福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检查数学试卷（含答案）

这是一份福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检查数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检查数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知复数，，则( )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
2、已知向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3、从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为( )
A. B. C. D.
4、已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为，，，，，经计算全班数学平均成绩，且，则该班学生此次数学成绩的标准差为( )
A.20 B. C.10 D.
5、如图，在正方体中，E，F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是( )

A.若，，则
B.若，，则平面平面
C.若，，则
D.若，，则平面
6、闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为B点（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测得CD的长为15米，，，，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为( )

A.14米 B.15米 C.16米 D.17米
7、已知等边三边形ABC的边长为4，D为BC的中点，将沿AD折到，使得为等边三边形，则直线与AC所成的角的余弦值为( )
A. B.0 C. D.
8、在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则周长的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9、已知复数z满足，则( )
A.
B.z的虚部为3i
C.
D.复数z在复平面内对应的点位于第二象限
10、新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则( )

A.本地新增阳性人数最多的一天是10日
B.本地新增确诊病例的极差为84
C.本地新增确诊病例人数的中位数是46
D.本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数
11、已知M是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面内一点，，则下列结论正确的是( )
A.当M为正六边形ABCDEF的中心时， B.t的最大值为4
C.t的最小值为 D.t可以为0
12、如图，水平放置的正方形ABCD边长为1，先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45°，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转45°，得到正方形，则( )

A.直线平面ABCD
B.到平面ABCD的距离为
C.点A到点的距离为
D.平面与平面ABCD所成的锐二面角为60°
三、填空题
13、方程在复数范围内的根为____________.
14、数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为_____________.
15、为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为______________.
16、如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，.记四面体的外接球的球心为O，M为球O表面上的一个动点，当取最大值时，四面体体积的最大值为____________.

四、解答题
17、在中，，，.
（1）当时，用，表示；
（2）求的值
18、如图，在直三棱柱中，，，.

（1）求三棱柱的侧面积；
（2）设D为AC的中点，求证：平面.
19、已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个.从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
20、某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：

若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.
（1）求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；
（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000.
（i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记总的样本平均数为，样本方差为.证明：.
（ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.
21、如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面底面ABCD.
（1）若，求证：；
（2）若AC与平面PCD所成角为30°，求点A到直线PC的距离.

22、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，，，.
（1）若，求c；
（2）若，求的面积.
参考答案
1、答案：A
解析：
2、答案：D
解析：因为向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，所以向量在向量上的投影向量为.
3、答案：B
解析：
4、答案：D
解析：
5、答案：C
解析：
6、答案：B
解析：
7、答案：D
解析：
8、答案：B
解析：由得
，
因为，所以，
，因为，，所以，，
所以，所以，由正弦定理得
所以，，
所以的周长为

因为，
所以的周长为，故选B
9、答案：AC
解析：
10、答案：ABC
解析：
11、答案：ACD
解析：
12、答案：BD
解析：如图，可将正方形放于两个全等正方体的公共面上，由已知可得直线与平面ABCD相交，所以A错误；
过作，到平面ABCD的距离等价于H到平面ABCD的距离，根据等积关系得，由此得到平面ABCD的距离为，故B正确；
连接、，在中，，故C错误；
因为平面平面，所以平面与平面ABCD所成的锐二面角可转化为平面与平面所成的锐二面角，求得锐二面角的平面角为60°，故D正确.综上BD正确.
13、答案：
解析：
14、答案：17.5
解析：这组数据共8个数，从小到大排列是11，12，13，15，16，17，18，21，，所以第三四分位数是第6个数和第7个数的平均数，即.
15、答案：
解析：设甲同学答对的的事件为A，答错的事件为，设乙同学答对的的事件为B，答错的事件为乙同学答对的的事件为C，答错的事件为，
因为甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是，
所以，，，
解得，，，
所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为：
.
16、答案：
解析：依题可得：四面体的外接球的球心O为BC中点，外接球半径，要使取到最大值，则，即AM与球O相切时，所以
在中，
，
所以
所以，所以
过M作，垂足为H，所以点M在以H为圆心MH为半径的圆上
又
所以四面体体积的最大值=
17、答案：（1）
（2）64
解析：（1）当时，

（2）法一：




法二：取AB中点D，
则，且，
所以
因为，，
所以，
所以
18、答案：（1）48
（2）证明见解析
解析：（1）因为三棱柱为直三棱柱，
所以侧面，，，均为矩形，
因为，所以底面ABC，均为直角三角形，
又因为，，
所以，
所以三棱柱的侧面积为.
所以三棱柱的侧面积为48.
（2）连接交于点O，连接OD，
因为四边形为矩形，
所以O为的中点，
因为D为AC的中点，所以.
所以平面，平面，
所以平面.
19、答案：（1）2，1，1
（2）（i），，，，，，，，，，，，，，
（ii）不公平，理由见解析
解析：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，
由于A，B，C为两两互斥事件，根据已知得，解得，所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，，，，，，，，，，，，，，.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
20、答案：（1）中位数在内，众数380
（2）（i）证明见解析
（ii）平均数1000M，方差50000
解析：（1）估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数450，由频率分布直方图可知流量少于300M的所占比例为，流量少于400M的所占比例为，所以抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在内，且中位数为
（2）（i）证明：根据方差的定义，总样本的方差为


，由，可得

同理可得
因此

（ii）估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数为
M
由（i）知，估计该大型企业全体员工手机日使用流量的方差为


21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，连接BD，因为侧面底面ABCD，侧面底面，，
所以底面ABCD.
又因为平面ABCD，
所以.
在正方形ABCD中，，，
平面PBD，平面PBD
所以平面PBD
因为平面PBD所以.
（2）如图，因为，平面PCD，平面PCD

所以平面PCD
所以A到平面PCD的距离，
即为B到平面PCD的距离.
过B作，垂足为M
由AC与平面PCD所成的角为30°，得：
，所以.
因为侧面底面ABCD，侧面底面，
，平面ABCD
所以平面PBC，平面PBC所以
又，
所以平面ABM，平面ABM
所以
所以AM的长度即为点A到PC的距离.
所以
所以点A到PC的距离为.
22、答案：（1），或
（2）4或
解析：（1）在中，，，由余弦定理得，

所以，化简得，
解得，或.
所以，或.
所以，或，
综上可得，或.
（2）在中，设，则，
因为，由正弦定理得，所以.
在中，，，
由正弦定理得，即.
化简得
，因为，所以，.
所以或，解得或.
当时，，，所以为等腰直角三角形，
得到的面积为；
当，，
在中由正弦定理得，
所以
所以的面积为，
综上可得的面积为4或.