新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点22 抛物线（2份打包，原卷版+解析版）

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1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
1.求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
2.确定及应用抛物线性质的技巧：
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．
抛物线的定义与方程
一、单选题
1．（2022·广东·二模）已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 ，圆F： SKIPIF 1 < 0 ，直线l： SKIPIF 1 < 0 （t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 第一象限上一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
4．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF
B．不存在直线m，满足 SKIPIF 1 < 0
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
5．（2022·山东潍坊·二模）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．平面ACD⊥平面ABC
B．球心O为△ABC的中心
C．直线OM与CD所成的角最小为 SKIPIF 1 < 0
D．若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分
6．（2022·山东聊城·二模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为2，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
D．过点 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 轴平分 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为F，则（ ）
A．点M到焦点的距离为3
B．直线MF与x轴垂直
C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D．过点M与C相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
8．（2022·辽宁沈阳·二模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，在C上有一点P， SKIPIF 1 < 0 ，则点P到x轴的距离为______．
抛物线的几何性质
1.（2021北京八中高三上学期期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测） SKIPIF 1 < 0 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
直线与抛物线的位置关系
1.（云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线l： y=x+1与抛物线C： x2=2py（p>0）相交于A， B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）.
（1）求此抛物线的标准方程；
（2）若正方形PQHR的三个顶点P， Q， H都在抛物线C上，求正方形PQHR面积的最小值.
2.（2021四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设纵截距为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
2.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为______.
3.（2021年全国高考乙卷） 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的最大值.
一、单选题
1．（2022·山东泰安·二模）已知以F为焦点的抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
2．（2022·河北唐山·二模）F为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在C上，直线MF交C的准线于点N，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．12
3．（2022·天津·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于D､E两点，且OD⊥OE（O为原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·辽宁锦州·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点P是C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．2或4C．4D．4或6
5．（2022·广东惠州·一模）若抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上一点P（2， SKIPIF 1 < 0 ）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
二、多选题
6．（2022·河北秦皇岛·二模）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作两条相互垂直的直线，与 SKIPIF 1 < 0 的另外两个交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的准线方程是 SKIPIF 1 < 0
B．过 SKIPIF 1 < 0 的焦点的最短弦长为8
C．直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
D．当点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·江苏江苏·二模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过原点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线的准线于点 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为2
8．（2022·广东·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为9
C． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为8
9．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，则（ ）
A．焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．过点 SKIPIF 1 < 0 恰有2条直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为8
D．抛物线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0
10．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知F是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，过点F作两条互相垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与C相交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值B．以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与l相切
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为32D．当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0
11．（2022·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在抛物线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 B．F是 SKIPIF 1 < 0 的重心
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
12．（2022·北京丰台·二模）已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线C的准线方程为______．
13．（2022·福建·模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
14．（2022·重庆八中模拟预测）若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到焦点的距离是点A到y轴距离的2倍，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
四、解答题
15．（2022·山东济宁·二模）已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线E上，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
16．（2022·湖北武汉·二模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的准线的距离等于其到坐标原点 SKIPIF 1 < 0 的距离.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的一条不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直径，分别延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.
17．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 的两条直线 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，探究：直线 SKIPIF 1 < 0 是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.
18．（2021·山西运城·模拟预测（理））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下