新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题23 圆锥曲线（2份打包，原卷版+解析版）

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1、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程，掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2、掌握双曲线定义、几何图形和标准方程，知道双曲线简单(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
一、椭圆及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、椭圆的定义及标准方程
1．定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2。
(3)若a＜c，则M点不存在。
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)；
中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
二、椭圆的标准方程和几何性质
二、双曲线及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、双曲线的定义及标准方程
1．定义
在平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹(或集合)叫做双曲线．定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；
中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
二、双曲线的标准方程和几何性质
三、抛物线及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、抛物线的定义及标准方程
1．定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2．标准方程
顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py(p>0)．
二、抛物线的标准方程与几何性质
【题型汇编】
题型一：椭圆
题型二：双曲线
题型三：抛物线
【题型讲解】
题型一：椭圆
一、单选题
1．（2022·全国·一模（理））已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上的动点P到右焦点距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
【详解】
解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A
2．（2022·山西大附中三模（文））已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】
由椭圆方程可知 SKIPIF 1 < 0 ，由四边形OMAN是正方形可知 SKIPIF 1 < 0 ，
又点M在椭圆C上，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆C的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
结合椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．（2022·湖南湘潭·三模）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的定义，求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2022·宁夏·银川一中二模（文））椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值为（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由焦点坐标得到 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可.
【详解】
根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
5．（2022·陕西西安·二模（文））已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
椭圆的正三角形另两边的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此建立 SKIPIF 1 < 0 的齐次式，进而可的结果.
【详解】
解：由题意得：
设椭圆的正三角形另两边的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：A
6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆的定义求得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆的方程，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、多选题
7．（2022·江苏江苏·一模）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列 SKIPIF 1 < 0 的值，能使以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】
依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可取出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即可得解；
【详解】
解：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件的有A、B、C；
故选：ABC
2．（2022·湖北·黄冈中学二模）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，当 SKIPIF 1 < 0 取下列哪些值时，可以使 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值即可得．
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 点坐标代入椭圆，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 代入上式可得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .对照选项 SKIPIF 1 < 0 可以取ABC.
故选：ABC．
三、解答题
1．（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程及其离心率；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上第一象限的点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，继而求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得方程和离心率；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，联立即可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值.
(1)
依题知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
如图：
设 SKIPIF 1 < 0 ，第一象限有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·海南海口·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)动直线l与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意列出方程组 SKIPIF 1 < 0 ，再解方程组即可.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 到中垂线的距离为0．当 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．根据直线与圆相切得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出中垂线得到 SKIPIF 1 < 0 到中垂线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用基本不等式即可得到答案.
(1)
由题知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
当 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，线段MN的中垂线为 SKIPIF 1 < 0 轴，此时 SKIPIF 1 < 0 到中垂线的距离为0．
当 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
则MN的中垂线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 到中垂线的距离为 SKIPIF 1 < 0
（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立）．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 到线段MN的中垂线的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型二：双曲线
一、单选题
1．（2022·浙江·三模）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长度是（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线的几何性质即可得出答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长度是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））若双曲线 SKIPIF 1 < 0 (a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据离心率可求出两条渐近线的倾斜角，从而解出．
【详解】
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故两条渐近线中一条的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，一条的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，它们所成的锐角为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可求其渐近线方程.
【详解】
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
4．（2022·北京·二模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知渐近线确定双曲线参数，进而求其离心率.
【详解】
由题设双曲线渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，而其中一条为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．（2022·北京房山·二模）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线焦点坐标公式求解即可
【详解】
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故选：C
6．（2022·山东烟台·三模）过双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的焦点且斜率不为0的直线交 SKIPIF 1 < 0 于A， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
先设出直线AB的方程，并与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，利用设而不求的方法及条件 SKIPIF 1 < 0 得到关于 SKIPIF 1 < 0 的关系，进而求得双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率
【详解】
不妨设过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点且斜率不为0的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0
故选：D
二、多选题
1．（2022·河北唐山·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】
对于A，用定义即可判断，对于B，根据焦点位置即可判断，对于C，直接计算即可，对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即可判断
【详解】
双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 点在哪支上并不确定，故A错误
对于B选项，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确
对于D选项，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 时取等号）
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确
故选：CD
三、解答题
1．（2022·河北秦皇岛·二模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的外心 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为0，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求解；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为0，得到 SKIPIF 1 < 0 判断.当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线方程联立，根据直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求得k的范围，设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为M，利用弦长公式和 SKIPIF 1 < 0 求解.
(1)
由题知 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，且 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为0，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故此时不合题意.
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率等于 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，P为双曲线右支上任意一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)-4
【解析】
【分析】
（1）直接由离心率和点代入双曲线求得 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）先表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再通过点P横坐标的范围求出最小值.
(1)
依题 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，为 SKIPIF 1 < 0 .
题型三：抛物线
一、单选题
1．（2022·湖北十堰·三模）下列四个抛物线中，开口朝左的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
直接由抛物线的标准方程判断开口方向即可.
【详解】
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的开口朝右，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的开口朝下，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的开口朝左，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的开口朝上.
故选：C.
2．（2022·广东惠州·一模）若抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上一点P（2， SKIPIF 1 < 0 ）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可解答.
【详解】
抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3．（2022·陕西渭南·二模（理））抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点P是C上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点P到y轴的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
设出 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义得到方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到答案.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即点P到y轴的距离为4
故选：C
4．（2022·江西九江·二模）已知点M为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点M向圆 SKIPIF 1 < 0 引切线，切点分别为P，Q，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
由四边形的面积可知 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】
如图，圆心 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 最小时，即点M到准线的距离最小值为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选: SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·安徽马鞍山·一模（理））已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则其准线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物准线方程定义即可求解．
【详解】
抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴，
准线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．（2022·重庆·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合抛物线定义即可得答案.
【详解】
解：如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7．（2022·天津南开·二模）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，到双曲线左顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
先得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标，然后根据题意，利用点到直线的距离和两点间的距离求解.
【详解】
解：抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该双曲线的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
8．（2022·陕西西安·三模（理））已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为其焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线的准线于点 SKIPIF 1 < 0 .且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
设点 SKIPIF 1 < 0 ，利用中点坐标公式求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可得出抛物线的方程，再将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入抛物线的方程，可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多选题
1．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，则（ ）
A．焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．过点 SKIPIF 1 < 0 恰有2条直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为8
D．抛物线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.
【详解】
由题可知抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0
对于A，焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确
对于B，过点 SKIPIF 1 < 0 有抛物线的2条切线，还有 SKIPIF 1 < 0 ，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），交点为 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确
故选：ACD
2．（2022·湖南·雅礼中学二模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 与抛物线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
根据条件求出 SKIPIF 1 < 0 ，再联立直线与抛物线求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出结论．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 错，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对，
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 错，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
三、解答题
1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点在坐标原点，焦点与圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心重合， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过焦点的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 从左向右依次交于 SKIPIF 1 < 0 四点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由圆的方程可确定焦点坐标，设抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ；过 SKIPIF 1 < 0 作抛物线准线的垂线，由抛物线定义知 SKIPIF 1 < 0 的最小值即为 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离，由此构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）结合抛物线焦半径公式可化简 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，并推导得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入整理可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得直线方程.
(1)
由圆的方程知： SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 方程可设为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线开口内部，
过 SKIPIF 1 < 0 作抛物线准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号），
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
(2)
SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 直径， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由题意知：直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解题基本思路是能够利用抛物线定义，将已知中的距离平方和转化为直线与抛物线交点坐标之间的关系，从而利用韦达定理构造方程求得变量.
2．（2022·河北秦皇岛·三模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 与焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为9，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等差数列．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由条件结合抛物线的定义列方程求 SKIPIF 1 < 0 即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明 SKIPIF 1 < 0 即可.
(1)
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等差数列．
【点睛】
解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等差数列只需证明 SKIPIF 1 < 0 即可.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
性质
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)