新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题13 平面向量的线性运算及坐标表示（含解析）

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专题13 平面向量的线性运算及坐标表示
【考纲要求】
1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
2、理解向量的几何表示，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
3、掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.
一、平面向量的概念
【思维导图】

【考点总结】
一、向量及其几何表示
1.向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度.
(2)向量可以用有向线段表示.向量的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.
二、向量的有关概念
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作a∥b
规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量a与b相等，记作a＝b












二、平面向量的线性运算
【思维导图】

【考点总结】
一、向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任一向量a，规定＝a＋0＝a.
2.向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作A＝a，B＝b，则向量A叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋B＝A

平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作A＝a，A＝b，以A，A为邻边作▱ABCD，

则对角线上的向量A＝a＋b.
二、相反向量
1.定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量.
2.性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量.
　(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图)．显然a＋(－a)＝0.

(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
三、向量的减法
1.定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
2.作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图2­2­11所示.

图2­2­11
3.几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
四、向量的数乘运算
1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ