北师大版（2024）七年级上册第五章 一元一次方程3 一元一次方程的应用课堂教学ppt课件

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1．借助立体及平面图形学会分析复杂几何问题中的等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题。2．通过探究式的方法，学生逐步学会从较复杂的生活情境中抽象出数学模型，培养发现问题的能力以及创新的意识。3．经历从生活中发现数学和应用数学知识解决实际问题的过程，培养用多种方法解决实际问题的意识，体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识。
相传叙拉古赫国的国王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但是在做好后，国王疑心工匠做的金冠并非纯金，工匠私吞了黄金，但又不能破坏王冠，而这顶金冠确又与当初交给金匠的纯金一样重。这个问题难倒了国王和诸位大臣。经一大臣建议，国王请来阿基米德来检验皇冠。最初阿基米德对这个问题无计可施。有一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，突然想到可以用测定固体在
水中排水量的办法，来确定金冠的体积。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”（ερηκα，意思是“找到了”。）他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属。
教师让学生拿出课前准备好的橡皮泥，先捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请同学们边操作边思考下列几个问题：（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化？还有哪些量改变了？（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？
1．阅读教材147页中圆柱形易拉罐外包装的改造过程，思考并完成下列问题。(1)这个问题中包含哪些量？(2)它们之间有怎样的等量关系？(3)这个问题中的等量关系是什么？
易拉罐的直径，易拉罐的高，易拉罐的容积
易拉罐的容积＝π×(易拉罐的直径÷2)2×易拉罐的高
旧包装的容积＝新包装的容积
(4)设新包装的高度为x cm，根据等量关系，可列出怎样的方程？(5)解这个方程，得x＝__________。
π×3．32×12＝π×32×x
2．阅读教材147－148页例1，思考并完成下列问题。用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形。①若该长方形的长比宽多1．4 m，求此时长方形的面积。解析：在这个过程中______________没有发生变化。若设宽为x m，则可列方程：________________________，解得x＝_______，则此时长方形的面积为__________m2。②若该长方形的长比宽多0．8 m，求此时长方形的面积。解析：若设宽为x m，则可列方程：________________________，解得x＝________，则此时长方形的面积为________m2。
2(x＋x＋1．4)＝10
2(x＋x＋0．8)＝10
③②中围成的长方形与①中围成的长方形相比，面积有什么变化？④若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是_______，围成的正方形的面积与②中相比，______________。
如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：乙容器的水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器的水深；如果水会溢出，请你说明理由。(容器厚度忽略不计)
水不会溢出。设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深为x cm，由题意，得π×102×20＝π×202×x，解得x＝5，所以甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深为5 cm。
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点：应用一元一次方程解决几何问题(重难点)
1．应用一元一次方程解决实际问题的步骤：①审——通过审题找出等量关系(关键)；②设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；③列——依据找到的等量关系，列出方程；④解——求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解)；⑤检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际；⑥答——注意单位名称。
2．解决几何问题时，可从体积(容积)，周长等不变上寻找等量关系。常用几何数学公式：长方形的周长＝2×(长＋宽)；长方形的面积＝长×宽；长方体的体积＝长×宽×高；正方形的周长＝4×边长；正方形的面积＝边长×边长；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；圆的周长＝πd＝2πr；圆的面积＝πr2；圆柱的体积＝底面积×高。
【题型一】利用一元一次方程解决体积、面积、周长问题
例2：一个梯形的面积是60 cm2，高为5 cm，它的上底比下底短2 cm，求这个梯形的上底和下底。设下底长为x cm，则下面所列方程正确的是(　 　)A．5[x＋(x－2)]＝60　B．5[x＋(x＋2)]＝60　
例3：一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为____cm。
例4：如图，在地面上钉着一个用一根彩绳围成的直角三角形。如果将直角三角形的锐角顶点处的钉子去掉(另外两颗钉子保持不动)，并再用两颗钉子，将这根彩绳钉成一个长方形，则所钉长方形的长、宽各是多少？面积是多少？
【题型二】利用一元一次方程解决等长变形问题
解：由图可得此直角三角形的周长＝6＋8＋10＝24。①当去掉顶点A处的钉子时，BC为长方形的一条边，设长方形的另一相邻边长为x，由题意得2(x＋6)＝24，解得x＝6，则该长方形的长和宽
均为6，面积为6×6＝36；②当去掉顶点B处的钉子时，AC为长方形的一条边，设长方形的另一相邻边长为y，由题意得2(y＋8)＝24，解得y＝4，则该长方形的长和宽分别为8，4，面积为8×4＝32。
例5：现有一个长、宽、高分别为20 cm，12 cm，20 cm的长方体容器和一个高为32 cm，底面积为48 cm2的圆柱形水杯，长方体容器中装有18 cm深的水。把长方体容器内的水倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度为______cm时，与倒出水后的长方体容器内水的高度一样高。
【题型三】利用一元一次方程解决等积变形问题
本节课我们学习了哪些知识？
应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，应用一元一次方程解决几何问题