人教B版高中数学必修第一册第3章3-2第2课时零点的存在性及其近似值的求法课件

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第2课时　零点的存在性及其近似值的求法第三章　函数3.2　函数与方程、不等式之间的关系必备知识·情境导学探新知某电视台有一个价格竞猜类的节目．节目中主持人给竞猜者展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后竞猜者继续猜．怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？知识点1　函数零点存在定理如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是_______________的，并且____________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f (x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f (x0)＝0．连续不断f (a)f (b)＜0 思考　利用函数零点存在定理能确定零点个数吗？[提示]　不能．只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数．如图①②，虽然都有f (a)f (b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．知识点2　求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且___________的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到__________的方法称为二分法．f (a)f (b)＜0一分为二零点近似值提醒　(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点)的近似值．(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现．   ba1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f (x)在[a，b]上图象连续，且f (a)f (b)＞0，则y＝f (x)在(a，b)内一定没有零点． (　　)(2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有且只有一个零点，则f (a)f (b)<0． (　　)(3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)在[a，b]上至多有一个零点． (　　)×√×  √3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]√关键能力·合作探究释疑难类型1　判断函数零点个数或所在区间【例1】　(1)已知函数y＝f (x)的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：则下列说法正确的是(　　)A．函数y＝f (x)在区间[1，6]上有3个零点B．函数y＝f (x)在区间[1，6]上至少有3个零点C．函数y＝f (x)在区间[1，6]上至多有3个零点D．函数y＝f (x)在区间[1，2]上无零点√(2)若a0，但函数y＝f (x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点．(2)因为f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，所以f (a)＝(a－b)(a－c)，f (b)＝(b－c)(b－a)，f (c)＝(c－a)(c－b)，因为a0，f (b)<0，f (c)>0，所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，故∃x1∈(a，b)，x2∈(b，c)，f (x1)＝0，f (x2)＝0，所以f (x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．]发现规律　判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将__________代入函数解析式求出相应的函数值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行____判断．(3)结论：若符号为__且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为__且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．区间端点值符号正负[跟进训练]1．(1)函数f (x)＝x3－9的零点所在的一个区间是(　　)A．(－1，0)　　B．(0，1)　　C．(1，2)　　D．(2，3)(2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　　)A．若f (a)f (b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0B．若f (a)f (b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f (c)＝0C．若f (a)f (b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0D．若f (a)f (b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0√√(1)D　(2)C　[(1)因为函数f (x)＝x3－9的图象是连续不断的，f (2)＝8－9＝－1＜0，f (3)＝27－9＝18＞0，所以根据函数零点存在定理，可得函数f (x)＝x3－9的零点所在的一个区间是(2，3)．(2)对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]B　[利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]类型2　对二分法概念的理解【例2】　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)A　　　　 B　　　C　　　　D√反思领悟　二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可．[跟进训练]2．(1)(多选)用二分法求如图所示函数f (x)的零点时，能求出的零点是(　　)A．x1　　　B．x2　　　C．x3　　　D．x4(2)用二分法求函数f (x)在区间[0，2]上零点的近似解，若f (0)·f (2)<0，取区间中点x1＝1，计算得f (0)·f (x1)<0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．√√√(0，1)(1)ABD　(2)(0，1)　[(1)观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．(2)由二分法的定义，根据f (0)f (2)<0，f (0)·f (x1)<0，x1＝1，故零点所在区间可以为(0，1)．]类型3　用二分法求函数零点的近似值【例3】　求函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.1)．[解]　由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： [母题探究](变结论)本例条件不变，请问是否存在负数零点？若存在，请求出一个负数零点．[解]　由于f (－2)＝(－2)3＋2×(－2)2－3×(－2)－6＝0，所以函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个负数零点是－2．反思领悟　利用二分法求函数零点的关注点(1)要选好计算的初始区间，这个区间要包含函数的零点，其长度要尽量小．(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．[跟进训练]3．求函数f (x)＝x2－5的负零点(精确度为0.1)． 类型4　一元二次方程根的分布问题【例4】　已知关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为(　　)A．(－4，－2)　　　　 B．(－3，－2)C．(－4，0) D．(－3，1)√ 反思领悟　解一元二次方程根的分布问题一般从4个方面考虑(1)抛物线开口方向．(2)一元二次方程根的判别式．(3)对应区间端点函数值的符号．(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．[跟进训练]4．关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有实数解，求实数m的取值范围．  学习效果·课堂评估夯基础23题号411．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上(　　)A．没有零点 B．有一个零点C．有两个零点 D．有无数个零点√B　[令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．故选B．]23题号41√  23题号41 3．用二分法求方程的近似解，求得f (x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为(　　)A．1.6　　　　B．1.7　　　　C．1.8　　　　D．1.9√23题号414．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)①②③23题号41①②③　[(法一)设f (x)＝x3＋x2－2x－1，则f (－2)＝－1<0，f (－1)＝1＞0，f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7＞0，所以f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，所以∃x1∈(－2，－1)，x2∈(－1，0)，x3∈(1，2)，f (x1)＝0，f (x2)＝0，f (x3)＝0．则f (x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确．23题号41 [提示]　(1)方程法：若方程f (x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．(2)图象法：由f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．判断函数是否存在零点有哪些方法？[提示]　已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2．根据函数零点个数求参数值(范围)有哪些方法？[提示]　(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．(2)取区间端点的中点c，计算f (c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．3．用二分法求函数零点的近似值应遵循怎样的原则？[提示]　并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上的图象连续不断．(2)f (a)·f (b)<0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．4．二分法求函数零点需满足什么条件？