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高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆课堂检测
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这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆课堂检测，共19页。试卷主要包含了以椭圆C，若椭圆C等内容，欢迎下载使用。
题组一 由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=( )
A.2 B.2 C.14 D.4
2.(2022天津三中期中)已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆( )
A.有相同的长轴与短轴
B.有相同的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的离心率
3.[2021新高考八省(市)联考]椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.2
4.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=2,则椭圆的焦距等于( )
A.463 B.263 C.433 D.233
题组二 由椭圆的几何性质求标准方程
5.(2022四川凉山州月考)已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为4,焦距为2,则C的方程为( )
A.x216+y212=1
B.x216+y212=1或y216+x212=1
C.x24+y23=1
D.x24+y23=1或y24+x23=1
6.(2021江苏徐州沛县学情调研)过点(2,3),焦点在x轴上且与椭圆x24+y23=1有相同的离心率的椭圆方程为( )
A.x26+y24=1 B.x216+y212=1
C.x212+y29=1 D.x28+y26=1
7.以椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形,且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,则椭圆C的标准方程为( )
A.x24+y23=1 B.x28+y24=1
C.x216+y212=1 D.x264+y248=1
8.(2022湖南益阳期中)若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,焦距为25,椭圆C上的两点P,Q关于原点对称,|PF|-|QF|=a,且PF⊥QF,则椭圆C的方程为 .
题组三 椭圆的离心率
9.设e是椭圆x2k+y24=1的离心率,且e∈12,1,则实数k的取值范围是( )
A.(0,3) B.3,163
C.(0,2) D.(0,3)∪163,+∞
10.(2022广东福田月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为12,A是椭圆上位于x轴上方的一点,且|AF1|=|F1F2|,则直线AF1的斜率为( )
A.33 B.3 C.22 D.1
11.(2022四川树德中学月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.0,14 B.14,1
C.12,1 D.12,1
12.(2022湖南桃江一中开学考试)已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,若过原点的直线与椭圆相交于 A,B两点,且∠AFB=120°,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.32,1 B.0,32
C.0,12 D.12,1
题组四 直线与椭圆的位置关系
13.直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
14.(2022四川成都蓉城名校联盟期中)直线y=x+m与椭圆x22+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=423,则实数m的值为( )
A.±12 B.±1 C.±32 D.±2
15.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得的线段的中点的坐标是( )
A.23,53 B.43,73
C.-23,13 D.-132,-172
16.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
17.(2022湖南邵阳期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,B1为椭圆的上顶点,△B1F1F2的面积为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,P0,12,|MP|=|NP|,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一 椭圆的几何性质及其应用
1.(2022江西景德镇一中期末)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x216+y28=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且F1M·PM=0,则|OM|的取值范围为( )
A.[0,3) B.(0,22)
C.[22,3) D.[0,4]
2.(多选)(2022山东泰安月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2且|F1F2|=2,点 P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为 2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12
D.若PF1=F1Q,则椭圆 C的长轴长为5+17
3.(2022湖北黄冈中学期末)已知A,B为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点,F1,F2分别为其左、右焦点,且满足AF1=2F1B,当∠F1AF2=π3时,椭圆的离心率为 .
4.(2022湖北武汉期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为8,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为4,P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为 .
5.(2022安徽芜湖期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).过F1且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点A,以F1A,F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB,点B恰好也在椭圆上,则b2= .
题组二 直线与椭圆的位置关系
6.(多选)(2022河北阜城中学期末)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点 P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”,下列直线是“椭型直线”的是( )
A.x-2y+6=0 B.x-y=0
C.2x-y+1=0 D.x+y-3=0
7.(2022河南新乡期末)已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(32,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点的坐标为(2,-2),则椭圆G的方程为( )
A.x232+y214=1 B.x238+y220=1
C.x248+y230=1 D.x236+y218=1
8.(2022陕西西安中学月考)已知曲线C上任意一点P(x,y)满足x2+y2+2y+1+x2+y2-2y+1=22,则曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是( )
A.23,-23 B.63,-63
C.32,94 D.-63,63
9.(2022湖南湘潭月考)已知点P(0,1)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,且直线x+2y-2=0过椭圆C的一个焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过点P(0,1)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,记直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=-2,则直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
10.(2022湖南师大附中期末)如图,已知动圆M过点E(-1,0),且与圆F:(x-1)2+y2=8内切,设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过圆心F的直线l交曲线C于A,B两点,问:在x轴上是否存在定点P,使得当直线l绕点F任意转动时,PA·PB为定值?若存在,求出点P的坐标和PA·PB的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 易知长轴长2a=2,短轴长2b=21m,
所以41m=2,解得m=4.故选D.
2.D 将椭圆方程x2+2y2=2整理得x22+y2=1,其焦点在x轴上,a1=2,b1=1,则c1=a12-b12=1,所以e1=c1a1=12=22.
将椭圆方程2x2+y2=1整理得x212+y2=1,其焦点在y轴上,a2=1,b2=22,则c2=a22-b22=22,
所以e2=c2a2=221=22,故选D.
3.C 由题意得a=m2+1,b=m,c=1,∠F1AO=π6(O为坐标原点),则tan π6=cb=1m=33,所以m=3.故选C.
4.A 不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是14+1b2=1,解得b2=43,所以c=4-43=263,所以焦距2c=463.
5.D 由题意得a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.
当焦点在x轴上时,椭圆的方程为x24+y23=1,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为y24+x23=1.故选D.
6.D 设所求椭圆方程为x24+y23=λ(λ>0),将(2,3)代入可得44+33=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为x28+y26=1.故选D.
7.C 由题意可得b=3c,a+c=6,a2=b2+c2,解得a=4,b=23,c=2,所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1.
8.答案 x28+y23=1
解析 设椭圆C的左焦点为F',则F'(-c,0),由椭圆的对称性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又因为|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=3a2,|QF|=a2,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2=|FF'|2,
即a24+9a24=(2c)2=20,解得a2=8,又因为c=5,所以b2=a2-c2=3,因此椭圆C的标准方程为x28+y23=1.
9.D 当椭圆的焦点在x轴上时,k>4,e=k-4k∈12,1,∴k-4k∈14,1,∴k∈163,+∞;当椭圆的焦点在y轴上时,010.B 依题意e=ca=12,即a=2c.又因为|AF1|+|AF2|=2a,|F1F2|=2c,|AF1|=|F1F2|,所以|AF2|=2c,所以△AF1F2是等边三角形,所以∠AF1F2=60°,所以kAF1=tan∠AF1F2=tan 60°=3,故选B.
11.D 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,
又∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=32a,|PF2|=12a,
而|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立,即32a-12a≤2c,解得e=ca≥12,即12≤e<1,故选D.
12.D 设椭圆的另一个焦点为F',连接AF',BF',则四边形AFBF'为平行四边形,∠FAF'=60°,在△AFF'中,由余弦定理得|FF'|2=|AF|2+|AF'|2-2|AF|·|AF'|cs∠FAF'=(|AF|+|AF'|)2-3|AF|·|AF'|,所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'|2=3|AF|·|AF'|≤3|AF|+|AF'|22,即14(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|2,当且仅当|AF|=|AF'|时等号成立,则14×4a2≤4c2,可得椭圆的离心率e=ca≥12,所以e∈12,1,故选D.
13.A 直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x25+y24=1,得0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.
14.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=x+m,x22+y2=1,消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,则x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23,所以弦长|AB|=1+12·(x1+x2)2-4x1x2=2·16m29-4·2m2-23=2·24-8m29=423,解得m=±1,故选B.
15.C 联立y=x+1,x24+y22=1,消去y并整理,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-43,x0=x1+x22=-23,y0=x0+1=13,
∴所截得的线段的中点的坐标为-23,13.
16.答案 53
解析 由题意知,椭圆右焦点的坐标为(1,0),又因为直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与方程x25+y24=1联立,消去y并整理,得3x2-5x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+22×532-4×0=553.设原点到直线的距离为d,则d=|-2|(-1)2+22=255.所以S△OAB=12|AB|·d=12×553×255=53.
17.解析 (1)S△B1F1F2=12·2c·b=bc=3,又∵ca=32,a2=b2+c2,∴a=2,b=1,∴椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)由y=kx+m,x2+4y2=4,消去y并整理,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,
由Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.
设MN的中点D的坐标为(x0,y0),
则x0=x1+x22=-4km4k2+1,y0=kx0+m=-4k2m4k2+1+m=m4k2+1,即D-4km4k2+1,m4k2+1.
∵|MP|=|NP|,∴DP⊥MN,即y0-12x0=-1k,
∴4k2=-6m-1,
∴-6m-1>0,-6m-1>m2-1,解得-6∴实数m的取值范围是-6,-16.
能力提升练
1.B 如图,延长PF2,F1M交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,|OM|=12|F2N|=12|PN-PF2|=12||PF1|-|PF2||.由图可知,当P在短轴端点时,|OM|取得最小值,此时|OM|=0;当P在长轴端点时,|OM|取得最大值,此时|OM|=22,又因为点P不能在坐标轴上,所以|OM|的取值范围为(0,22).
2.ACD 因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,当点Q在F2P的延长线上时取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=1,a2=2,所以椭圆的方程为x22+y2=1,又因为122+12>1,则点P在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以1a2+1b2<1,又因为a2-b2=1,所以1a2+1a2-1<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>(1+5)24,所以a>1+52,所以e=ca<5-12,所以e∈0,5-12,故C正确; 若PF1=F1Q,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),又因为点Q在椭圆上,所以9a2+1b2=1,又因为a2-b2=1,所以9a2+1a2-1=1(a>1),即a4-11a2+9=0(a>1),所以a2=11+852=(5+17)24,所以a=5+172,所以椭圆C的长轴长为5+17,故D正确.故选ACD.
3.答案 219
解析 由题意得A,F1,B三点共线,设|F1B|=m(m≠0),则|AF1|=2m,|AB|=3m.在椭圆中,|F1F2|=2c,∠F1AF2=π3,由椭圆的定义可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在△F1AF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cs∠F1AF2,即4c2=4m2+(2a-2m)2-2·2m·(2a-2m)·cs π3,化简得c2=a2+3m2-3am.在△ABF2中,由余弦定理得|BF2|2=|AB|2+|AF2|2-2|AB|·|AF2|cs∠BAF2,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2·3m·(2a-2m)·csπ3,化简得9m2-5am=0,因为m≠0,所以m=59a,所以c2=a2+3·2581a2-3a·59a=727a2,所以ca=219.
4.答案 25,58
解析 由已知得2b=8,故b=4,∵△F1AB的面积为4,∴12(a-c)b=4,∴a-c=2,又∵a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,故a+c=8,∴a=5,c=3,
∴1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF2||PF1||PF2|
=2a|PF1|(2a-|PF1|)=10|PF1|(10-|PF1|)
=10-|PF1|2+10|PF1|=10-(|PF1|-5)2+25,
又∵a-c≤|PF1|≤a+c,即2≤|PF1|≤8,∴当|PF1|=5时,-(|PF1|-5)2+25有最大值,为25;当|PF1|=2或|PF1|=8时,-(|PF1|-5)2+25有最小值,为16,即16≤-(|PF1|-5)2+25≤25,∴1025≤1|PF1|+1|PF2|≤1016,即25≤1|PF1|+1|PF2|≤58.
5.答案 23
解析 依题意可知c=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为四边形OF1AB为平行四边形,所以y1=y2,又因为x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,所以x2=-x1,因为F1A∥OB,且直线F1A的倾斜角为60°,所以y1x1+2=y2x2=3,所以x1=-1,x2=1,y1=y2=3,所以A(-1,3),将其代入x2a2+y2b2=1,得1a2+3b2=1,又因为a2-b2=c2=4,所以a2=4+23,b2=23.
6.BC |PM|+|PN|=4>|MN|=2,根据椭圆的定义可得点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1.由题意知“椭型直线”与椭圆有公共点,对于A,联立x24+y23=1,x-2y+6=0,消去x并整理,得2y2-9y+12=0,所以Δ<0,方程组无解,所以A中直线不是“椭型直线”;同理,D中直线也不是“椭型直线”;对于B,直线x-y=0过原点,必与椭圆相交,所以是“椭型直线”;对于C,因为直线2x-y+1=0过点(0,1),且点(0,1)在椭圆内部,则该直线必与椭圆相交,是“椭型直线”.故选BC.
7.D 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式作差得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y12-y22x12-x22=-b2a2,设线段AB的中点为M,则M(2,-2),则kAB·kOM=y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-b2a2,又因为kAB=kMF=232-2=12,kOM=-1,所以-b2a2=12×(-1)=-12,所以c2=a2-b2=18,a2=2b2,解得a2=36,b2=18,因此椭圆G的方程为x236+y218=1.
故选D.
8.B 原等式可化为x2+(y+1)2+x2+(y-1)2=22,设F1(0,-1),F2(0,1),则|F1F2|=2,∴|PF1|+|PF2|=22>|F1F2|=2,∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且c=1,a=2,∴b2=1,
∴曲线C的方程是x2+y22=1,设与直线2x-y-4=0平行且与曲线C相切的直线方程为2x-y+t=0(t≠-4).联立2x-y+t=0,x2+y22=1,消去y并整理,得6x2+4tx+t2-2=0,∴Δ=16t2-24(t2-2)=0,∴t=±6,
易知当t=-6时,切点到直线2x-y-4=0的距离最近,此时可求得x=63,y=-63,故所求点的坐标是63,-63.故选B.
9.解析 (1)由题意知P(0,1)为椭圆的上顶点,则b=1,在x+2y-2=0中,令y=0,可得x=2,即c=2,
所以a2=b2+c2=1+4=5,
所以椭圆C的方程为x25+y2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,
设A(x0,y0),B(x0,-y0)(-5则k1+k2=y0-1x0+-y0-1x0=-2,解得x0=1,所以直线方程为x=1;
当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=kx+m,x25+y2=1,消去y并整理,可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,则x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-51+5k2,所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=(kx1+m-1)x2+(kx2+m-1)x1x1x2=-2,整理,得(2k+2)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,
所以(k+1)·m2-11+5k2=km(m-1)1+5k2,
即(m-1)(k+m+1)=0,
因为直线l不过点P(0,1),所以m≠1,
所以k+m+1=0,即m=-k-1,
所以y=kx+m=kx-k-1=k(x-1)-1,
当x=1时,y=-1,所以直线l过定点(1,-1).
又因为直线x=1也过点(1,-1),所以直线l恒过定点(1,-1).
10.解析 (1)由圆F的方程知,其圆心为F(1,0),半径为22.
设圆M和圆F内切于点D,则D,M,F三点共线,且|DF|=22.因为圆M过点E,所以|ME|=|MD|,所以|ME|+|MF|=|MD|+|MF|=|DF|=22>|EF|=2,
所以圆心M的轨迹是以E,F为焦点的椭圆.
因为2a=22,所以a=2,又因为c=1,则b2=a2-c2=1,所以曲线C的方程是x22+y2=1.
(2)当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,代入x22+y2=1,得(ty+1)2+2y2=2,
即(t2+2)y2+2ty-1=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2.
设点P(m,0),则PA=(x1-m,y1),PB=(x2-m,y2),
PA·PB=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(ty1+1-m)(ty2+1-m)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(1-m)(y1+y2)+(1-m)2
=-t2+1t2+2-2t2(1-m)t2+2+(1-m)2
=-(3-2m)t2+1t2+2+(1-m)2.
若PA·PB为定值,则3-2m1=12,解得m=54,此时PA·PB=-12+1-542=-716.
当直线l与x轴重合时,点A(-2,0),B(2,0).对于点P54,0,则PA=-2-54,0,PB=2-54,0,此时PA·PB=2516-2=-716.
综上所述,存在点P54,0,使得PA·PB=-716为定值.
方法技巧
在解决直线和椭圆的位置关系问题时,直线的方程可设为x=ty+m,这种设法避免了对斜率是否存在的讨论.
题组一 由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=( )
A.2 B.2 C.14 D.4
2.(2022天津三中期中)已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆( )
A.有相同的长轴与短轴
B.有相同的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的离心率
3.[2021新高考八省(市)联考]椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.2
4.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=2,则椭圆的焦距等于( )
A.463 B.263 C.433 D.233
题组二 由椭圆的几何性质求标准方程
5.(2022四川凉山州月考)已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为4,焦距为2,则C的方程为( )
A.x216+y212=1
B.x216+y212=1或y216+x212=1
C.x24+y23=1
D.x24+y23=1或y24+x23=1
6.(2021江苏徐州沛县学情调研)过点(2,3),焦点在x轴上且与椭圆x24+y23=1有相同的离心率的椭圆方程为( )
A.x26+y24=1 B.x216+y212=1
C.x212+y29=1 D.x28+y26=1
7.以椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形,且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,则椭圆C的标准方程为( )
A.x24+y23=1 B.x28+y24=1
C.x216+y212=1 D.x264+y248=1
8.(2022湖南益阳期中)若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,焦距为25,椭圆C上的两点P,Q关于原点对称,|PF|-|QF|=a,且PF⊥QF,则椭圆C的方程为 .
题组三 椭圆的离心率
9.设e是椭圆x2k+y24=1的离心率,且e∈12,1,则实数k的取值范围是( )
A.(0,3) B.3,163
C.(0,2) D.(0,3)∪163,+∞
10.(2022广东福田月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为12,A是椭圆上位于x轴上方的一点,且|AF1|=|F1F2|,则直线AF1的斜率为( )
A.33 B.3 C.22 D.1
11.(2022四川树德中学月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.0,14 B.14,1
C.12,1 D.12,1
12.(2022湖南桃江一中开学考试)已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,若过原点的直线与椭圆相交于 A,B两点,且∠AFB=120°,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.32,1 B.0,32
C.0,12 D.12,1
题组四 直线与椭圆的位置关系
13.直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
14.(2022四川成都蓉城名校联盟期中)直线y=x+m与椭圆x22+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=423,则实数m的值为( )
A.±12 B.±1 C.±32 D.±2
15.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得的线段的中点的坐标是( )
A.23,53 B.43,73
C.-23,13 D.-132,-172
16.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
17.(2022湖南邵阳期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,B1为椭圆的上顶点,△B1F1F2的面积为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,P0,12,|MP|=|NP|,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一 椭圆的几何性质及其应用
1.(2022江西景德镇一中期末)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x216+y28=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且F1M·PM=0,则|OM|的取值范围为( )
A.[0,3) B.(0,22)
C.[22,3) D.[0,4]
2.(多选)(2022山东泰安月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2且|F1F2|=2,点 P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为 2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12
D.若PF1=F1Q,则椭圆 C的长轴长为5+17
3.(2022湖北黄冈中学期末)已知A,B为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点,F1,F2分别为其左、右焦点,且满足AF1=2F1B,当∠F1AF2=π3时,椭圆的离心率为 .
4.(2022湖北武汉期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为8,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为4,P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为 .
5.(2022安徽芜湖期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).过F1且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点A,以F1A,F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB,点B恰好也在椭圆上,则b2= .
题组二 直线与椭圆的位置关系
6.(多选)(2022河北阜城中学期末)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点 P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”,下列直线是“椭型直线”的是( )
A.x-2y+6=0 B.x-y=0
C.2x-y+1=0 D.x+y-3=0
7.(2022河南新乡期末)已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(32,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点的坐标为(2,-2),则椭圆G的方程为( )
A.x232+y214=1 B.x238+y220=1
C.x248+y230=1 D.x236+y218=1
8.(2022陕西西安中学月考)已知曲线C上任意一点P(x,y)满足x2+y2+2y+1+x2+y2-2y+1=22,则曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是( )
A.23,-23 B.63,-63
C.32,94 D.-63,63
9.(2022湖南湘潭月考)已知点P(0,1)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,且直线x+2y-2=0过椭圆C的一个焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过点P(0,1)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,记直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=-2,则直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
10.(2022湖南师大附中期末)如图,已知动圆M过点E(-1,0),且与圆F:(x-1)2+y2=8内切,设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过圆心F的直线l交曲线C于A,B两点,问:在x轴上是否存在定点P,使得当直线l绕点F任意转动时,PA·PB为定值?若存在,求出点P的坐标和PA·PB的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 易知长轴长2a=2,短轴长2b=21m,
所以41m=2,解得m=4.故选D.
2.D 将椭圆方程x2+2y2=2整理得x22+y2=1,其焦点在x轴上,a1=2,b1=1,则c1=a12-b12=1,所以e1=c1a1=12=22.
将椭圆方程2x2+y2=1整理得x212+y2=1,其焦点在y轴上,a2=1,b2=22,则c2=a22-b22=22,
所以e2=c2a2=221=22,故选D.
3.C 由题意得a=m2+1,b=m,c=1,∠F1AO=π6(O为坐标原点),则tan π6=cb=1m=33,所以m=3.故选C.
4.A 不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是14+1b2=1,解得b2=43,所以c=4-43=263,所以焦距2c=463.
5.D 由题意得a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.
当焦点在x轴上时,椭圆的方程为x24+y23=1,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为y24+x23=1.故选D.
6.D 设所求椭圆方程为x24+y23=λ(λ>0),将(2,3)代入可得44+33=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为x28+y26=1.故选D.
7.C 由题意可得b=3c,a+c=6,a2=b2+c2,解得a=4,b=23,c=2,所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1.
8.答案 x28+y23=1
解析 设椭圆C的左焦点为F',则F'(-c,0),由椭圆的对称性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又因为|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=3a2,|QF|=a2,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2=|FF'|2,
即a24+9a24=(2c)2=20,解得a2=8,又因为c=5,所以b2=a2-c2=3,因此椭圆C的标准方程为x28+y23=1.
9.D 当椭圆的焦点在x轴上时,k>4,e=k-4k∈12,1,∴k-4k∈14,1,∴k∈163,+∞;当椭圆的焦点在y轴上时,0
11.D 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,
又∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=32a,|PF2|=12a,
而|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立,即32a-12a≤2c,解得e=ca≥12,即12≤e<1,故选D.
12.D 设椭圆的另一个焦点为F',连接AF',BF',则四边形AFBF'为平行四边形,∠FAF'=60°,在△AFF'中,由余弦定理得|FF'|2=|AF|2+|AF'|2-2|AF|·|AF'|cs∠FAF'=(|AF|+|AF'|)2-3|AF|·|AF'|,所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'|2=3|AF|·|AF'|≤3|AF|+|AF'|22,即14(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|2,当且仅当|AF|=|AF'|时等号成立,则14×4a2≤4c2,可得椭圆的离心率e=ca≥12,所以e∈12,1,故选D.
13.A 直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x25+y24=1,得0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.
14.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=x+m,x22+y2=1,消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,则x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23,所以弦长|AB|=1+12·(x1+x2)2-4x1x2=2·16m29-4·2m2-23=2·24-8m29=423,解得m=±1,故选B.
15.C 联立y=x+1,x24+y22=1,消去y并整理,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-43,x0=x1+x22=-23,y0=x0+1=13,
∴所截得的线段的中点的坐标为-23,13.
16.答案 53
解析 由题意知,椭圆右焦点的坐标为(1,0),又因为直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与方程x25+y24=1联立,消去y并整理,得3x2-5x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+22×532-4×0=553.设原点到直线的距离为d,则d=|-2|(-1)2+22=255.所以S△OAB=12|AB|·d=12×553×255=53.
17.解析 (1)S△B1F1F2=12·2c·b=bc=3,又∵ca=32,a2=b2+c2,∴a=2,b=1,∴椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)由y=kx+m,x2+4y2=4,消去y并整理,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,
由Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.
设MN的中点D的坐标为(x0,y0),
则x0=x1+x22=-4km4k2+1,y0=kx0+m=-4k2m4k2+1+m=m4k2+1,即D-4km4k2+1,m4k2+1.
∵|MP|=|NP|,∴DP⊥MN,即y0-12x0=-1k,
∴4k2=-6m-1,
∴-6m-1>0,-6m-1>m2-1,解得-6
能力提升练
1.B 如图,延长PF2,F1M交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,|OM|=12|F2N|=12|PN-PF2|=12||PF1|-|PF2||.由图可知,当P在短轴端点时,|OM|取得最小值,此时|OM|=0;当P在长轴端点时,|OM|取得最大值,此时|OM|=22,又因为点P不能在坐标轴上,所以|OM|的取值范围为(0,22).
2.ACD 因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,当点Q在F2P的延长线上时取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=1,a2=2,所以椭圆的方程为x22+y2=1,又因为122+12>1,则点P在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以1a2+1b2<1,又因为a2-b2=1,所以1a2+1a2-1<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>(1+5)24,所以a>1+52,所以e=ca<5-12,所以e∈0,5-12,故C正确; 若PF1=F1Q,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),又因为点Q在椭圆上,所以9a2+1b2=1,又因为a2-b2=1,所以9a2+1a2-1=1(a>1),即a4-11a2+9=0(a>1),所以a2=11+852=(5+17)24,所以a=5+172,所以椭圆C的长轴长为5+17,故D正确.故选ACD.
3.答案 219
解析 由题意得A,F1,B三点共线,设|F1B|=m(m≠0),则|AF1|=2m,|AB|=3m.在椭圆中,|F1F2|=2c,∠F1AF2=π3,由椭圆的定义可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在△F1AF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cs∠F1AF2,即4c2=4m2+(2a-2m)2-2·2m·(2a-2m)·cs π3,化简得c2=a2+3m2-3am.在△ABF2中,由余弦定理得|BF2|2=|AB|2+|AF2|2-2|AB|·|AF2|cs∠BAF2,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2·3m·(2a-2m)·csπ3,化简得9m2-5am=0,因为m≠0,所以m=59a,所以c2=a2+3·2581a2-3a·59a=727a2,所以ca=219.
4.答案 25,58
解析 由已知得2b=8,故b=4,∵△F1AB的面积为4,∴12(a-c)b=4,∴a-c=2,又∵a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,故a+c=8,∴a=5,c=3,
∴1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF2||PF1||PF2|
=2a|PF1|(2a-|PF1|)=10|PF1|(10-|PF1|)
=10-|PF1|2+10|PF1|=10-(|PF1|-5)2+25,
又∵a-c≤|PF1|≤a+c,即2≤|PF1|≤8,∴当|PF1|=5时,-(|PF1|-5)2+25有最大值,为25;当|PF1|=2或|PF1|=8时,-(|PF1|-5)2+25有最小值,为16,即16≤-(|PF1|-5)2+25≤25,∴1025≤1|PF1|+1|PF2|≤1016,即25≤1|PF1|+1|PF2|≤58.
5.答案 23
解析 依题意可知c=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为四边形OF1AB为平行四边形,所以y1=y2,又因为x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,所以x2=-x1,因为F1A∥OB,且直线F1A的倾斜角为60°,所以y1x1+2=y2x2=3,所以x1=-1,x2=1,y1=y2=3,所以A(-1,3),将其代入x2a2+y2b2=1,得1a2+3b2=1,又因为a2-b2=c2=4,所以a2=4+23,b2=23.
6.BC |PM|+|PN|=4>|MN|=2,根据椭圆的定义可得点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1.由题意知“椭型直线”与椭圆有公共点,对于A,联立x24+y23=1,x-2y+6=0,消去x并整理,得2y2-9y+12=0,所以Δ<0,方程组无解,所以A中直线不是“椭型直线”;同理,D中直线也不是“椭型直线”;对于B,直线x-y=0过原点,必与椭圆相交,所以是“椭型直线”;对于C,因为直线2x-y+1=0过点(0,1),且点(0,1)在椭圆内部,则该直线必与椭圆相交,是“椭型直线”.故选BC.
7.D 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式作差得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y12-y22x12-x22=-b2a2,设线段AB的中点为M,则M(2,-2),则kAB·kOM=y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-b2a2,又因为kAB=kMF=232-2=12,kOM=-1,所以-b2a2=12×(-1)=-12,所以c2=a2-b2=18,a2=2b2,解得a2=36,b2=18,因此椭圆G的方程为x236+y218=1.
故选D.
8.B 原等式可化为x2+(y+1)2+x2+(y-1)2=22,设F1(0,-1),F2(0,1),则|F1F2|=2,∴|PF1|+|PF2|=22>|F1F2|=2,∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且c=1,a=2,∴b2=1,
∴曲线C的方程是x2+y22=1,设与直线2x-y-4=0平行且与曲线C相切的直线方程为2x-y+t=0(t≠-4).联立2x-y+t=0,x2+y22=1,消去y并整理,得6x2+4tx+t2-2=0,∴Δ=16t2-24(t2-2)=0,∴t=±6,
易知当t=-6时,切点到直线2x-y-4=0的距离最近,此时可求得x=63,y=-63,故所求点的坐标是63,-63.故选B.
9.解析 (1)由题意知P(0,1)为椭圆的上顶点,则b=1,在x+2y-2=0中,令y=0,可得x=2,即c=2,
所以a2=b2+c2=1+4=5,
所以椭圆C的方程为x25+y2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,
设A(x0,y0),B(x0,-y0)(-5
当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=kx+m,x25+y2=1,消去y并整理,可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,则x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-51+5k2,所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=(kx1+m-1)x2+(kx2+m-1)x1x1x2=-2,整理,得(2k+2)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,
所以(k+1)·m2-11+5k2=km(m-1)1+5k2,
即(m-1)(k+m+1)=0,
因为直线l不过点P(0,1),所以m≠1,
所以k+m+1=0,即m=-k-1,
所以y=kx+m=kx-k-1=k(x-1)-1,
当x=1时,y=-1,所以直线l过定点(1,-1).
又因为直线x=1也过点(1,-1),所以直线l恒过定点(1,-1).
10.解析 (1)由圆F的方程知,其圆心为F(1,0),半径为22.
设圆M和圆F内切于点D,则D,M,F三点共线,且|DF|=22.因为圆M过点E,所以|ME|=|MD|,所以|ME|+|MF|=|MD|+|MF|=|DF|=22>|EF|=2,
所以圆心M的轨迹是以E,F为焦点的椭圆.
因为2a=22,所以a=2,又因为c=1,则b2=a2-c2=1,所以曲线C的方程是x22+y2=1.
(2)当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,代入x22+y2=1,得(ty+1)2+2y2=2,
即(t2+2)y2+2ty-1=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2.
设点P(m,0),则PA=(x1-m,y1),PB=(x2-m,y2),
PA·PB=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(ty1+1-m)(ty2+1-m)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(1-m)(y1+y2)+(1-m)2
=-t2+1t2+2-2t2(1-m)t2+2+(1-m)2
=-(3-2m)t2+1t2+2+(1-m)2.
若PA·PB为定值,则3-2m1=12,解得m=54,此时PA·PB=-12+1-542=-716.
当直线l与x轴重合时,点A(-2,0),B(2,0).对于点P54,0,则PA=-2-54,0,PB=2-54,0,此时PA·PB=2516-2=-716.
综上所述,存在点P54,0,使得PA·PB=-716为定值.
方法技巧
在解决直线和椭圆的位置关系问题时,直线的方程可设为x=ty+m,这种设法避免了对斜率是否存在的讨论.
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