终身会员
搜索
    上传资料 赚现金
    新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20 椭圆(2份打包,原卷版+解析版)
    立即下载
    加入资料篮
    资料中包含下列文件,点击文件名可预览资料内容
    • 原卷
      新高考一轮复习核心考点讲与练考点20 椭圆(原卷版).doc
    • 解析
      新高考一轮复习核心考点讲与练考点20 椭圆(解析版).doc
    新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20  椭圆(2份打包,原卷版+解析版)01
    新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20  椭圆(2份打包,原卷版+解析版)02
    新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20  椭圆(2份打包,原卷版+解析版)03
    新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20  椭圆(2份打包,原卷版+解析版)01
    新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20  椭圆(2份打包,原卷版+解析版)02
    新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20  椭圆(2份打包,原卷版+解析版)03
    还剩12页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20 椭圆(2份打包,原卷版+解析版)

    展开
    这是一份新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20 椭圆(2份打包,原卷版+解析版),文件包含新高考一轮复习核心考点讲与练考点20椭圆原卷版doc、新高考一轮复习核心考点讲与练考点20椭圆解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共59页, 欢迎下载使用。

    1.椭圆的定义
    平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
    其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
    (1)若a>c,则集合P为椭圆;
    (2)若a=c,则集合P为线段;
    (3)若a<c,则集合P为空集.
    2.椭圆的标准方程和几何性质
    1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
    2.求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法).先“定位”,就是先确定椭圆和坐标系的相对位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看焦点在哪条坐标轴上,确定标准方程的形式;再“定量”,就是根据已知条件,通过解方程(组)等手段,确定a2,b2的值,代入所设的方程,即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置,这时的标准方程常可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)
    3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想,通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.
    4.求椭圆离心率的3种方法
    (1)直接求出a,c来求解e.通过已知条件列方程组,解出a,c的值.
    (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.
    (3)通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
    椭圆的定义
    一、单选题
    1.(2022·内蒙古通辽·二模(理))椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点,若 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ,则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【分析】根据椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ,再结合三角形周长,得 SKIPIF 1 < 0 ,进而可得离心率.
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:B.
    2.(2022·天津市第四十七中学模拟预测)已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共的左右焦点, SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的离心率,若 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的交点为 SKIPIF 1 < 0 ,且满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的关系是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【分析】先确定 SKIPIF 1 < 0 ,再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义,即可得出结论.
    【详解】解:设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,双曲线的实半轴长为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    3.(2021广东省深圳市高级中学等九校联考)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,点A是椭圆上位于x轴上方的一点,且 SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D.1
    【答案】B
    【分析】依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,根据椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ,即可得到 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形,从而得到 SKIPIF 1 < 0 ,即可得到直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率;
    【详解】解:依题意 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形,即 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的上顶点,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
    故选:B
    二、多选题
    4.(2022·山东淄博·模拟预测)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .P是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的点,则下列说法正确的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 周长为4B. SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D.若 SKIPIF 1 < 0 面积为2,则点P横坐标为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】BC
    【分析】根据椭圆的定义判断A,利用椭圆的性质可得 SKIPIF 1 < 0 面积最大值判断B,由 SKIPIF 1 < 0 可判断C,由三角形面积求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标后可判断D.
    【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,短轴一个端点 SKIPIF 1 < 0 ,
    对于A,由题知 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ,故A错误;
    对于B,利用椭圆的性质可知 SKIPIF 1 < 0 面积最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;
    对于C, SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,从而 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确;
    对于D,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故D错误.
    故选:BC.
    5.(2022·山东济宁·二模)设椭圆C: SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,点P是C上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的一点,则下列结论正确的是( )
    A.若C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0
    B.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
    C.若C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 ,则C的离心率的范围是 SKIPIF 1 < 0
    D.若 SKIPIF 1 < 0 恒成立,则C的离心率的范围是 SKIPIF 1 < 0
    【答案】BD
    【分析】A. 设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,所以该选项错误;
    B. 求出 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 所以该选项正确;
    C. 求出 SKIPIF 1 < 0 ,所以该选项错误;
    D. 若 SKIPIF 1 < 0 恒成立,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以该选项正确.
    【详解】解:A. 设 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,所以该选项错误;
    B. 若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 所以该选项正确;
    C. 若C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 ,即C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以该选项错误;
    D. 若 SKIPIF 1 < 0 恒成立,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以该选项正确.
    故选:BD
    三、填空题
    6.(2022·宁夏·银川一中二模(文))已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为椭圆C上任意一点,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
    【答案】1
    【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,进而得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
    【详解】解:由椭圆C: SKIPIF 1 < 0 知: SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以, SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    四、解答题
    7.(2022·江西景德镇·三模(文)) SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点,其中 SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点,圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与坐标原点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的动点,且 SKIPIF 1 < 0 的周长小于 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程;
    (2)连接 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 ,由椭圆的定义结合三点共线可得出 SKIPIF 1 < 0 的周长小于 SKIPIF 1 < 0 ,可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式,结合 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 ,即可求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值,由此可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程;
    (2)设 SKIPIF 1 < 0 ,可得出 SKIPIF 1 < 0 ,求出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的横坐标,利用三角形的面积公式可得出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式,结合 SKIPIF 1 < 0 可求得结果.
    (1)解:因为圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与坐标原点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    设 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,所以, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    因此,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)解:设 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,所以,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    同理可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,所以,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    联立直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ,
    可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    联立直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ,
    可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    所以, SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 .
    【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:
    (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
    (2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
    (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
    (4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
    (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
    椭圆的标准方程
    一、单选题
    1.(2022·全国·模拟预测(文))已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,右顶点为A,O为坐标原点,过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,若四边形OMAN是正方形,则C的方程为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
    【详解】由椭圆方程可知 SKIPIF 1 < 0 ,由四边形OMAN是正方形可知 SKIPIF 1 < 0 ,
    又点M在椭圆C上,则有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    又椭圆C的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    结合椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A
    2.(2021福建省莆田市第十五中学二模)阿基米德(公元前 SKIPIF 1 < 0 年—公元前 SKIPIF 1 < 0 年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为坐标轴,焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上,且椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,面积为 SKIPIF 1 < 0 则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【分析】由题意,设出椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组,求解方程组即可得答案.
    【详解】解:由题意,设椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,面积为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:A.
    二、多选题
    3.(2022·辽宁·模拟预测)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 (如图),离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于x轴,且在第二象限中交E于点A,直线 SKIPIF 1 < 0 交E于点B(异于点A),则下列说法正确的是( )
    A.若椭圆E的焦距为2,则短轴长为 SKIPIF 1 < 0
    B. SKIPIF 1 < 0 的周长为4a
    C.若 SKIPIF 1 < 0 的面积为12,则椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0
    D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积的比值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】BCD
    【分析】根据椭圆方程的求解以及椭圆的定义,对每个选项进行逐一分析,即可判断和选择.
    【详解】对 SKIPIF 1 < 0 :若椭圆E的焦距为2,则 SKIPIF 1 < 0 ,由离心率 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,则短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,故A错误;
    对B:根据椭圆的定义, SKIPIF 1 < 0 的周长为4a,故B正确;
    对 SKIPIF 1 < 0 :由 SKIPIF 1 < 0 ,故可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以椭圆的方程可写为 SKIPIF 1 < 0 ,
    易知 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确;
    对 SKIPIF 1 < 0 :因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,过点B作 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍),
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 正确.
    故选:BCD.
    4.(2022·重庆八中模拟预测)如图所示,用一个与圆柱底面成 SKIPIF 1 < 0 角的平面截圆柱,截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2, SKIPIF 1 < 0 ,则( )
    A.椭圆的长轴长等于4
    B.椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0
    C.椭圆的标准方程可以是 SKIPIF 1 < 0
    D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】BCD
    【分析】根据给定图形,求出椭圆长短半轴长 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,再逐项计算、判断作答.
    【详解】设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,短半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径,
    则由截面与圆柱底面成锐二面角 SKIPIF 1 < 0 得: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,A不正确;
    显然 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,离心率 SKIPIF 1 < 0 ,B正确;
    当以椭圆长轴所在直线为y轴,短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程 SKIPIF 1 < 0 ,C正确;
    椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,D正确.
    故选:BCD
    5.(2022·全国·模拟预测)已知O为坐标原点,椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,离心率为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为E上一点,过点A作两条直线分别与E交于B,C两点,且直线AB与直线AC的倾斜角互补,则下列结论正确的是( )
    A.椭圆E的长轴长为 SKIPIF 1 < 0
    B.直线BC的斜率为定值
    C.点O到直线BC的距离为定值
    D.若 SKIPIF 1 < 0 ,则直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】BD
    【分析】对于选项A,利用点在曲线上和椭圆离心率公式及椭圆中 SKIPIF 1 < 0 的关系即可求解.
    对于选项B,设出直线AB的方程与椭圆联立,消去 SKIPIF 1 < 0 ,得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程,利用韦达定理写出横坐标的关系,进而得到点B的横坐标,代入直线AB求出点B纵坐标,利用已知条件写出点C的坐标,利用两点求斜率公式即可求解.
    对于选项C,设出直线BC的方程,利用点到直线的距离公式即可求解.
    对于选项D,联立直线BC与椭圆的方程, 消去 SKIPIF 1 < 0 ,得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程,利用韦达定理写出横坐标的关系,由 SKIPIF 1 < 0 ,利用两直线垂直的充要条件即可求解.
    【详解】对于选项A,由题意得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,结合 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以椭圆E的长周长为 SKIPIF 1 < 0 ,故A错误.
    对于选项B,由A得椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由题意知直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,与椭圆的方程联立,
    得 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    因为直线AB与直线AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为﹣k,同理可得 SKIPIF 1 < 0 ,故直线BC的斜率 SKIPIF 1 < 0 ,为定值,故B正确.
    对于选项C,由B知可设直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,则原点O到直线BC的距离 SKIPIF 1 < 0 ,不是定值,故C错误.
    对于选项D,联立直线BC与椭圆的方程,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    整理得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,此时直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,故D正确.
    故选:BD.
    三、填空题
    6.(2022·辽宁鞍山·二模)在平面直角坐标系中,△ABC满足A(-1,0),B(1,0), SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I,存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,则顶点C的轨迹方程为________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ,先说明 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心,求出 SKIPIF 1 < 0 ,得到 SKIPIF 1 < 0 即得解.
    【详解】解:设 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , 所以点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的角平分线上,
    因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I,所以点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心.
    所以点 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行,又 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点,长轴长为4的椭圆,,
    当 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的长轴的端点时,不能构成三角形,所以不能取到椭圆的长轴的端点;
    当 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的短轴的端点时, SKIPIF 1 < 0 与已知存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 矛盾,所以不能取到椭圆的短轴的端点.
    又椭圆的焦距为2,所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    四、解答题
    7.(2022·山东泰安·二模)已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,过其右焦点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)若直线l: SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为Q,在y轴上是否存在定点P,使得∠EQP=2∠EFP恒成立?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,
    【分析】(1)直接由椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 解方程即可;
    (2)先联立直线和椭圆,通过∠EQP=2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上,即PE⊥PF,表示出 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 解出点P的坐标即可.
    (1)由题知,椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
    所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)
    假设在y轴上存在定点P,使得∠EQP=2∠EFP恒成立,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    ∵∠EQP=2∠EFP,∴∠EFP=∠FPQ,∴QE=QF=QP
    ∴点P在以EF为直径的圆上,即PE⊥PF
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    ∴ SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    ∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
    ∴ SKIPIF 1 < 0
    ∴存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得∠EQP=2∠EFP恒成立.
    【点睛】本题关键点在于利用∠EQP=2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上,进而得到 SKIPIF 1 < 0 ,表示出 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,联立直线和椭圆后,由韦达定理及 SKIPIF 1 < 0 建立方程解出点P的坐标即可.
    8.(2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ,且点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
    (1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程;
    (2)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上,且在椭圆位于x轴上方的部分,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上一点, SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)由题意列方程组 SKIPIF 1 < 0 ,求出 SKIPIF 1 < 0 ,即可得椭圆C的方程;
    (2)先设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标,再由题设得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标,由面积 SKIPIF 1 < 0 求出
    SKIPIF 1 < 0 的值,即可得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程
    (1)由已知,有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)由(1)知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C的交点 SKIPIF 1 < 0 满足方程组 SKIPIF 1 < 0 ,
    消去y得到 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 .
    设 SKIPIF 1 < 0 ,由题意,
    有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    进而得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    其与椭圆C的交点 SKIPIF 1 < 0 满足方程组 SKIPIF 1 < 0
    消去x得到: SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 ,进而 SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 ,
    点G到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
    因此, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    化简得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    椭圆的几何性质
    1.(2021天津市第二中学高三上学期期中)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,过 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于A,B两点,若 SKIPIF 1 < 0 ,则椭圆离心率e的取值范围为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【分析】由题设易知 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ,应用勾股定理得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程,利用方程有解,结合判别式构造不等式求椭圆离心率e的取值范围.
    【详解】由题设,知: SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    故选:D
    直线与椭圆的位置关系
    1.(2022北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若椭圆W的左顶点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点在直线 SKIPIF 1 < 0 上,求m的值;
    (2)过F的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合),直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点M,求证:A,D,M三点共线.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析.
    【分析】(1)设点A关于直线对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ,根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线上且 SKIPIF 1 < 0 ,列出方程组,解方程组即可;
    (2)对直线斜率是否存在分类讨论,当直线CD斜率k不存在时,求出点A、M、C、D坐标,
    利用 SKIPIF 1 < 0 可证得A、D、M三点共线;当直线CD斜率存在时,设直线
    SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,与椭圆方程联立方程组,消y得到关于x的一元二次方程,将 SKIPIF 1 < 0 表示为含有k的算式,得出 SKIPIF 1 < 0 即可.
    (1)由题意知,
    直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
    设点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    有,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)已知 SKIPIF 1 < 0 ,
    当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时, SKIPIF 1 < 0 :x=1,此时 SKIPIF 1 < 0 ,
    有 SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    即A、D、M三点共线;
    当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    直线BC方程为 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线AD、AM的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    上式的分子
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,即A、D、M三点共线.
    综上,A、D、M三点共线.
    【规律方法技巧】直线与椭圆的位置关系问题,一般需要联立方程组、用判别式、韦达定理.证明三点共线可以利用直线的斜率相等或向量共线处理.
    2.(2021四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三上学期期中)已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 (a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过点A作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆C相交于A,B两点,且AB⊥OB,O为坐标原点.
    (1)求椭圆的离心率e;
    (2)若b=1,过点F作与直线AB平行的直线l,l与椭圆C相交于P,Q两点,
    ①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积;
    ②点M满足2 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,直线MQ与椭圆的另一个交点为N,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ; (2)①- SKIPIF 1 < 0 ;② SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 点坐标,代入椭圆方程,结合 SKIPIF 1 < 0 ,进而可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)①由(1)可得椭圆的方程,写出直线 SKIPIF 1 < 0 方程,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程,可得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程,由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,再计算 SKIPIF 1 < 0 ,即可得答案;
    ②设点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,再由 SKIPIF 1 < 0 ,推出点 SKIPIF 1 < 0 坐标,再用坐标表示 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标,把点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程,化简即可得答案.
    【小问1详解】
    解:已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程有 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    【小问2详解】
    解:①由(1)可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    设直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以△ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    ②设点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在椭圆上,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    由①可知 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    1.(2021年全国高考乙卷)设B是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点,点P在C上,则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
    【答案】A
    【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ,由依题意可知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,再根据两点间的距离公式得到 SKIPIF 1 < 0 ,然后消元,即可利用二次函数的性质求出最大值.
    【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以
    SKIPIF 1 < 0 ,
    而 SKIPIF 1 < 0 ,所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质,由两点间的距离公式,并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点,或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大,这些认识是错误的,要注意将距离的平方表示为二次函数后,自变量的取值范围是一个闭区间,而不是全体实数上求最值..
    2.(2021年全国高考乙卷)设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点,若 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点 SKIPIF 1 < 0 都满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,根据两点间的距离公式表示出 SKIPIF 1 < 0 ,分类讨论求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值,再构建齐次不等式,解出即可.
    【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以
    SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,符合题意,由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ;
    当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,化简得, SKIPIF 1 < 0 ,显然该不等式不成立.
    故选:C.
    【点睛】本题解题关键是如何求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值,利用二次函数求指定区间上的最值,要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.
    3.(2021年全国新高考Ⅰ卷)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的两个焦点,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为( )
    A. 13B. 12C. 9D. 6
    【答案】C
    【分析】本题通过利用椭圆定义得到 SKIPIF 1 < 0 ,借助基本不等式 SKIPIF 1 < 0 即可得到答案.
    【详解】由题, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时,等号成立).
    故选:C.
    【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题,常常从椭圆的定义入手,注意基本不等式得灵活运用,或者记住定理:两正数,和一定相等时及最大,积一定,相等时和最小,也可快速求解.
    4.(2021年全国高考甲卷)已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆C: SKIPIF 1 < 0 的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且 SKIPIF 1 < 0 ,则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【分析】根据已知可得 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,利用勾股定理结合 SKIPIF 1 < 0 ,求出 SKIPIF 1 < 0 ,四边形 SKIPIF 1 < 0 面积等于 SKIPIF 1 < 0 ,即可求解.
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上关于坐标原点对称的两点,
    且 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,即四边形 SKIPIF 1 < 0 面积等于 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    一、单选题
    1.(2022·安徽·模拟预测(理)) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点,点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上,满足 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【分析】先由 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 ,然后利用角平分线的性质可求得 SKIPIF 1 < 0 ;在 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理 SKIPIF 1 < 0 即可求出离心率 SKIPIF 1 < 0 的值.
    【详解】由题意可设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 );
    则: SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 可得: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ;
    由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线,
    可得: SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ;
    在 SKIPIF 1 < 0 中: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
    故选:A
    2.(2022·湖北武汉·二模)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【分析】分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,利用离心率的定义求解.
    【详解】解:当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
    当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    综上: SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:C
    3.(2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)下列与椭圆 SKIPIF 1 < 0 焦点相同的椭圆是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【分析】由椭圆的简单几何性质:“焦点跟着大的走”,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上,且 SKIPIF 1 < 0 ,得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为: SKIPIF 1 < 0 ,依次判断各个选项即可.
    【详解】由题意得,椭圆C中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 即焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ;
    对于A选项,椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上,不满足题意;
    对于B选项,椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,不满足题意;
    对于C选项,椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不满足题意;
    对于D选项,椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,满足题意;
    故答案为:D.
    4.(2022·广东汕头·二模)已知椭圆C的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,直线AB过 SKIPIF 1 < 0 与该椭圆交于A,B两点,当 SKIPIF 1 < 0 为正三角形时,该椭圆的离心率为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【分析】根据椭圆的定义,结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.
    【详解】设正三角形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ,
    设椭圆的标准方程为: SKIPIF 1 < 0 ,设左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 ,
    由椭圆的定义可知: SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    在 SKIPIF 1 < 0 中,由余弦定理可知: SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0
    故选:B
    5.(2022·江苏泰州·模拟预测)我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球,并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图.假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,其轨道的离心率为e,设月球的半径为R,“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r,则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ,根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离.
    【详解】椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ,设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 SKIPIF 1 < 0
    则 SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    故选:B
    二、多选题
    6.(2022·湖南·雅礼中学二模)已知曲线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,焦点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,则下列说法正确的有( )
    A. SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴
    B. SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
    C.对C上任意一点P皆有 SKIPIF 1 < 0
    D. SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】ABD
    【分析】根据点点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为在曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 判断A;根据点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 得该曲线为椭圆,对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ,进而求顶点坐标,进而求离心率判断B;结合C选项求焦点坐标,验证 SKIPIF 1 < 0 判断C;设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ,与椭圆方程联立,结合韦达定理,二次函数最值求解 SKIPIF 1 < 0 判断D.
    【详解】解:对于A选项,设点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点,其关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,代入曲线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 满足,故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴,正确;
    对于B选项,由于点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点,其关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点 SKIPIF 1 < 0 亦在曲线 SKIPIF 1 < 0 上,且该曲线是封闭的曲线,
    故该曲线为椭圆,其对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ,且椭圆中心为坐标原点,
    故其顶点坐标为: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由于点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆中心的距离为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 到椭圆中心的距离 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,故其离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,故正确;
    对于C选项,由B知,半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,且焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,故焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,故错误;
    对于D选项,由题知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在,故设方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则联立方程得 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0
    令 SKIPIF 1 < 0 ,由于 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    所以,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最大值, SKIPIF 1 < 0 ,故正确.
    故选:ABD
    7.(2022·重庆·模拟预测)“出租车几何”或“曼哈顿距离”(Manhattan Distance)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇,是种被使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 内,对于任意两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,定义它们之间的“欧几里得距离” SKIPIF 1 < 0 ,“曼哈顿距离”为 SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法正确的是( )
    A.若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点,则 SKIPIF 1 < 0 为定值
    B.对于平面上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
    C.对于平面上任意三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0
    D.若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点,则 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】AC
    【分析】利用题中定理可判断A选项;作出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹图形,求其周长可判断B选项;利用绝对值三角不等式可判断C选项;设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可判断D选项.
    【详解】对于A选项,设点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,A对;
    对于B选项,设点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 ;
    当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 .
    作出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹如下图所示:
    由图可知,点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形,故动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ,B错;
    对于C选项,设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,
    由绝对值三角不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    同理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,C对;
    对于D选项,设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,
    不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 为锐角,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    取 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,等号成立,D错.
    故选:AC.
    8.(2022·重庆·模拟预测)已知椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点,记 SKIPIF 1 < 0 ,则下列结论中正确的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 的周长与点 SKIPIF 1 < 0 的位置无关
    B.当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的面积取到最大值
    C. SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径最小为 SKIPIF 1 < 0
    D. SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径最大为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】ACD
    【分析】根据椭圆的定义、椭圆离心率的意义,结合正弦定理和内切圆的性质逐一判断即可.
    【详解】由椭圆定义知, SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ,故A正确;显然当 SKIPIF 1 < 0 位于短轴端点时 SKIPIF 1 < 0 的面积最大,由 SKIPIF 1 < 0 知此时 SKIPIF 1 < 0 ,故B错误;由正弦定理知外接圆直径 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 最大为钝角,故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确;设内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 知, SKIPIF 1 < 0 越大则 SKIPIF 1 < 0 越大, SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:ACD
    9.(2022·全国·模拟预测)双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左,右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点P在C上.若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形,则 SKIPIF 1 < 0 的面积为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.4D.2
    【答案】AC
    【分析】根据双曲线方程求出 SKIPIF 1 < 0 ,再根据对称性只需考虑 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时,将 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程,求出 SKIPIF 1 < 0 ,即可求出三角形面积,当 SKIPIF 1 < 0 时,由双曲线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ,再由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ,即可得解;
    【详解】解:由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .根据双曲线的对称性只需考虑 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时,将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时,由双曲线的定义可知,
    SKIPIF 1 < 0 ,由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 .
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
    综上所述, SKIPIF 1 < 0 的面积为4或 SKIPIF 1 < 0 .
    故选: SKIPIF 1 < 0 .
    三、填空题
    10.(2022·全国·模拟预测)已知O为坐标原点,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F,A为C上一点,AF与x轴垂直.若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,则C的离心率为__________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
    【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
    【详解】由题知: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    11.(2022·湖南衡阳·二模)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的第一象限的交点,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ,则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,则可得 SKIPIF 1 < 0 ,然后根据正弦函数的性质可得其范围
    【详解】解:设 SKIPIF 1 < 0 ,
    由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ①,
    由双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ②,
    ① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 ,
    ① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 ,
    由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ③,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的值为2,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    12.(2022·江苏·南京市第一中学三模)椭圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的左、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,右焦点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线,则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为____________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
    【分析】由题得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,进而联立方程得 SKIPIF 1 < 0 ,再结合 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,再解方程即可得答案.
    【详解】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线,
    所以,联立方程 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    由于点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上,
    所以, SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    13.(2022·江苏·海安高级中学二模)如图,F1,F2是平面上两点,|F1F2|=10,图中的一系列圆是圆心分别为F1,F2的两组同心圆,每组同心圆的半径依次是1,2,3,…,点A,B,C分别是其中两圆的公共点.请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________,使得此圆锥曲线可以同时满足:
    ①以F1,F2为焦点;
    ②恰经过A,B,C中的两点.
    【答案】5(或 SKIPIF 1 < 0 )(答案不唯一)
    【分析】根据已知条件结合圆锥曲线的定义,分过A,C两点和过B,C两点两种情况求解即可
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    若过A,C两点,则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
    此时离心率 SKIPIF 1 < 0 .
    若过B,C两点,则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
    此时离心率 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为:5(或 SKIPIF 1 < 0 )(答案不唯一)
    14.(2022·天津市第四中学模拟预测)设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F,下顶点为A,上顶点为B, SKIPIF 1 < 0 是等边三角形.
    (1)椭圆的离心率为___________;
    (2)设直线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 异于点 SKIPIF 1 < 0 ),线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 .
    (i) SKIPIF 1 < 0 ___________;
    (ii)已知点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上,若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,则椭圆的方程___________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
    【分析】根据等边三角形的性质和离心率公式,即可求出,设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立方程组,求出点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标,根据弦长公式,结合 SKIPIF 1 < 0 .即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值,根据四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,可得 SKIPIF 1 < 0 ,即可求出椭圆方程.
    【详解】解:由题意可知, SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 ,
    设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 解得: SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点,
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍 SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1.
    SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在椭圆上, SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    该椭圆方程为: SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0
    15.(2022·河南平顶山·模拟预测(理))已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为8,则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
    【答案】25或 SKIPIF 1 < 0
    【分析】由题意知半焦距 SKIPIF 1 < 0 ,再分 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 讨论求解.
    【详解】解:由题意知半焦距 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时,则曲线C为椭圆,又 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ;
    当 SKIPIF 1 < 0 时,曲线C为双曲线,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故a的值为25或 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为:25或 SKIPIF 1 < 0
    四、解答题
    16.(2022·湖南衡阳·二模)设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ,上顶点为 SKIPIF 1 < 0 .已知椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求椭圆的方程;
    (2)设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于点 SKIPIF 1 < 0 的两动点,若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .
    ①证明直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点,并求出该点坐标;
    ②求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)①证明见解析,定点 SKIPIF 1 < 0 ;② SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)由题意可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,再结合 SKIPIF 1 < 0 ,可求出 SKIPIF 1 < 0 ,从而可求得椭圆的方程,
    (2) ①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,代入椭圆方程中消去 SKIPIF 1 < 0 ,利用根与系数的关系,再结合 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,从而可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 进而可求出定点,当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时,若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,求出 SKIPIF 1 < 0 两点坐标,求解 SKIPIF 1 < 0 即可,
    ②设直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,代入椭圆方程中,消去 SKIPIF 1 < 0 ,利用根与系数的关系,从而可表示出 SKIPIF 1 < 0 ,化简换元后利用基本不等式可求得结果
    (1)由于 SKIPIF 1 < 0 ,①
    又 SKIPIF 1 < 0 ,②
    由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)①在(1)的条件下,当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 得: SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,.
    又 SKIPIF 1 < 0 ,由题知 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    当 SKIPIF 1 < 0 时,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    此时直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,显然不适合题意,
    当 SKIPIF 1 < 0 时,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    此时直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
    当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时,若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 .
    满足 SKIPIF 1 < 0 .
    综上,直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
    ②不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ,
    设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ),
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
    17.(2022·广东韶关·二模)已知P是离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点,且P到两个焦点的距离之和为4.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)设点A是椭圆C的左顶点,直线AP交y轴于点D,E为线段AP的中点,在x轴上是否存在定点M,使得直线DM与OE交于Q,且点Q在一个定圆上,若存在,求点M的坐标与该圆的方程;若不存在,说明理由.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在, SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)由椭圆定义和离心率可得答案;
    (2)设存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,设出直线AP的方程为 SKIPIF 1 < 0 .联立直线方程和椭圆方程,利用韦达定理可得直线OE的方程、直线DM方程,再联立两个方程可得答案.
    (1)因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    故椭圆方程为: SKIPIF 1 < 0 .
    (2)设存在定点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 满足条件.由已知 SKIPIF 1 < 0 ,
    设直线AP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 消去y整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线OE的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,①
    由 SKIPIF 1 < 0 中,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,从而 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线DM方程为 SKIPIF 1 < 0 ,②
    由①②消去参数k,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,③
    方程③要表示圆,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,此时圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在上述圆上,
    所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 使直线DM与OE的交点Q在一个定圆上,
    且定圆方程为: SKIPIF 1 < 0 .
    18.(2022·河北唐山·二模)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F,椭圆 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的离心率;
    (2)如图:直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于A,D两点,交椭圆E于B,C两点.
    ①求证: SKIPIF 1 < 0 ;
    ②若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)①证明过程见解析;② SKIPIF 1 < 0 .
    【分析】(1)直接将椭圆 SKIPIF 1 < 0 转化成标准方程,然后代入离心率公式即可;
    (2)分别求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标,得出中点重合即可证明①;对于②,分别求出 SKIPIF 1 < 0 被椭圆截得的弦长以及 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离,得出面积表达式,通过变形式子求出最值.
    (1)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为: SKIPIF 1 < 0 ,
    则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
    (2)对于①,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立整理得
    SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
    则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标 SKIPIF 1 < 0
    同理可知 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标 SKIPIF 1 < 0 .
    所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中点重合,故 SKIPIF 1 < 0 .
    对于②,由①知,直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆截得弦长为
    SKIPIF 1 < 0
    把 SKIPIF 1 < 0 代入得, SKIPIF 1 < 0
    把 SKIPIF 1 < 0 代入得, SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 面积为:
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的面积最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
    【点睛】本题考查离心率的求法,考查弦长公式、中点坐标公式、面积公式等几何关系的应用,解析几何解题时应注重几何关系的寻找,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,属于难题.
    19.(2022·广东·二模)已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点,过点F且斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于M,N两点,当 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时, SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求椭圆C的标准方程.
    (2) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右顶点,直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 交于P,Q两点,证明:四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
    【分析】(1) SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和 SKIPIF 1 < 0 联立可得答案;
    (2)设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,与椭圆方程联立,由韦达定理得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程、直线 SKIPIF 1 < 0 的方程,再由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,可证得 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
    (1)由题可知 SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时,不妨设M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    联立得 SKIPIF 1 < 0 消去x,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    易知 SKIPIF 1 < 0 恒成立,由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形,则对角线相互垂直且平分,下面证 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    代入韦达定理得
    SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,即PQ与 SKIPIF 1 < 0 相互垂直平分,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形.
    标准方程
    eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)
    eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)
    图形
    性质范围
    -a≤x≤a
    -b≤y≤b
    -b≤x≤b
    -a≤y≤a
    对称性
    对称轴:坐标轴;对称中心:原点
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0),
    B1(0,-b),B2(0,b)
    A1(0,-a),A2(0,a),
    B1(-b,0),B2(b,0)

    长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
    焦距
    |F1F2|=2c
    离心率
    e=eq \f(c,a)∈(0,1)
    a,b,c的关系
    c2=a2-b2
    相关试卷

    高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)考点20椭圆(核心考点讲与练)(原卷版+解析): 这是一份高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)考点20椭圆(核心考点讲与练)(原卷版+解析),共56页。试卷主要包含了椭圆的定义,椭圆的标准方程和几何性质,求椭圆离心率的3种方法等内容,欢迎下载使用。

    2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用) 考点20 椭圆(核心考点讲与练)(原卷版+解析版): 这是一份2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用) 考点20 椭圆(核心考点讲与练)(原卷版+解析版),共55页。试卷主要包含了椭圆的定义,椭圆的标准方程和几何性质,求椭圆离心率的3种方法等内容,欢迎下载使用。

    考点20 椭圆(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(原卷版): 这是一份考点20 椭圆(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(原卷版),共19页。试卷主要包含了椭圆的定义,椭圆的标准方程和几何性质,求椭圆离心率的3种方法等内容,欢迎下载使用。

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20 椭圆(2份打包,原卷版+解析版)
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map