新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题13 平面向量的线性运算及坐标表示(2份打包,原卷版+解析版)
展开1、了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.
2、理解向量的几何表示,掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
3、掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
一、平面向量的概念
【思维导图】
【考点总结】
一、向量及其几何表示
1.向量与数量
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量.
(2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
(2)向量可以用有向线段表示.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小,也就是向量 eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模),记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.向量也可以用字母a,b,c,…表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如,eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→)).
二、向量的有关概念
二、平面向量的线性运算
【思维导图】
【考点总结】
一、向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
对于零向量与任一向量a,规定eq \a\vs4\al(0)eq \a\vs4\al(+)eq \a\vs4\al(a)=a+0=a.
2.向量求和的法则
二、相反向量
1.定义:如果两个向量长度相等,而方向相反,那么称这两个向量是相反向量.
2.性质:(1)对于相反向量有:a+(-a)=0.
(2)若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量.
(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量,记作-a(如图).显然a+(-a)=0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.
三、向量的减法
1.定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
2.作法:在平面内任取一点O,作eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,则向量a-b=eq \(BA,\s\up6(→)),如图2211所示.
图2211
3.几何意义:a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
四、向量的数乘运算
1.定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.
2.规定:(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
3.运算律:
设λ,μ为实数,则
(1)λ(μa)=λμa;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,我们有
(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
三、平面向量基本定理及坐标表示
【考点总结】
1.平面向量的基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标;
②设eq \(OA,\s\up7(→))=xi+yj,则向量eq \(OA,\s\up7(→))的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若eq \(OA,\s\up7(→))=(x,y),则点A坐标为(x,y),反之亦成立(O为坐标原点).
2.平面向量的坐标运算
3.向量共线的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0,特别地,若x2,y2≠0,则a∥b⇔eq \f(x1,x2)=eq \f(y1,y2).
4.三点共线定理
若eq \(OA,\s\up7(→)),eq \(OB,\s\up7(→))是平面内不共线的向量,则存在实数λ1,λ2使得eq \(OC,\s\up7(→))=λ1eq \(OA,\s\up7(→))+λ2eq \(OB,\s\up7(→)),则当λ1+λ2=1时,A,B,C三点共线,特别地,当λ1=λ2=eq \f(1,2)时,C是A与B的中点.
【题型汇编】
题型一:平面向量的概念
题型二:平面向量的线性运算
题型三:平面向量的基本定理及坐标表示
【题型讲解】
题型一:平面向量的概念
一、单选题
1.(2022·湖北·一模)已知 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 =( )
A.4B. SKIPIF 1 < 0 C.10D.16
二、填空题
1.(2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模(文))已知 SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
题型二:平面向量的线性运算
一、单选题
1.(2022·河南·三模(理))已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为非零向量,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则( )
A. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直B. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向C. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向
2.(2022·新疆·三模(文))如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 可以表示为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
3.(2022·江西·南昌市实验中学一模(文))已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2,点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 ,则向量 SKIPIF 1 < 0 ( ).
A.1B.5C.7D. SKIPIF 1 < 0
4.(2022·河南·二模(文))正方形 SKIPIF 1 < 0 中,点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,那么 SKIPIF 1 < 0
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
5.(2022·新疆·三模(理))已知D,E分别是 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
6.(2022·河北唐山·三模)已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.1D.2
7.(2022·重庆·三模)已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心,记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
8.(2022·河南开封·三模(文))在平面四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,则下列向量与 SKIPIF 1 < 0 不相等的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
9.(2022·安徽·芜湖一中三模(文))在梯形ABCD中, SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,点P在边BC上,若 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
10.(2022·宁夏石嘴山·一模(理))已知G是△ABC重心,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A.4B.1C. SKIPIF 1 < 0 D.2
11.(2022·湖南师大附中三模)艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案,我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形,正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接,并去掉正五边形的边后得到的图形,它的中心就是这个正五边形的中心.如图,设O是正五边形ABCDE的中心,则下列关系错误的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
二、多选题
1.(2022·广东惠州·一模)如图,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,且 SKIPIF 1 < 0 ,则( )
A. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.(2022·辽宁·育明高中一模)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,点P是圆O内的定点,且 SKIPIF 1 < 0 ,弦AC、BD均过点P,则下列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 为定值B. SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C.当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为定值D. SKIPIF 1 < 0 的最大值为12
题型三:平面向量的基本定理及坐标表示
一、单选题
1.(2022·江西·二模(理))已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B.1C. SKIPIF 1 < 0 D.2
2.(2022·安徽省含山中学三模(文))已知向量 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B.2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
3.(2022·陕西渭南·二模(理))已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则λ=( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.-1D.1
4.(2022·山西临汾·二模(理))已知向量 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B.0C.1D.2
5.(2022·新疆乌鲁木齐·二模(文))若平面向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
6.(2022·全国·二模(理))已知向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
7.(2022·山西吕梁·三模(文))已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.1D. SKIPIF 1 < 0
8.(2022·河北保定·二模)已知向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A.3B.4C.5D.6
9.(2022·四川·宜宾市教科所三模(理))已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A.1B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
二、多选题
1.(2022·广东广州·三模)已知向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则下列结论中正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.(2022·山东日照·二模)已知向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
3.(2022·山东青岛·一模)已知向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则下列结论正确的是( )
A.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 B.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
C.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 D.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角
4.(2022·山东·德州市教育科学研究院二模)已知O为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则下列结论正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 为等边三角形B. SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0
C.满足 SKIPIF 1 < 0 的点P有两个D.存在一点P使得 SKIPIF 1 < 0
零向量
长度为0的向量,记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量向量a,b平行,记作a∥b
规定:零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量a与b相等,记作a=b
三角形法则
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作Aeq \(B,\s\up6(→))=a,Beq \(C,\s\up6(→))=b,则向量Aeq \(C,\s\up6(→))叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=Aeq \(B,\s\up6(→))+Beq \(C,\s\up6(→))=Aeq \(C,\s\up6(→))
平行四边形法则
已知两个不共线向量a,b,作Aeq \(B,\s\up6(→))=a,Aeq \(D,\s\up6(→))=b,以Aeq \(B,\s\up6(→)),Aeq \(D,\s\up6(→))为邻边作▱ABCD,
则对角线上的向量Aeq \(C,\s\up6(→))=a+b.
向量的加法、减法
设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a+b=(x1+x2,y1+y2),
a-b=(x1-x2,y1-y2)
向量的数乘
设a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy)
向量坐标的求法
设O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则eq \(OA,\s\up7(→))=(x1,y1),
eq \(AB,\s\up7(→))=(x2-x1,y2-y1)
新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题22 直线与圆(2份打包,原卷版+解析版): 这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题22 直线与圆(2份打包,原卷版+解析版),文件包含新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题22直线与圆原卷版doc、新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题22直线与圆解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共36页, 欢迎下载使用。
新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题19 空间几何体(2份打包,原卷版+解析版): 这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题19 空间几何体(2份打包,原卷版+解析版),文件包含新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题19空间几何体原卷版doc、新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题19空间几何体解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共28页, 欢迎下载使用。
新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题15 数列的概念与表示(2份打包,原卷版+解析版): 这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题15 数列的概念与表示(2份打包,原卷版+解析版),文件包含新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题15数列的概念与表示原卷版doc、新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题15数列的概念与表示解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。