数学第4章 锐角三角函数综合与测试单元测试课时作业

这是一份数学第4章 锐角三角函数综合与测试单元测试课时作业，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）如图，点，，在正方形网格的格点上，则(    )A.
B.
C.
D. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，的面积为，则的值为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连结，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形面积是，则(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，，是反比例函数图象上的两点，过点，分别作轴的平行线交轴于点，，直线交轴正半轴于点若点的横坐标为，，，则的值为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，：：，连接，过点作交的延长线于若，则的值是(    )
 A.  B.  C.  D. 如图把两张宽度均为的纸条交错叠在一起，相交成角，则重叠部分的周长为(    )A.
B.
C.
D. 如图，在菱形中，按以下步骤作图：
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；
作直线，且恰好经过点，与交于点，连接．
则下列说法错误的是(    )
A.  B.
C. 若，则 D. 如图，为坐标原点，四边形是菱形，在轴的正半轴上，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点，则的面积等于(    )
A.  B.  C.  D. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是(    )
A.  B.  C.  D. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高为(    )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）已知等腰三角形两边长分别为和，则底角的余弦值为          ．如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______．
 如图，两张完全相同的矩形纸片和，，把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时， __________．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度：，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是______．
  三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．年月日，“南天一柱”正式命名为阿凡达的“哈利路亚山”如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在处测得“南天一柱”底部的俯角为，继续飞行到达处，这时测得“南天一柱”底部的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？参考数据：，，
 
沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形，高米，斜坡的坡度：此处大堤的正上方有高压电线穿过，表示高压线上的点与堤面的最近距离、、在同一直线上，在点处测得．
求斜坡的坡角；
电力部门要求此处高压线离堤面的安全距离不低于米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
参考数据：，，，
年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面处发射，当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为已知，两处相距米，求火箭从到处的平均速度结果精确到米秒，参考数据：，．
如图，在中，，点在边上，，点为垂足，，，．

求的长；
求的正弦值．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为．
求证：四边形是平行四边形；
若平分，，，求和的长．
如图，在中，，，点从点出发，以每秒个单位
长度的速度沿方向运动，过点作于点，当点和点重合时，点停止运动，以和为边作▱设点的运动时间为秒
线段的长为______用含的代数式表示
当点落在边上时，求的值．
当▱与的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
过点作直线于点，当直线将▱分成两部分图形的面积比为：时，直接写出的值．
如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为米，求显示屏的高度．结果精确到米，参考数据：，，
天府熊猫塔位于成都市成华区，是中国西部第一高塔，也是四川省成都市的绝对地标性建筑，塔上不仅用以开展高空旅游、旋转餐厅、室内外观光层及会展演艺等，还可以为城市提供景观光彩照明．如图，某兴趣小组想测量天府熊猫塔的高度，先在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米到处，测得仰角为，求天府熊猫塔的高度．结果精确到米；参考数据：，，，
一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔在北偏东方向上继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出是解决问题的关键．
作于，根据勾股定理求出、，利用三角形的面积求出，最后在直角中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作于，

由勾股定理得，，，
，
，
．
故选B．  2.【答案】 【解析】解：连接，

是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故选：．
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，即得，在中，求出，证明，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
 3.【答案】 【解析】解：，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
，
故选：．
在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，利用勾股定理求出长是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：大正方形的面积是，小正方形面积是，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
，
，
．
故选：．  5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，表示出、的坐标是解题的关键．
由，设，，根据勾股定理求得，即可求得，得出，设，则，根据题意得出，，从而求得，则，，设点的纵坐标为，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得．
【解答】
解：轴，
，
，
设，，，
，
点的横坐标为，
，则，
，
设，则，其中，
，
，
，
，
，
，则，
，，
设点的纵坐标为，
，则，其中，
，，
，是反比例函数图象上的两点，
，
解得，．  6.【答案】 【解析】解：如图，过点作轴于点，
，
，，
∽，
：：：，
，
，
：：：，
，
，
，
．
故选：．
根据，证明出∽，得到：：：，过点作轴于点，根据，得到，根据平行线分线段成比例定理得到：：：，根据，得到，得到，根据正切的定义即可得到的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到：：：是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形，则，

过作于，则，
，
，
，
重叠部分的周长，
故选：．
根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形，由已知得，过作于，由锐角三角函数解直角三角形解答即可．
本题主要考查了菱形的性质，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了菱形的性质和解直角三角形．
利用基本作图得到垂直平分，再根据菱形的性质得到，，利用三角函数求出，则可对选项进行判断；利用三角形面积公式可对选项进行判断；当，则，先计算出，再利用勾股定理计算出，则可对选项进行判断；作交的延长线于，如图，设，则，，，先计算出，，则可根据正弦的定义对选项进行判断．
【解答】
解：由作法得垂直平分，即，，
四边形为菱形，
，，
在中，，
，
，所以选项的结论正确；
，，
而，
，所以选项的结论正确；
若，则，
，
在中，，所以选项的结论错误；
作交的延长线于，如图，
设，则，，，
在中，，
，，
，所以选项的结论正确．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：过点作轴于点，如图所示．
设，
在中，，，，
，，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，或舍去．
，，．
四边形是菱形，点在边上，
．
故选：．
本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出．
过点作轴于点，设，通过解直角三角形找出点的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，再根据四边形是菱形、点在边上，即可得出，结合菱形的面积公式即可得出结论．
 10.【答案】 【解析】解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这棵树的高度是米，
故选：．
设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：延长交于点，
赛道，的坡角均为，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
米．
故选：．
延长交于点，利用平行四边形的判定与性质得出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用以及平行四边形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．
 12.【答案】 【解析】略
 13.【答案】或 【解析】略
 14.【答案】 【解析】解：连接，

在正方形、中，
，
，
设，，
，，
，
故答案为：．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识；求的长是本题的关键．
由“”可证≌，可证，即可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，由勾股定理求出的长，即可得出答案．
【解答】
解：如图，四边形和四边形是矩形，

，，
，且，，
≌，
，且四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，
设，则，
，
，
，
，  16.【答案】 【解析】解：过作于，于，
，，
斜坡的斜面坡度：，
：，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
答：古塔的高度是，
故答案为：．
过作于，于，于是得到，，设，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 17.【答案】解：设无人机距地面，直线与南天一柱相交于点，


由题意得，．
在中，
，
．
在中，
，
．
，
，
，
，
这架航拍无人机继续向正东飞行安全． 【解析】设无人机距地面，直线与南天一柱相交于点，根据列方程求出的值，与南天一柱的高度比较即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
 18.【答案】解：斜坡的坡度：，
：：，
．
答：斜坡的坡角为；
由可知：
，．
，
在中，，
米．
，
答：此次改造符合电力部门的安全要求． 【解析】根据斜坡的坡度：，可得：：，进而可得的度数；
由可得，，所以，再根据锐角三角函数可得的值，与进行比较即可得到此次改造是否符合电力部门的安全要求．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
 19.【答案】解：设火箭从到处的平均速度为米秒，根据题意可知：
，
在中，，，
米，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
，
解得．
答：火箭从到处的平均速度为米秒． 【解析】设火箭从到处的平均速度为米秒，根据题意可得，在中，，，可得，，在中，，可得，即可得，进而解得的值．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 20.【答案】解：，
，
又，
，
在中，，，
，
设，那么，，
，
，
解得：，
；
在中，由勾股定理，得，同理得，
在中，由，可得，
，
，
，即的正弦值为． 【解析】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
由题意得到三角形为等腰直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出与之比，设出与，由求出各自的值，确定出即可；
在直角三角形中，利用勾股定理求出与的长，根据的值求出的值，确定出的长，由求出的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
 21.【答案】证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，，
，
，
平分，，，
，
由得：四边形是平行四边形，
． 【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
证，再由，即可得出结论；
先由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质求解即可．
 22.【答案】；
如图中，当点落在上时．

，
，
，
．

如图中，当时，重叠部分是四边形．

如图中，当时，重叠部分是四边形，



如图中，：：，，
是的中位线．

，
，
，
，
，
，
，
．

如图中，当：：时，是的中位线．

，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或 【解析】解：如图中，

在中，，，，
，
，，
，
，．
故答案为．
见答案；
见答案；
见答案；

利用勾股定理求出，再根据，构建方程即可解决问题；
如图中，因为，可得，由此构建方程即可解决问题；
飞两种情形分别求解：如图中，当时，重叠部分是四边形如图中，当时，重叠部分是四边形；
飞两种情形画出图形分别利用三角形的中位线定理求解即可；
本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 23.【答案】解：延长交于，则米，，，
，
米，
在中，
米，
在中，米，
米，
答：显示屏的高度约为米． 【解析】延长交于，则米，，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 24.【答案】解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
天府熊猫塔的高约为米． 【解析】设米，则米，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 25.【答案】解：过点作，垂足为如图所示：
根据题意可知，，
，
，
，
在中，，，，
，
这艘船继续向东航行安全． 【解析】过作于点，根据方向角的定义及余角的性质求出，，证，根据等角对等边得出海里，然后解，求出即可．
本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数定义是解题的关键．