2024-2025学年人教版八年级数学上册同步讲义：15.2 分式的运算（1） 含答案

这是一份2024-2025学年人教版八年级数学上册同步讲义：15.2 分式的运算（1） 含答案，共18页。

       分式的运算（1）15.2  目录 TOC \o "1-3" \h \z \u 探究1 分式的乘除  PAGEREF _Toc172190325 \h 2探究2 分式的乘方  PAGEREF _Toc172190326 \h 4探究3 分式的加减  PAGEREF _Toc172190327 \h 6探究4 分式的混合运算  PAGEREF _Toc172190328 \h 8探究1 分式的乘除1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例1】　（2024春•禅城区期末）陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下：整个游戏过程，　　负责的那一步出现了错误．【答案】乙、丁．【分析】按分式的乘除法法制，计算得结论．【解答】解：．游戏过程中，乙、丁负责的那步出现了错误．故答案为：乙、丁．【例2】　（2024春•秦安县校级月考）化简的结果为　　A． B． C． D．【答案】【分析】先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可．【解答】解：．故选：．【例3】　（2024春•榆树市校级月考）计算：．【答案】．【分析】根据分式除法运算法则，进行计算即可．【解答】解：．分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习：1．分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．2．当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．3．分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算．4．分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．5．自选数值的代入求值问题，不要忽视分母不为0的条件．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究2 分式的乘方分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用式子表示为◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例4】　（2024春•临汾月考）化简的结果是　　A． B． C． D．【答案】【分析】先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分即可．【解答】解：，故选：．【例5】　（2024•河北模拟）化简的结果正确的是　　A． B． C． D．【答案】【分析】分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方，据此求出化简的结果即可．【解答】解：．故选：．【例6】　（2024•邯郸模拟）化简的结果是，则“？”是　　A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可．【解答】解：由题可知，，故？是3．故选：．1．进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把错写成．2．分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．3．分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．运算结果必须化成最简分式或整式．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究3 分式的加减1．同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为．2．异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例7】　（2024春•青阳县期末）已知，，则值为　　A．5 B．6 C．7 D．8【答案】【分析】利用分式的加减法则计算即可．【解答】解：已知，，则，故选：．【例8】　（2024•灵山县一模）计算的结果等于　　A． B．3 C． D．【答案】【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．【解答】解：；故选：．【例9】　（2024•运城模拟）化简的结果是　　A． B． C． D．1【答案】【分析】根据分式的加减法运算法则和顺序计算即可．【解答】解：原式，故选：．1．同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．2．分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．3．异分母分式相加减的一般步骤：（1）通分：将异分母分式转化成同分母分式；（2）加减：写成分母不变，分子相加减的形式；（3）合并：分子去括号，合并同类项；（4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．4．分数线有小括号的作用，每个分式的分子都作为整体参与运算．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究4 分式的混合运算分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例10】　（2024•微山县一模）化简分式的结果是　　A． B． C． D．【答案】【分析】先把除法转化为乘法，再算加法即可．【解答】解：，故选：．【例11】　（2024•河北）已知为整式，若计算的结果为，则　　A． B． C． D．【答案】【分析】由可得，故，从而．【解答】解：，，，，，；故选：．【例12】　（2024•正定县一模）若分式□运算结果为，则在“□”中添加的运算符号为　　A． B． C．或 D．或【答案】【分析】分析题目代入符号，，，利用分式的相关运算法则进行计算，根据所得的结果，找出结果为的，问题便可解答．【解答】解：，，．，则所填的符号是或．故选：．分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆牛刀小试1．（2024•遂平县三模）化简的结果是　　A． B． C． D．2．（2024•邱县二模）若运算的结果不是分式，则“　　”内的式子可能是　　A． B． C． D．3．（2024•新华区校级模拟）关于式子，下列说法正确的是　　A．当时，其值为2 B．当时，其值为0 C．当时，其值为正数 D．当时，其值为正数4．（2024春•兰考县期中）计算的结果是　　A． B． C． D．5．（2023秋•宜州区期末）下列各式计算错误的是　　A． B． C． D．6．（2024•雁塔区校级三模）计算：　　A． B． C． D．7．（2024•顺庆区二模）计算的结果等于　　A． B． C． D．8．（2024•高安市模拟）计算的结果是　　A． B． C． D．9．（2024•巴东县模拟）为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“”、“ ”、“ ”、“ ”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为，则所加的运算符号为　　A． B． C． D．10．（2024春•宝安区期末）如果，那么的值为　　A．1 B．1.5 C．2 D．311．（2024•金昌三模）下列计算正确的是　　A． B． C． D．12．（2024春•东台市期末）照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像到镜头的距离，满足．已知，，则　　A． B． C． D．13．（2024春•方城县月考）若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是　　A． B． C． D．14．（2024•沁县二模）计算的结果是　　A． B． C． D．15．（2024春•天桥区校级月考）化简：（1）；（2）．16．（2024春•泌阳县月考）根据如图所示的程序，求输出D的化简结果．参考答案1．【答案】【分析】根据除法运算法则将分式的除法运算转化为乘法运算，约分即可．【解答】解：．故选：．2．【答案】【分析】根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案．【解答】解：运算的结果为不是分式， “　　”内的式子一定有的单项式，只有项符合，故选：．3．【答案】【分析】根据分式的乘除法的法则对分式进行化简，再根据分式的性质对各项进行分析即可．【解答】解：，，则或，，、，故说法错误，不符合题意；、，故说法错，不符合题意；、当时，，故说法错误，不符合题意；、当时，，故说法正确，符合题意，故选：．4．【分析】首先计算乘方，然后计算分式的乘法即可求解．【解答】解：原式．故选：．5．【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：、原式，正确；、原式，正确；、原式，正确；、原式，错误，故选：．6．【答案】【分析】根据分式的乘法法则计算．【解答】解：，故选：．7．【答案】【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．【解答】解：原式，故选：．8．【分析】原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式，故选：．9．【答案】【分析】根据分式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算即可解答．【解答】解：、，故符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；故选：．10．【答案】【分析】由已知条件可得，然后将原式展开并等量代换后计算即可．【解答】解：，整理得：，则，，故选：．11．【答案】【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解．【解答】解：，故错误，不符合题意；，故错误，不符合题意；，故错误，不符合题意；，故正确，符合题意；故选：．12．【答案】【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示．【解答】解：，，，．故选：．13．【答案】【分析】先通分括号内，再运算除法，得，结合“最终结果为整数”，进行逐项分析，即可作答．【解答】解：、不是整数，故该选项是错误的；、不是整数，故该选项是错误的；、不是整数，故该选项是错误的；、是整数，故该选项是正确的；故选：．14．【答案】【分析】先算括号里面的，再算除法即可．【解答】解：．故选：．15．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先将括号内的式子进行因式分解，同时将除法运算转化为乘法运算，再进行约分得到最简结果即可；（2）根据分式乘法法则计算即可．【解答】解：（1）；（2）．16．【答案】x2﹣2x．【分析】根据题意列式计算即可．【解答】解：B＝，C＝，D＝．