新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点03 函数及其性质（2份打包，原卷版+解析版）

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1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
6.函数的最值
7.函数的奇偶性
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较．
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
函数及其表示
一、单选题
1．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，可知为方程的解的个数，判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数即可求解．
【详解】解：设，则方程有个根，即有个根，
，
所以在上单调递增，在，上单调递减，且，
当时，，
设，令得，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
作出与的大致函数图象，如图所示：
由图象可知的交点个数可能为1，2，3，4，
又，所以的值为2，3，4．
故选：D．
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意，画出图形，结合，分和进行讨论，解得的范围，从而即可得实数的取值范围．
【详解】解：作出函数的图象如图，
因为，若，由在上单调递增，且，
则，解得；
若，则，解得；
综上，，解得或.
所以实数的取值范围是．
故选：A.
3．（2022·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数解析式可得，，画出函数图象，则原不等式等价于，结合函数的单调性，即可得到，解得即可；
【详解】解：因为，所以，，
则，即，
的函数图象如下所示：
由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；
故选：A
4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据函数的定义域可排除CD.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，
由，
所以函数为奇函数，不符合题意；
对于B，函数的定义域为，
由，
所以函数为偶函数，符合题意；
对于C，函数，
则，得且，
故函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意；
对于D，函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意.
故选：B.
5．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数在在上为单调函数，且当时单调递减，则满足，可得到的范围；再将有三个不同的零点问题转化为函数和有三个交点问题，画出两个函数的图象，可先判断当时存在两个交点，则只需满足时有且仅有一个交点即可，进而求解，综合得到的范围.
【详解】由题，因为在上为单调函数，且时，单调递减，
所以，解得，
在同一坐标系中画出和的图象，如图所示：
由图象可知当时，和的图象有两个交点，
故只需当时，和的图象有且只有一个交点，
当，即，即时，满足题意；
当，即时，只需与相切，
联立可得，则，解得，
综上，的取值范围是
故选：D
6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数，则图象为下图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A选项，利用当时，排除A选项，B选项，利用时，排除B选项，D选项，利用奇偶性排除D选项，C选项，满足图象要求.
【详解】A选项，，其中当时，恒成立，故A选项错误；
B选项，，当时，，不合要求，B错误；
C选项，，当时，，当时，，当时，，且为非奇非偶函数，故符合要求.
D选项，， 定义域为R，且，故为奇函数，图象关于原点对称，不合题意，D错误.
故选：C
7．（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域是（m，n为整数），值域是，则满足条件的整数对的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，并画出函数的大致图像即可
【详解】
由，得或
由，得
易知当时，为增函数，当时，为减函数，其图像如上图所示
若使的定义域是（m，n为整数），值域是，满足条件的整数数对有，，，，共5个
故选：D
8．（2020·南开中学模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】对于A：由定义域不同,即可判断；
对于B：由定义域不同，即可判断；
对于C：由对应关系不同，即可判断；
对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.
【详解】对于A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，所以A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为R，定义域不同，所以B错误；
对于C：，对于，对应关系不同，故C错误；
对于D：定义域为R, ，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函数.
故选：D
9．（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】两个函数若是同一函数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项.
【详解】A.的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
B.和的定义域是，且，两个函数的解析式相同，所以是同一函数；
C.，，两个函数的定义域都是，两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
D.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：B
10.（2020·全国·一模）网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”（单位：.号），第二行是脚长（单位：），请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先建立函数关系，再求解即可.
【详解】解：设“脚长”为，“鞋号”为，根据题意发现与满足的函数关系，
当时，，
故选：B.
【点睛】本题考查函数关系的建立，是基础题.
二、多选题
11．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．若，则
D．若是的两个零点，且，则
【答案】ACD
【分析】对于A，在中令，即可判断A；
对于B，对两边求导，结合，即可得出在上单调递增，即可判断B.
对于C，分别讨论和 ，再结合在上单调递增，上单调递减，即可判断C.
对于D，先证明，则，再令，而由，所以，所以，即可判断D.
【详解】对于A，在中令，则，所以，故A正确；
对于B，当时，，对两边求导，则，
所以时，，
所以，令，，，
所以在上单调递增，所以B错；
对于C，由B知，在上单调递增，上单调递减，由知不可能均大于等于1，否则，则，这与条件矛盾，舍去.
①若，则，满足条件，此时，；’
②若，则，而，则
，
所以，而，所以
，C正确；
对于D，由在上单调递增，上单调递减，知，
注意到，，，
所以，
若，则，则，
所以
()，这与矛盾，舍去.
所以，在时，中，令，而由，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当00，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)