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数学湘教版（2019）3.2 双曲线练习题
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这是一份数学湘教版（2019）3.2 双曲线练习题，共20页。试卷主要包含了已知双曲线C，故选A等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2021山东日照一中月考)已知平面上的定点F1,F2及动点M,甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数),乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且|PF1|=3,则|PF2|=( )
A.5 B.1
C.3 D.1或5
3.(2022江苏镇江中学期中)动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=1,圆C2:x2+y2-8x+7=0都外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x215+y2=1 B.x2-y215=1
C.x2-y215=1(x≥1) D.x2-y215=1(x≤-1)
4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,则△ABF2的周长是 .
题组二 双曲线的标准方程
5.经过点P(-3,27)和Q(-62,-7)的双曲线的标准方程是( )
A.y275-x225=1 B.y225-x275=1
C.x225-y275=1 D.x275-y225=1
6.(2022湖南石门六中期末)与椭圆x24+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的方程是( )
A.x22-y2=1 B.x24-y2=1
C.x23-y23=1 D.x2-y22=1
7.已知双曲线的一个焦点为F1(-5,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )
A.x24-y2=1 B.x2-y24=1
C.x22-y23=1 D.x23-y22=1
8.(多选)(2022广东阳江期末)关于x,y的方程x2m2+2+y24-m2=1(其中m2≠4)表示的曲线可能是( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.长轴长为26的椭圆
题组三 双曲线的综合应用
9.(2021江苏锡山高级中学阶段性考试)若椭圆x2m+y2n=1(m>n>0)和双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是( )
A.m-a2 B.12(m-a2)
C.m2-a2 D.m-a
10.(2020湖南师大附中期中)已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C的右支上的一点,且不在x轴上,过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=( )
A.随P点变化而变化
B.2
C.4
D.5
11.(2021江苏镇江中学期初)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),∠F1F2P的大小为( )
A.π12 B.π6
C.π3 D.5π12
12.(2022湖南武冈二中月考)F1,F2分别是双曲线x22-y24=1的左、右焦点,过F1的直线分别交该双曲线的左、右两支于A,B两点,若AF2⊥BF2,|AF2|=|BF2|,则|AF2|=( )
A.2 B.22
C.4 D.42
13.(2020湖南长郡中学期中)设F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△PF1F2的面积.
14.焦点在x轴上的双曲线过点P(42,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
能力提升练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2022江西景德镇一中期末)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为( )
A.y2-x248=1(y≤-1) B.y2-x248=1
C.x2-y248=1(x≤-1) D.x2-y248=1
2.(2022湖南田家炳实验中学期中)已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,则△ABF1的周长为( )
A.1633+8 B.4(2-1)
C.433+8 D.2(3-2)
3.(2022河南平顶山月考)已知F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,点P不在x轴上,若A为△PF1F2内切圆上一动点,则当|AF1|的最大值为4时,△PF1F2的内切圆半径为( )
A.34 B.12 C.78 D.56
4.(2022广西玉林期末)已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,点M关于F1,F2对称的点分别是A,B,线段MN的中点在双曲线C的右支上,则|AN|-|BN|= .
题组二 双曲线的标准方程及其应用
5.如图,F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-7,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A.5x27-5y228=1 B.x26-y2=1
C.x2-y26=1 D.5x228-5y27=1
6.(2022上海建平中学月考)设P(x,y)是双曲线x25-y24=1的右支上的点,则代数式x2+y2-2y+1-x2+y2-6x+9的最小值为( )
A.10 B.25-10
C.10-5 D.5+6-3
7.(多选)(2022湖南师大附中月考)已知点P是双曲线E:x216-y29=1的右支上一点,F1,F2分别为双曲线E的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有( )
A.点P的横坐标为203
B.△PF1F2为锐角三角形
C.△PF1F2的周长为803
D.△PF1F2的内切圆半径为32
8.(2022江西景德镇二中期末)若P是双曲线x2-y248=1的右支上的一点,M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
9.已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离;
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.
题组三 双曲线的综合应用
10.(2022湖南长郡中学二模)设F1,F2是双曲线C:x24-y28=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C的右支上,且OF1·OP|OP|+F1P·OP|OP|=23,则△PF1F2的面积为( )
A.2 B.43
C.8 D.83
11.某地发生地震,为了援救灾民,救援员在如图所示的P处收到一批救灾药品.现要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去,已知|PA|=100 km,|PB|=150 km,|BC|=60 km,∠APB=60°.试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线,并求出其方程.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 根据双曲线的定义,知乙⇒甲,但甲⇒/ 乙,只有当02.A 依题意得,a=1,b=3,因此c=10,易知点P只可以在双曲线的左支上,因此|PF1|-|PF2|=-2,即3-|PF2|=-2,所以|PF2|=5,故选A.
易错警示
已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|3.D 易知圆C1的圆心为C1(-4,0),半径 r1=1,圆C2的圆心为C2(4,0),半径 r2=3.设M(x,y),动圆M的半径为r,因为动圆M与圆C1,C2都外切,所以|MC1|=r+1,|MC2|=r+3,所以|MC2|-|MC1|=2,因为2<|C1C2|=8,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点,2a=2为实轴长的双曲线的左支,所以a=1,c=4,所以b=16-1=15,即M的轨迹方程为x2-y215=1(x≤-1).故选D.
4.答案 26
解析 易知|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,
∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
5.B 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则9m+28n=1,72m+49n=1,解得m=-175,n=125,
故双曲线的标准方程为y225-x275=1.故选B.
6.A 由椭圆方程可得焦点坐标为(±3,0),设与椭圆共焦点的双曲线的方程为x2m-y23-m=1(07.B 设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),易知c=5,所以b2=5-a2,所以x2a2-y25-a2=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(5,4).将(5,4)代入双曲线方程,得5a2-165-a2=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-y24=1.故选B.
8.BC 若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则m2+2<0且4-m2>0,无解,A错误;若方程表示圆心为坐标原点的圆,则m2+2=4-m2,解得m=±1,B正确;若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则4-m2<0且m2+2>0,所以m>2或m<-2,C正确;若方程表示长轴长为26的椭圆,则2a=26,则4-m2>0,m2+2>4-m2,2m2+2=26或4-m2>0,m2+2<4-m2,24-m2=26,无解,D错误.故选BC.
9.A 不妨设|PF1|>|PF2|,由椭圆与双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=m+a,|PF2|=m-a,
所以|PF1|·|PF2|=(m+a)(m-a)=m-a2.故选A.
10.C 延长F2M交PF1于Q,由题意得,直线PM是线段F2Q的中垂线,即|PQ|=|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=8,又因为线段MO是△F1F2Q的中位线,所以|MO|=12|QF1|=4.
11.D 由x2-y2=1,得a=1,b=1,c=2.
设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=2+m.
所以m2+(m+2)2=(22)2,解得m=3-1(m=-3-1舍去),
所以cs∠F1F2P=|PF2||F1F2|=3-122=6-24,
所以∠F1F2P=5π12.故选D.
12.C 由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,因为|AF2|=|BF2|,所以|BF2|-|AF1|=2a,所以|BF1|-|AF1|=4a,即|AB|=4a,因为AF2⊥BF2,所以|AF2|2+|BF2|2=|AB|2,所以2|AF2|2=|AB|2=16a2,由x22-y24=1,得a2=2,所以2|AF2|2=|AB|2=16a2=32,解得|AF2|=4(负值舍去),故选C.
13.解析 ∵F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,
∴不妨设F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,
由|PF1|∶|PF2|=2∶1,可设|PF2|=x(x>0),
则|PF1|=2x.
由双曲线的定义知2x-x=25,解得x=25,
∴|PF1|=45,|PF2|=25,
∴cs∠F1PF2=(45)2+(25)2-622×45×25=45,
∴sin∠F1PF2=35.
∴△PF1F2的面积为12×45×25×35=12.
14.解析 因为双曲线的焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),两焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点P(42,-3),所以32a2-9b2=1①.
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以QF1·QF2=0,即-c2+25=0,
解得c2=25②.又因为c2=a2+b2③,
所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去),
所以b2=9.故此双曲线的标准方程是x216-y29=1.
能力提升练
1.A 由题意得|AC|=122+(2-7)2=13,|BC|=122+(2+7)2=15,|AB|=14,因为A,B 都在椭圆上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,
故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,又因为2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,即c=7,a=1,所以b2=48,因此F的轨迹方程是y2-x248=1(y≤-1).故选A.
2.A 由题意得a=2,则|AF1|-|AF2|=2a=4,|BF1|-|BF2|=2a=4,设|AF2|=m,|BF2|=n,m>0,n>0,所以|AF1|=4+m,|BF1|=4+n.因为△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,所以|AF1|=|AB|,即4+m=m+n,所以n=4,所以|BF1|=8,|AB|=4+m,在△ABF1中,由余弦定理得|BF1|2=|AF1|2+|AB|2-2×|AF1|×|AB|×cs A,即82=(4+m)2+(4+m)2-2×(4+m)2×-12,所以3(4+m)2=64,解得m=833-4(负值舍去),所以△ABF1的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=4+m+m+4+8=8+1633.故选A.
3.C 易得F1(-2,0),F2(2,0).设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2切于N,B,与F1F2切于M,圆心为C,如图,则|PN|=|PB|,|F1N|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又因为点P在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,
设M的坐标为(x,0),则(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=1.设内切圆半径为r,则内切圆圆心为C(1,r),则|AF1|的最大值为|CF1|+r=4,即(1+2)2+(r-0)2+r=4,解得r=78.故选C.
4.答案 16
解析 如图,设线段MN的中点为D.由双曲线的定义可得|DF1|-|DF2|=2a=8.易得D,F1,F2分别是线段MN,MA,MB的中点,则|AN|=2|DF1|,|BN|=2|DF2|,故|AN|-|BN|=2|DF1|-2|DF2|=4a=16.
5.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,
所以双曲线的方程为x2-y26=1.
6.B x2+y2-2y+1-x2+y2-6x+9=x2+(y-1)2-(x-3)2+y2,设A(0,1),F(3,0),则上式表示|PA|-|PF|,易知双曲线x25-y24=1的左、右焦点分别为F'(-3,0),F(3,0),实轴长2a=25,则|PF|=|PF'|-2a=|PF'|-25,则|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|+25=-(|PF'|-|PA|)+25,因为|PF'|-|PA|≤|AF'|=32+12=10,当P为F'A的延长线与双曲线右支的交点时等号成立,所以(|PA|-|PF|)min=-|AF'|+25=25-10.故选B.
7.ACD 由双曲线的标准方程知a=4,b=3,c=5.对于A,设P(m,n),m>0,n>0,则S△PF1F2=12|F1F2|×n=cn=5n=20,即n=4,代入双曲线的方程中,可解得m=203(负值舍去),故A正确;对于B,由P203,4,F2(5,0),可得kPF2=125>0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故B错误;对于C,易求得|PF1|=3532+16=373,|PF2|=259+16=133,则△PF1F2的周长为373+133+10=803,故C正确;对于D,如图,设△PF1F2的内心为I,内切圆半径为r,连接IP,IF1,IF2,则12r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=20,可得803r=40,解得r=32,故D正确.故选ACD.
8.答案 6
解析 设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,由题意得a=1,b=43,c=7,∴F1(-7,0),F2(7,0),∵M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1上的点,
∴|MF1|=3,|NF2|=1,由题意知|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|MP|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|-|NF2|,∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|,∴|PM|-|PN|≤|PF1|-|PF2|+|NF2|+|MF1|=2+1+3=6.
9.解析 (1)由题意得a=4,c=16+4=25,如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,
∵MF1·MF2=0,∴MF1⊥MF2,
设|MF1|=m,|MF2|=n,
由双曲线的定义,知m-n=2a=8,
又∵m2+n2=(2c)2=80,∴(m-n)2+2mn=64+2mn=80,
∴mn=8,∴12mn=12|F1F2|·h=4,∴h=255.
故M点到x轴的距离为255.
(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1(-4<λ<16),
∵双曲线C过点(32,2),
∴1816-λ-44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴所求双曲线C的方程为x212-y28=1.
10.C 由OF1·OP|OP|+F1P·OP|OP|=23,得OF1·OP+F1P·OP=23|OP|,所以OP·(OF1+F1P)=OP·OP=23|OP|,可得|OP|=23,
不妨设F1(-23,0),F2(23,0),
所以|OP|=12|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,所以△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,
故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=48.
又因为点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a=4,所以16=(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=48-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=16,
所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|=8,故选C.
11.解析 灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样近.依题意知,界线是第三类点的轨迹.
设M为界线上的任意一点,
则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
因为|AB|=1002+1502-2×100×150×cs60°
=507>50,
所以界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分.
如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
易知a=25,c=257,所以b2=c2-a2=3 750,故双曲线的标准方程为x2625-y23 750=1.
故界线的方程为x2625-y23 750=1(25≤x≤35,0≤y≤60).
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2021山东日照一中月考)已知平面上的定点F1,F2及动点M,甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数),乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且|PF1|=3,则|PF2|=( )
A.5 B.1
C.3 D.1或5
3.(2022江苏镇江中学期中)动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=1,圆C2:x2+y2-8x+7=0都外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x215+y2=1 B.x2-y215=1
C.x2-y215=1(x≥1) D.x2-y215=1(x≤-1)
4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,则△ABF2的周长是 .
题组二 双曲线的标准方程
5.经过点P(-3,27)和Q(-62,-7)的双曲线的标准方程是( )
A.y275-x225=1 B.y225-x275=1
C.x225-y275=1 D.x275-y225=1
6.(2022湖南石门六中期末)与椭圆x24+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的方程是( )
A.x22-y2=1 B.x24-y2=1
C.x23-y23=1 D.x2-y22=1
7.已知双曲线的一个焦点为F1(-5,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )
A.x24-y2=1 B.x2-y24=1
C.x22-y23=1 D.x23-y22=1
8.(多选)(2022广东阳江期末)关于x,y的方程x2m2+2+y24-m2=1(其中m2≠4)表示的曲线可能是( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.长轴长为26的椭圆
题组三 双曲线的综合应用
9.(2021江苏锡山高级中学阶段性考试)若椭圆x2m+y2n=1(m>n>0)和双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是( )
A.m-a2 B.12(m-a2)
C.m2-a2 D.m-a
10.(2020湖南师大附中期中)已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C的右支上的一点,且不在x轴上,过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=( )
A.随P点变化而变化
B.2
C.4
D.5
11.(2021江苏镇江中学期初)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),∠F1F2P的大小为( )
A.π12 B.π6
C.π3 D.5π12
12.(2022湖南武冈二中月考)F1,F2分别是双曲线x22-y24=1的左、右焦点,过F1的直线分别交该双曲线的左、右两支于A,B两点,若AF2⊥BF2,|AF2|=|BF2|,则|AF2|=( )
A.2 B.22
C.4 D.42
13.(2020湖南长郡中学期中)设F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△PF1F2的面积.
14.焦点在x轴上的双曲线过点P(42,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
能力提升练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2022江西景德镇一中期末)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为( )
A.y2-x248=1(y≤-1) B.y2-x248=1
C.x2-y248=1(x≤-1) D.x2-y248=1
2.(2022湖南田家炳实验中学期中)已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,则△ABF1的周长为( )
A.1633+8 B.4(2-1)
C.433+8 D.2(3-2)
3.(2022河南平顶山月考)已知F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,点P不在x轴上,若A为△PF1F2内切圆上一动点,则当|AF1|的最大值为4时,△PF1F2的内切圆半径为( )
A.34 B.12 C.78 D.56
4.(2022广西玉林期末)已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,点M关于F1,F2对称的点分别是A,B,线段MN的中点在双曲线C的右支上,则|AN|-|BN|= .
题组二 双曲线的标准方程及其应用
5.如图,F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-7,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A.5x27-5y228=1 B.x26-y2=1
C.x2-y26=1 D.5x228-5y27=1
6.(2022上海建平中学月考)设P(x,y)是双曲线x25-y24=1的右支上的点,则代数式x2+y2-2y+1-x2+y2-6x+9的最小值为( )
A.10 B.25-10
C.10-5 D.5+6-3
7.(多选)(2022湖南师大附中月考)已知点P是双曲线E:x216-y29=1的右支上一点,F1,F2分别为双曲线E的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有( )
A.点P的横坐标为203
B.△PF1F2为锐角三角形
C.△PF1F2的周长为803
D.△PF1F2的内切圆半径为32
8.(2022江西景德镇二中期末)若P是双曲线x2-y248=1的右支上的一点,M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
9.已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离;
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.
题组三 双曲线的综合应用
10.(2022湖南长郡中学二模)设F1,F2是双曲线C:x24-y28=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C的右支上,且OF1·OP|OP|+F1P·OP|OP|=23,则△PF1F2的面积为( )
A.2 B.43
C.8 D.83
11.某地发生地震,为了援救灾民,救援员在如图所示的P处收到一批救灾药品.现要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去,已知|PA|=100 km,|PB|=150 km,|BC|=60 km,∠APB=60°.试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线,并求出其方程.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 根据双曲线的定义,知乙⇒甲,但甲⇒/ 乙,只有当0
易错警示
已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|
4.答案 26
解析 易知|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,
∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
5.B 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则9m+28n=1,72m+49n=1,解得m=-175,n=125,
故双曲线的标准方程为y225-x275=1.故选B.
6.A 由椭圆方程可得焦点坐标为(±3,0),设与椭圆共焦点的双曲线的方程为x2m-y23-m=1(0
8.BC 若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则m2+2<0且4-m2>0,无解,A错误;若方程表示圆心为坐标原点的圆,则m2+2=4-m2,解得m=±1,B正确;若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则4-m2<0且m2+2>0,所以m>2或m<-2,C正确;若方程表示长轴长为26的椭圆,则2a=26,则4-m2>0,m2+2>4-m2,2m2+2=26或4-m2>0,m2+2<4-m2,24-m2=26,无解,D错误.故选BC.
9.A 不妨设|PF1|>|PF2|,由椭圆与双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=m+a,|PF2|=m-a,
所以|PF1|·|PF2|=(m+a)(m-a)=m-a2.故选A.
10.C 延长F2M交PF1于Q,由题意得,直线PM是线段F2Q的中垂线,即|PQ|=|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=8,又因为线段MO是△F1F2Q的中位线,所以|MO|=12|QF1|=4.
11.D 由x2-y2=1,得a=1,b=1,c=2.
设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=2+m.
所以m2+(m+2)2=(22)2,解得m=3-1(m=-3-1舍去),
所以cs∠F1F2P=|PF2||F1F2|=3-122=6-24,
所以∠F1F2P=5π12.故选D.
12.C 由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,因为|AF2|=|BF2|,所以|BF2|-|AF1|=2a,所以|BF1|-|AF1|=4a,即|AB|=4a,因为AF2⊥BF2,所以|AF2|2+|BF2|2=|AB|2,所以2|AF2|2=|AB|2=16a2,由x22-y24=1,得a2=2,所以2|AF2|2=|AB|2=16a2=32,解得|AF2|=4(负值舍去),故选C.
13.解析 ∵F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,
∴不妨设F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,
由|PF1|∶|PF2|=2∶1,可设|PF2|=x(x>0),
则|PF1|=2x.
由双曲线的定义知2x-x=25,解得x=25,
∴|PF1|=45,|PF2|=25,
∴cs∠F1PF2=(45)2+(25)2-622×45×25=45,
∴sin∠F1PF2=35.
∴△PF1F2的面积为12×45×25×35=12.
14.解析 因为双曲线的焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),两焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点P(42,-3),所以32a2-9b2=1①.
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以QF1·QF2=0,即-c2+25=0,
解得c2=25②.又因为c2=a2+b2③,
所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去),
所以b2=9.故此双曲线的标准方程是x216-y29=1.
能力提升练
1.A 由题意得|AC|=122+(2-7)2=13,|BC|=122+(2+7)2=15,|AB|=14,因为A,B 都在椭圆上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,
故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,又因为2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,即c=7,a=1,所以b2=48,因此F的轨迹方程是y2-x248=1(y≤-1).故选A.
2.A 由题意得a=2,则|AF1|-|AF2|=2a=4,|BF1|-|BF2|=2a=4,设|AF2|=m,|BF2|=n,m>0,n>0,所以|AF1|=4+m,|BF1|=4+n.因为△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,所以|AF1|=|AB|,即4+m=m+n,所以n=4,所以|BF1|=8,|AB|=4+m,在△ABF1中,由余弦定理得|BF1|2=|AF1|2+|AB|2-2×|AF1|×|AB|×cs A,即82=(4+m)2+(4+m)2-2×(4+m)2×-12,所以3(4+m)2=64,解得m=833-4(负值舍去),所以△ABF1的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=4+m+m+4+8=8+1633.故选A.
3.C 易得F1(-2,0),F2(2,0).设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2切于N,B,与F1F2切于M,圆心为C,如图,则|PN|=|PB|,|F1N|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又因为点P在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,
设M的坐标为(x,0),则(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=1.设内切圆半径为r,则内切圆圆心为C(1,r),则|AF1|的最大值为|CF1|+r=4,即(1+2)2+(r-0)2+r=4,解得r=78.故选C.
4.答案 16
解析 如图,设线段MN的中点为D.由双曲线的定义可得|DF1|-|DF2|=2a=8.易得D,F1,F2分别是线段MN,MA,MB的中点,则|AN|=2|DF1|,|BN|=2|DF2|,故|AN|-|BN|=2|DF1|-2|DF2|=4a=16.
5.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,
所以双曲线的方程为x2-y26=1.
6.B x2+y2-2y+1-x2+y2-6x+9=x2+(y-1)2-(x-3)2+y2,设A(0,1),F(3,0),则上式表示|PA|-|PF|,易知双曲线x25-y24=1的左、右焦点分别为F'(-3,0),F(3,0),实轴长2a=25,则|PF|=|PF'|-2a=|PF'|-25,则|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|+25=-(|PF'|-|PA|)+25,因为|PF'|-|PA|≤|AF'|=32+12=10,当P为F'A的延长线与双曲线右支的交点时等号成立,所以(|PA|-|PF|)min=-|AF'|+25=25-10.故选B.
7.ACD 由双曲线的标准方程知a=4,b=3,c=5.对于A,设P(m,n),m>0,n>0,则S△PF1F2=12|F1F2|×n=cn=5n=20,即n=4,代入双曲线的方程中,可解得m=203(负值舍去),故A正确;对于B,由P203,4,F2(5,0),可得kPF2=125>0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故B错误;对于C,易求得|PF1|=3532+16=373,|PF2|=259+16=133,则△PF1F2的周长为373+133+10=803,故C正确;对于D,如图,设△PF1F2的内心为I,内切圆半径为r,连接IP,IF1,IF2,则12r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=20,可得803r=40,解得r=32,故D正确.故选ACD.
8.答案 6
解析 设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,由题意得a=1,b=43,c=7,∴F1(-7,0),F2(7,0),∵M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1上的点,
∴|MF1|=3,|NF2|=1,由题意知|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|MP|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|-|NF2|,∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|,∴|PM|-|PN|≤|PF1|-|PF2|+|NF2|+|MF1|=2+1+3=6.
9.解析 (1)由题意得a=4,c=16+4=25,如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,
∵MF1·MF2=0,∴MF1⊥MF2,
设|MF1|=m,|MF2|=n,
由双曲线的定义,知m-n=2a=8,
又∵m2+n2=(2c)2=80,∴(m-n)2+2mn=64+2mn=80,
∴mn=8,∴12mn=12|F1F2|·h=4,∴h=255.
故M点到x轴的距离为255.
(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1(-4<λ<16),
∵双曲线C过点(32,2),
∴1816-λ-44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴所求双曲线C的方程为x212-y28=1.
10.C 由OF1·OP|OP|+F1P·OP|OP|=23,得OF1·OP+F1P·OP=23|OP|,所以OP·(OF1+F1P)=OP·OP=23|OP|,可得|OP|=23,
不妨设F1(-23,0),F2(23,0),
所以|OP|=12|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,所以△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,
故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=48.
又因为点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a=4,所以16=(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=48-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=16,
所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|=8,故选C.
11.解析 灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样近.依题意知,界线是第三类点的轨迹.
设M为界线上的任意一点,
则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
因为|AB|=1002+1502-2×100×150×cs60°
=507>50,
所以界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分.
如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
易知a=25,c=257,所以b2=c2-a2=3 750,故双曲线的标准方程为x2625-y23 750=1.
故界线的方程为x2625-y23 750=1(25≤x≤35,0≤y≤60).
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