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算直接可得答案.

【详解】集合，，

则,

故选：A.

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，可得答案.

【详解】命题“”为全称命题，

其否定应为特称命题，即，

故选：D.

3. 函数的定义域为（    ）

A. （－∞，2） B. （－∞，2] C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用根式、分式的性质列不等式组求定义域即可.

【详解】由题设，，可得，

所以函数定义域为.

故选：D

4. 若条件p：，q：，则p是q成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性．

【详解】由不能推出，例如，

但必有，

所以p是q成立的必要不充分条件.

故选：B.

5. 已知，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．

【详解】设，则，则，

则，

故选：．

6. 设，且，则的最小值为（    ）

A. 4 B.  C.  D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.

【详解】由，当且仅当时等号成立.

故选：C

7. 已知，则它们的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据幂函数、指数函数性质判断大小关系.

【详解】由，

所以.

故选：B

8. 设．若存在，使得，则的最小值是（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题设在上存在一个增区间，结合、且，有必为的一个子区间，即可求的范围.

【详解】由题设知：，，又，

所以在上存在一个增区间，又，

所以，根据题设知：必为的一个子区间，即，

所以，即的最小值是.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：结合题设条件判断出必为的一个子区间.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合原目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知函数，以下判断正确的是（    ）

A. f（x）的最小正周期为 B. f（x）的最小正周期为π

C. 是图象的一个对称中心 D. 是图象的一个对称中心

【答案】AD

【解析】

【分析】根据正切函数的性质求最小正周期，再应用代入法判断对称中心即可.

【详解】由正切函数的性质知：，A正确，B错误；

，故不是的对称中心，C错误；

，故是的对称中心，D正确.

故选：AD

10. 若实数a，b，c，d满足，则以下不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据所给条件，结合不等式的性质判断各选项的正误即可.

【详解】由且，则，A正确；

由且，则，B正确；

当时，有，C错误；

由且，则，又，故，D正确.

故选：ABD

11. 整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 若，则整数a，b属同一类

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意可知，一个类即这些整数的余数相同，进而求出余数即可.

【详解】对A，，即余数为1，正确；

对B，，即余数为3，错误；

对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；

对D，由题意能被5整除，则分别被5整除的余数相同，正确.

故选：ACD.

12. 已知函数，以下判断正确的是（    ）

A. f（x）是增函数 B. f（x）有最小值

C. f（x）是奇函数 D. f（x）是偶函数

【答案】BD

【解析】

【分析】由题设可得，根据复合函数的单调性判断的单调情况并确定是否存在最小值，应用奇偶性定义判断奇偶性.

【详解】由，

令为增函数；而在上递减，在上递增；

所以在上递减，在上递增；

又在定义域上递增，则在上递减，在上递增；

所以在上递减，在上递增，故最小值为，

，故为偶函数.

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知角的终边经过点，则__．

【答案】

【解析】

【分析】根据终边上的点可得，再应用差角正弦公式求目标式的值.

【详解】由题设，，

所以.

故答案为：.

14. 已知．若实数m满足，则m的取值范围是__．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，进而解不含参数的一元二次不等式即可求出结果.

【详解】由题意可知，即，所以，因此，

故答案：.

15. 函数的零点个数为___．

【答案】2

【解析】

【分析】当x≤0时，令函数值为零解方程即可；当x＞0时，根据零点存在性定理判断即可.

【详解】当x≤0时，，

∵，故此时零点为；

当x＞0时，在上单调递增，

当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；

综上，函数y在R上共有2个零点.

故答案为：2.

16. 设x，．若，且，则的最大值为___．

【答案】##1.5

【解析】

【分析】由化简得，再由基本不等式可求得，从而确定最大值．

【详解】，

，，

，，

，

，

当且仅当时即 取等号，

，解得，

故，

故的最大值为，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）结合指数的运算化简计算即可求出结果；

（2）结合对数的运算化简计算即可求出结果；

【小问1详解】

【小问2详解】

18. 已知.

（1）化简，并求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；

（2）利用 将变形为，继而变形为，代入求值即可.

小问1详解】

则

【小问2详解】

由（1）知，．

则

19. 设函数，．

（1）根据定义证明在区间上单调递增；

（2）判断并证明的奇偶性；

（3）解关于x的不等式.

【答案】（1）证明见解析   

（2）奇函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义，准确运算，即可求解；

（2）根据函数奇偶性的定义，准确化简，即可求解；

（3）根据函数的奇偶性和单调性，把不等式转化为，得到，即可求解．

【小问1详解】

证明：，且，

则，

因为，，，所以，

即，所以在上单调递增．

【小问2详解】

证明：由，即，解得，即的定义域为，

对于任意，函数，

则，

即，所以是奇函数.

【小问3详解】

解：由（1）知，函数在上单调递增，

又因为x是增函数，所以是上的增函数，

由，可得，

由，可得，

因为奇函数，所以，

所以原不等式可化为，则，解得，

所以原不等式的解集为．

20. 国际上常用恩格尔系数r来衡量一个国家或地区的人民生活水平．根据恩格尔系数的大小，可将各个国家或地区的生活水平依次划分为：贫困，温饱，小康，富裕，最富裕等五个级别，其划分标准如下表：

某地区每年底计算一次恩格尔系数，已知该地区2000年底的恩格尔系数为60%．统计资料表明：该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长．根据上述材料，回答以下问题.

（1）该地区在2010年底是否已经达到小康水平，说明理由；

（2）最快到哪一年底，该地区达到富裕水平？

参考数据：，，，．

【答案】（1）已经达到，理由见解析   

（2）2022年

【解析】

【分析】（1）根据该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长的比例列式求解，判断十年后是否达到即可.

（2）假设经过n年，该地区达到富裕水平，列式，利用指对数互化解不等式即可.

【小问1详解】

该地区2000年底的恩格尔系数为%，

则2010年底的思格尔系数为

因为

所以1，

则

所以．

所以该地区在2010年底已经达到小康水平．

【小问2详解】

从2000年底算起，设经过n年，该地区达到富裕水平

则，

故，即．

化为．

因为，则In，所以．

因为

．

所以．

所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平．

21. 已知函数）的最大值为2．

（1）求m的值；

（2）求使成立的x的取值集合；

（3）将的图象上所有点的横坐标变为原来的）倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若是的一个零点，求t的最大值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）将函数解析式化简整理，然后求出最值，进而得到，即可求出结果；

（2）结合正弦型函数图象，解三角不等式即可求出结果；

（3）结合伸缩变换求出函数的解析式，进而求出零点，然后结合题意即可求出结果.

【小问1详解】

因为的最大值为1，所以的最大值为，

依题意，，解得．

【小问2详解】

由（1）知，

由，

得．

所以．

解得

所以，使成立的x取值集合为．

【小问3详解】

依题意，，

因为是的一个零点，所以，

所以

所以，

因为，所以，

所以t的最大值为．

22. 已知函数，其中m为实数．

（1）求f（x）的定义域；

（2）当时，求f（x）的值域；

（3）求f（x）的最小值．

【答案】（1）   

（2）[2，2]   

（3）当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为

【解析】

【分析】（1）根据函数解析式列出相应的不等式组，即可求得函数定义域；

（2）令，采用两边平方的方法，即可求得答案；

（3）仿（2），令，可得，从而将

变为关于t的二次函数，然后根据在给定区间上的二次函数的最值问题求解方法，分类讨论求得答案.

【小问1详解】

由

解得．

所以f（x）的定义域为．

【小问2详解】

当时，．

设，

则．

．

当时，取得最大值8；

当或时，取得最小值4．

所以的取值范围是[4，8]．

所以f（x）的值城为[2，2]．

【小问3详解】

设，

由（2）知，，且，

则．

令，,

若，，此时的最小值为；

若，．

当时，在[2，2上单调递增，

此时的最小值为；

当，即时，，

此时的最小值为；

当，即时，，

此时的最小值为

所以，当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为