2024年江苏省南京市钟英中学九年级中考零模数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 的值等于（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知算术平方根的定义．
根据算术平方根的概念分析求解．
【详解】解：，
故选：A．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查幂的运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可
【详解】解：
，
故选：D
3. 绝对值小于的整数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查实数估算，解题的关键是熟知实数的估算方法．
先估算的大小，再根据绝对值的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴绝对值小于的整数有0，，，共5个，
故选：D．
4. 改变数据2，4，6，8中的某1个数字的值后，新数据的中位数增加了1，那么新数据的极差不可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】BD
【解析】
【分析】本题考查了中位数和极差，掌握相关定义是解答本题的关键．根据中位数的定义解答即可．
【详解】解：因为改变数据2，4，6，8中的某1个数字的值后，新数据的中位数增加了1，
所以改变的数据是2或4或6，
则新数据为4，6，6，8或2，6，6，8或2，4，8，8，
所以新数据的极差不可能是5，也不可能大于6．
故选：BD．
5. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此计算即可得出答案．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
∴化为一般式为：
，
，
故选：C．
6. 如图，木工师父要用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，截面的形状不可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了截一个几何体，根据用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，得出截面的形状即可．
【详解】解：用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，得出截面的形状可以是选项A，B，D的图形，不可能是选项C的图形，
故选：C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7. 某电子的直径约为米，这个数可用科学记数法表示为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，指数为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 一个数的平方是它的相反数，这个数为__________．
【答案】或0
【解析】
【分析】本题考查有理数性质及平方的性质，根据的平方为与互为相反数、0的平方与0互为相反数即可得到答案，熟记有理数性质及平方的性质是解决问题的关键．
【详解】解：或0的平方是它们本身的相反数，
∴一个数的平方是它的相反数，则这个数为或0，
故答案为：或0．
9. 若是一元二次方程的一个根，则其另一个根是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和即可解决问题．
【详解】解：由题知，一元二次方程的两根之和为，
又因为是该方程的一个根，
所以，
即另一个根为．
故答案为：．
10. 如图，在中，弦和相交于点P，若，弧为，则弧为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角的定义及性质，连接，由圆周角定理可得，由三角形外角的定义及性质得出，再由圆周角定理即可得解，解题的关键是掌握：圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
【详解】解：如图，连接，

为，即对的圆心角是
，
，
，
即对的圆心角是
为，
故答案为：50．
11. 如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图象表示了两者分别离快者的起点的距离s（cm）与两者运动的时间t（s）之间的关系，则慢者的速度是_____cm/s．

【答案】6
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从图象中获取有用的信息．
求出快者速度为cm/s，可得相遇时慢者所走路程，从而得到答案．
【详解】解：由图象可得快者速度为cm/s，
∴慢者速度为cm/s；
故答案为：6．
12. 某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，设这个百分率为x，可得方程______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设降低的百分率为x，再表示出连续两次降低后的成本，一次降低后的成本，根据连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，列出方程即可．
【详解】解：设降低的百分率为x，根据题意得：
．
故答案为：．
13. 如图，分别以正六边形顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积是解题关键．连接，，，根据正六边形的性质得到，，得到，同理，推出四边形是菱形，过作于，得到，根据勾股定理得到，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，，，
正多边形是正六边形，
，，
，
是等边三角形，
，
同理，
，
四边形是菱形，
过作于，
，
，
“三叶草”的面积（菱形的面积扇形的面积），
故答案为：．
14. 如图，将等边三角形沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则边长是 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，由等边三角形的性质得出，由折叠得：，，，证明，得出，设，则，，则，求出，，，建立方程，求出的值即可得解，证明是解此题的关键．
【详解】解：是等边三角形，
，
由折叠得：，，，
，
，
，
，
设，则，，则，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
，
，
的边长是，
故答案为：．
15. 代数式的最小值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式和非负数性质的应用能力，通过将原式变形为，再运用非负数的性质进行求解，关键是能对原式进行准确变形配方．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 如图，分别过矩形的四个顶点作其内部的的切线，切点分别为，，，，，则的长为_____.（用含的代数式表示）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，连接、、、、、、、，则，，，，设的半径为，由勾股定理得：，，，，过点作于，延长交于，则四边形、是矩形，得出，，求出得出代入计算即可得解．
【详解】解：如图，连接、、、、、、、，
，
则，，，，
设的半径为，
由勾股定理得：，，，，
过点作于，延长交于，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
同理可得：四边形是矩形，，
，
，
同理可得，
由得：，
，
，
，
，，，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．
18. 解不等式组请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）（2）根据不等式的解法，分别求出每一个不等式的解集，（3）根据各个不等式解集，将解集在数轴上的表示，（4）根据（3）中的数轴表示，确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）解不等式①，得，
（2）解不等式③，得．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 如图，在和中，，，，的延长线相交于点B、，的延长线相交于点C．求证．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解ASA证明三角形全等的判定方法是解题关键．
根据ASA证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中
∴
∴，
∴，即．
20. 某校部分男生分3组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如图．
（1）求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；（精确到0.1%）
（2）三个小组都认为自己的组训练效果最好，请你分别写出一条支持他们三组观点的理由．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了统计图，准确识图是解题关键．
（1）用训练后的成绩减去训练前的成绩除以训练前的成绩乘以100%即可；
（2）可以从训练前后成绩增长的百分数去分析，也可以通过个数比较．
【小问1详解】
解：，
答：训练后第一组平均成绩比训练前增长；
【小问2详解】
解：①，
∴第一组的训练效果最好，理由：训练后第一组的平均成绩比训练前增长的百分数最大；
②（个），（个），（个），
∴第二组的训练效果最好，理由：训练后第二组的平均成绩比训练前增长的个数最多；
③，
∴第三组的训练效果最好，理由：训练后第三组的平均成绩最高．
21. 一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后，甲从中任意摸出2个球，放回袋中再次搅匀后，乙再从中任意摸出2个球．
（1）求甲摸到的2个球颜色相同的概率；
（2）甲、乙两人摸到的球颜色完全相同的概率是 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．
（1）首先根据题意画出树状图，再利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列表，再利用概率公式求解即可求得答案．
【小问1详解】
解：如图：
共有6种等可能情况，甲摸到的2个球颜色相同的情况有2种，
∴甲摸到的2个球颜色相同的概率为；
【小问2详解】
解：如表：
共有9种等可能情况，甲、乙两人摸到的球颜色完全相同的情况有5种，
∴甲、乙两人摸到的球颜色完全相同的概率为．
22. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？
本题所列的方程可以是：①；②．
（1）表示的实际意义是 ，表示的实际意义是 ．
（2）选择其中一种方程解答此题．
【答案】（1）原计划每天种树的棵数；实际种树的天数
（2）实际每天种棵树
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据各数量之间的关系 所列方程，找出表示的实际意义是解此题的关键．
（1）由实际与原计划每天种树的棵数间的关系及所列方程①可得出表示的实际意义；根据实际与原计划种树时间间的关系以及所列方程②可得出表示的实际意义；
（2）解分式方程，检验后得出的值，即可得解．
【小问1详解】
解：青年志愿者的支援，每天比原计划多种，
方程①中表示的实际意义是原计划每天种树的棵数，表示的实际意义是实际每天种树的棵数；
青年志愿者的支援，提前1天完成任务，
方程②中表示的实际意义是实际种树的天数，
故答案为：原计划每天种树的棵数；实际种树的天数；
【小问2详解】
解：选择方程①，
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
实际每天种棵树；
选择方程②，
，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合意义；
，
实际每天种棵树．
23. 如图，山顶有一塔，在塔的正下方沿直线有一条穿山隧道，从与E点相距m的C处测得A，B的仰角分别为，．从与F点相距m的D处测得A的仰角为．若隧道的长为m，求塔的高．（参考数据：，．）

【答案】33m
【解析】
【分析】延长交于点，则，结合角的正切分析求解直角三角形．
【详解】解：如图，延长交于点，则

在中，，
∵．
∴．
在中，，
∵，
在中，，
∵，
∴．
由题意可得m，m，m
∴
∴
又∵，
∴，解得，
∴
∴，解得
∴m
答：塔的高为33m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24. 题目：
（1）小明对上述题目的解答如图①所示（隐去了弧），他写的文字说明是：是高，，．求证：矩形即为所求．
（2）如图②，小丽只会作矩形，除了顶点不在AC边上外，其他都已经满足了题目的要求，她想通过图形的变换将矩形变化为要求作的矩形．请按小丽的思路完成作图，并描述从矩形到矩形的变换过程．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点作交于，证明得出，证明得出，证明四边形为平行四边形得出，由①②③解得，即可得证；
（2）连接并延长交于，作于，交于，作于，则四边形为所作．
【小问1详解】
证明：，
，
如图，过点作交于，
，
则，，
，
，即，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，，
四边形平行四边形，
，
由①②③得，
，
矩形即为所作；
【小问2详解】
解：如图，连接并延长交于，作于，交于，作于，则四边形为所作，
，
证明：四边形符合，
由作图得，
，
，
，
，
，
，
，
矩形即为所作．
25. 如图，四边形是平行四边形，；

（1）如图①，当与相切时，求证：四边形是菱形．
（2）如图②，当与相交于点E时．
（Ⅰ）若，，求的半径．
（Ⅱ）连接，交于点F，若，则的度数是 °．
【答案】（1）见解析 （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）72
【解析】
【分析】（1）连接并延长，交于点M，连接，证明，得出，根据，得出，即可证明结论；
（2）（Ⅰ）证明，得出，即，求出（负值舍去），设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可；
（Ⅱ）证明，得出，证明，根据，得出，设，则，根据，得出，求出x的值即可．
【小问1详解】
解：连接并延长，交于点M，连接，如图所示：
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【小问2详解】
解：（Ⅰ）连接并延长，交于点P，连接、，，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
设，则，
∵，
即，
解得：．
即圆的半径为．
（Ⅱ）连接，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键熟练掌握相关的性质和判定，作出辅助线．
26. 已知函数（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 ．
（3）在的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值．
【答案】（1）见解析 （2）和
（3）0或
【解析】
【分析】本题考查的是函数与x轴的交点，函数的性质，解题的关键是分类讨论．
（1）当时，函数变形为，函数为一次函数，图象与x轴总有公共点；当时，函数为二次函数，，即可求解；
（2）由，当，即可求得定点坐标；
（3）当时，函数化简为，根据题意即可求解；当时，函数为二次函数，分或讨论即可．
【小问1详解】
证明：当时，函数变形为，函数为一次函数，图象与x轴总有公共点；
当时，函数为二次函数，令，即，，
∴方程总有实数根，
∴该函数的图象与x轴总有公共点；
【小问2详解】
由，当时，即或时，不论m为何值，该函数的图象经过定点，定点坐标为和1,0，
故答案为：和1,0；
【小问3详解】
当时，函数化简为，，随的增大而增大，
由，
当时，，符合题意；
当时，函数为二次函数，
当时，对称轴为，
当时，y的最大值是2，
即，
解得：，不符合题意；
当时，
此时最高点为顶点，即，
解得：，
当时，此时对称轴为，不符合题意，
m的值为0或．
27. 在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射．
上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为．
（1）若，，，则______，______．
（2）求证．
（3）当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的．
【答案】（1）20；30
（2）见解析 （3）画图见解析，随着的增大而减小．
【解析】
【分析】（1）证明△△，得出，得出，证明，得出，求出即可；由，解得：；
（2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出；
（3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出随着的增大而减小．
【小问1详解】
根据题意可知，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
解得：，即；
，即，
解得：，即；
故答案为：20；30；
【小问2详解】
证明：根据题意可知，，，，
，
，
，即，
整理得：，
，，
，
，
，
，即 ，
，，
，
，
；
【小问3详解】
列表：
描点、连线：

根据函数图象可知，随着的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了相似三角形应用，平行线的性质，画函数图象，从函数图象中获取信息，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，数形结合．
白1白2
白1红
白2红
白1白2
（白1白2，白1白2）
（白1红，白1白2）
（白2红，白1白2）
白1红
（白1白2，白1红）
（白1红，白1红）
（白2红，白1红）
白2红
（白1白2，白2红）
（白1红，白2红）
（白2红，白2红）
已知：如图，．
求作：矩形，使顶点分别在，，顶点都在边上，且（用直尺和圆规作图，写出必要的文字说明．）