新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题3.1 导数的概念及运算（2份打包，原卷版+解析版）

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1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【题型1 利用导数的定义解题】
【方法点拨】
利用导数的定义，转化求解即可.
【例1】（2022•庐阳区校级开学）已知函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则（ ）
A．﹣4B．4C．﹣36D．36
【变式1-1】（2022春•哈尔滨期末）已知f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（2）＝4，则（ ）
A．4B．2C．8D．﹣8
【变式1-2】（2022春•尖山区校级期末）已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f'（3）＝（ ）
A．0B．﹣2C．1D．
【变式1-3】（2022春•北海期末）已知函数，则（ ）
A．1B．5C．7D．6
【题型2 导数的运算】
【方法点拨】
常见形式及具体求导6种方法：
【例2】（2022•临洮县开学）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．（lg2x）'
C．（3x）′＝3x•lg3eD．（x2csx）'＝﹣2xsinx
【变式2-1】（2022春•新源县期末）记函数f（x）的导函数为f'（x）．若f（x）＝exsinx，则f'（x）＝（ ）
A．exsinx﹣excsxB．exsinx+excsx
C．excsxD．ex+csx
【变式2-2】（2022•河南开学）已知函数，若f'（1）＝﹣1，则a＝（ ）
A．﹣1B．C．D．1
【变式2-3】（2022秋•渝中区校级月考）已知函数f（x）＝3x﹣2f'（1）lnx，则f'（1）＝（ ）
A．ln3B．2C．3D．3ln3
【题型3 求切线方程（斜率、倾斜角）】
【方法点拨】
求曲线过点P的切线方程的方法：
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
【例3】（2021•广东模拟）函数处的切线方程是（ ）
A．4πx+16y﹣π2＝0B．4πx﹣16y﹣π2＝0
C．4πx+8y﹣π2＝0D．4πx﹣8y﹣π2＝0
【变式3-1】（2021秋•海淀区校级月考）设函数 f （ x）＝x•lnx，则曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣x﹣1B．y＝x+1C．y＝﹣x+1D．y＝x﹣1
【变式3-2】（2022春•白山期末）曲线y＝x4﹣3x在点（1，﹣2）处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2021春•滑县校级月考）已知函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（ ）
A．B．1C．D．﹣1
【题型4 求切点坐标】
【方法点拨】
求切点坐标的思路：已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，
从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【例4】（2022春•定远县校级月考）曲线y＝f（x）＝ex的倾斜角为的切线的切点坐标为（ ）
A．（ln3，）B．（ln3，）
C．（ln3，）D．（ln3，）
【变式4-1】（2021春•浙江期中）已知的切线斜率等于﹣4，则切点坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【变式4-2】（2021•天心区校级模拟）已知曲线y在点M处有水平切线，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣15，76）B．（15，67）C．（15，76）D．（15，﹣76）
【变式4-3】（2021•黄山一模）已知函数f（x）＝x4+ax2+1的图像在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与y轴交于点（0，4），则切点的纵坐标为（ ）
A．7B．﹣7C．﹣4D．4
【题型5 已知切线方程（或斜率）求参数】
【方法点拨】
(1)利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求
出参数的值或取值范围．
(2)求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
①注意曲线上横坐标的取值范围；
②谨记切点既在切线上又在曲线上．
【例5】（2020秋•太原期末）已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为（ ）
A．B．C．﹣eD．e
【变式5-1】（2022春•珠海期末）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，1）处的切线为3x﹣y﹣2＝0，则有（ ）
A．a＝﹣1，b＝1B．a＝1，b＝﹣1C．a＝﹣2，b＝1D．a＝2，b＝﹣1
【变式5-2】（2022春•红河州期末）已知曲线y＝x3+ax在x＝1处的切线与直线y＝4x+3平行，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【变式5-3】（2021秋•渝中区校级月考）若函数f（x）＝2lnx+4x2+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣8，+∞）C．（﹣∞，8）D．（8，+∞）
【题型6 曲线的公切线问题】
【方法点拨】
解决此类问题通常有两种方法：
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝
eq \f(fx1－gx2,x1－x2).
【例6】（2022春•洛阳月考）若曲线y＝lnx与曲线：y＝x2﹣k有公切线，则实数k的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2022•江苏模拟）若两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A．（0，2e]B．（0，e]C．[2e，+∞）D．（e，2e]
【变式6-2】（2021秋•滕州市校级期中）已知f（x）＝ex﹣1（e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+1，则f（x）与g（x）的公切线条数（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【变式6-3】（2022秋•赣州月考）若函数的图象与函数g（x）＝txex的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数t＝（ ）
A．B．e2C．或D．或原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式
先化为和、差形式，再求导
复合函数
先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元