考点20 椭圆（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练

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考点20 椭圆（核心考点讲与练）

1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2


1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.
4.求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

椭圆的定义
一、单选题
1．（2022·内蒙古通辽·二模（理））椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
3.（2021广东省深圳市高级中学等九校联考）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
二、多选题
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（       ）
A．周长为4 B．面积的最大值为
C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为
【答案】BC
5．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（       ）
A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B．若，则的面积为
C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是
D．若恒成立，则C的离心率的范围是
【答案】BD
三、填空题
6．（2022·宁夏·银川一中二模（文））已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______．
【答案】1
四、解答题
7．（2022·江西景德镇·三模（文））是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.

(1)求的标准方程；
(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.
(1)解：因为圆过点与坐标原点，.
设的左焦点为，则的周长
，
所以，，则，且，故，所以，，.
因此，椭圆的坐标方程为.
(2)解：设，其中，其中，且，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
同理可知直线的方程为，
又，所以，直线的方程为.
联立直线、的方程，
可得，解得，
联立直线、的方程，
可得，解得.
所以，
.
椭圆的标准方程
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.（2021福建省莆田市第十五中学二模）阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
二、多选题
3．（2022·辽宁·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，（如图），离心率为，过的直线垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（       ）

A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B．的周长为4a
C．若的面积为12，则椭圆E的方程为
D．与的面积的比值为
【答案】BCD
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，，则（       ）

A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
【答案】BCD
5．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆E的方程为，离心率为，为E上一点，过点A作两条直线分别与E交于B，C两点，且直线AB与直线AC的倾斜角互补，则下列结论正确的是（       ）
A．椭圆E的长轴长为
B．直线BC的斜率为定值
C．点O到直线BC的距离为定值
D．若，则直线BC的方程为
【答案】BD
三、填空题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．
【答案】
四、解答题
7．（2022·山东泰安·二模）已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)由题知，椭圆C过点和，
所以，解得
所以椭圆C的方程为．
(2)

假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，
由，得，∴，

∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴




∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知椭圆的离心率，且点，在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且在椭圆位于x轴上方的部分，直线与轴交于点，点是轴上一点，，直线与椭圆交于点，若的面积为，求直线的方程．
（1）由已知，有，解得，
所以椭圆C的方程为；
(2)由（1）知，，.设直线的方程为()，
则，
直线与椭圆C的交点满足方程组，
消去y得到，
解得.
设，由题意，
有，解得.
进而得到直线的方程为，
其与椭圆C的交点满足方程组
消去x得到：，
解得，进而.
，
点G到直线的距离为.
因此，，
化简得，解得或，
所以直线的方程为或
椭圆的几何性质
1.（2021天津市第二中学高三上学期期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
直线与椭圆的位置关系
1.（2022北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆的左､右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线.
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上，求m的值；
（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线与直线相交于点M，求证：A，D，M三点共线.
（1）由题意知，直线的斜率存在，且斜率为，
设点A关于直线对称的点为，则，
所以线段的中点在直线上，又，，
有-1m×n6=-11+m×n2-4=0，解得或，
所以；
（2）已知，
当直线的斜率不存在时，：x=1，此时，
有，所以直线，当时，，所以，
所以，所以，
即A、D、M三点共线；
当直线的斜率存在时，设直线：，
则，得，
，
设，则，
直线BC方程为，令，得，
所以直线AD、AM的斜率分别为，
，
上式的分子



，
所以，即A、D、M三点共线.
综上，A、D、M三点共线.
2.（2021四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三上学期期中）已知椭圆C： (a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，
①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；
②点M满足2＝，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求的值.
【小问1详解】
解：已知，，，则，，
代入椭圆的方程有，所以，即，
所以，
所以．
【小问2详解】
解：①由（1）可得，，所以椭圆的方程为，
设直线，，，，，
联立直线与椭圆的方程，得，
所以△，，，
所以，
所以．
②设点，， ，则，
又因为，所以点，，
所以，，，，
则，所以，即，
因为点，，在椭圆上，
所以，，，，
所以，
由①可知，
所以，则，
所以．

1.（2021年全国高考乙卷）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
2.（2021年全国高考乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
4.（2021年全国高考甲卷）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】

一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测（理））､是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足，若，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．（2022·湖北武汉·二模）若椭圆的离心率为，则的值为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
5．（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
二、多选题
6．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线：，焦点为､ ，，过的直线与交于两点，则下列说法正确的有（       ）
A．是的一条对称轴
B．的离心率为
C．对C上任意一点P皆有
D．最大值为
【答案】ABD
7．（2022·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（       ）
A．若点为线段上任意一点，则为定值
B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点、、，都有
D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为
【答案】AC
8．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（       ）
A．的周长与点的位置无关
B．当时，的面积取到最大值
C．的外接圆半径最小为
D．的内切圆半径最大为
【答案】ACD
9．（2022·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（       ）
A． B． C．4 D．2
【答案】AC
三、填空题
10．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为F，A为C上一点，AF与x轴垂直．若的面积为，则C的离心率为__________．
【答案】##0.5
12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）椭圆：的左、下顶点分别为，，右焦点为，中点为，为坐标原点，交于点，且，，三点共线，则的离心率为____________．
【答案】##
13．（2022·江苏·海安高级中学二模）如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；
②恰经过A，B，C中的两点．

【答案】5（或）（答案不唯一）
14．（2022·天津市第四中学模拟预测）设椭圆的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B，是等边三角形.
（1）椭圆的离心率为___________；
（2）设直线：，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.
（i）___________；
（ii）已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，则椭圆的方程___________.
【答案】              
15．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知曲线的焦距为8，则___________.
【答案】25或
四、解答题
16．（2022·湖南衡阳·二模）设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为.
①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；
②求面积的最大值.
(1)由于，①
又，②
由①②解得，
椭圆的方程为.
(2)①在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得：，
设，则，.
又，由题知，
则，且，
则.
，
则，
或
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为.
此时直线过定点.
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
点的坐标分别为.
满足.
综上，直线过定点.
②不妨设直线过定点为.则的面积，
设直线的方程为，联立椭圆的方程消去得，
则
所以.
令，则
因为，所以（当且仅当即），
所以，即面积的最大值为.
17．（2022·广东韶关·二模）已知P是离心率为 的椭圆 上任意一点，且P到两个焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M，使得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明理由．
(1)因为，所以，
又，所以，
故椭圆方程为：．
(2)设存在定点，满足条件．由已知，
设直线AP的方程为，
由消去y整理得，
，
所以，，
时，，
所以直线OE的方程为，①
由中，令，得，从而，
又，所以，
所以直线DM方程为，②
由①②消去参数k，得，即，③
方程③要表示圆，当且仅当，此时圆的方程为，
时，在上述圆上，
所以存在定点使直线DM与OE的交点Q在一个定圆上，
且定圆方程为：.
18．（2022·河北唐山·二模）已知椭圆的右焦点为F，椭圆．

(1)求的离心率；
(2)如图：直线交椭圆于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证：；
②若，求面积的最大值．
(1)椭圆的标准方程为：，
则椭圆的离心率为
(2)对于①，设，，，，
直线与联立整理得
则
则的中点坐标
同理可知的中点坐标.
所以与中点重合，故.
对于②，由①知，直线被椭圆截得弦长为

把代入得，
把代入得，
到的距离为，
则面积为：

当时，的面积最大值是.
19．（2022·广东·二模）已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)，分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形．
(1)由题可知．
当与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，
所以，
解得，．
所以椭圆C的标准方程为．
(2)设的方程为，，，
联立得消去x，得，
易知恒成立，由韦达定理得，，
由直线的斜率为，得直线的方程为，
当时，，
由直线的斜率为，得直线的方程为，
当时，，
若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证，
因为，
代入韦达定理得
，
所以，即PQ与相互垂直平分，所以四边形为菱形．