2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第六节函数的图象讲义（Word附解析）

第六节　函数的图象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.利用描点法作函数图象的方法步骤(1)确定函数的定义域.(2)化简函数的解析式.(3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势).(4)描点连线,画出函数的图象.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换(3)对称变换(4)翻折变换【微点拨】函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移12个单位长度,其中是把x变成x-12.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是(　　)A.当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同B.函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同C.函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称D.函数y=lg x的图象关于x=3对称的图象对应的函数是y=lg(6-x)【解析】选ABC.2.(必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(　　)A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)【解析】选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).3. (2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(　　)A.y=-x3+3xx2+1 B.y=x3-xx2+1C.y=2xcosxx2+1 D.y=2sinxx2+1【解析】选A.设f(x)=x3-xx2+1,则f(1)=0,故排除B;设h(x)=2xcosxx2+1,当x∈(0,π2)时,00,故排除D.4.(看不懂图象导致错误)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是(0,+∞). 【解析】由题意a=|x|+x,令y=|x|+x=2x,x>0,0,x≤0,图象如图所示,故要使a=|x|+x只有一解,则a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).【巧记结论·速算】1.函数图象自身的轴对称(1)f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.2.函数图象自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x).3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.【即时练】1.下列说法正确的是(　　)A.若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同D.函数y=f(1-x)的图象可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到【解析】选A.由函数的性质知A正确,B错误;令f(x)=-x,则当x∈(0,+∞)时,f(|x|)=f(x)=-x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|f(x)|,故C错误;y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f(-x-1)的图象,故D错误.2.函数y=f(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称. 【解析】由-2-x=x+2,得x=-2,所以函数y=f(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称.【核心考点·分类突破】考点一　作函数的图象[例1]作出下列函数的图象:(1)y=(12)|x|;(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=x2-2|x|-1.【解析】(1)先作出y=(12)x的图象,保留y=(12)x图象中x≥0的部分,再作出y=(12)x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y=(12)|x|的图象,如图①实线部分.(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.(3)因为y=x2-2x-1,x≥0,x2+2x-1,x<0,且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图③.【解题技法】函数图象的常见画法(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.提醒:①画函数的图象一定要注意定义域;②利用图象变换法时要注意变换顺序.【对点训练】作出下列各函数的图象:(1)y=x-|x-1|;(2)y=|x2-4x+3|;(3)y=(12)|x+2|;(4)y=sin |x|.【解析】(1)根据绝对值的意义,可将函数解析式化为分段函数y=1,x≥1,2x-1,x<1,其图象如图①所示.(2)函数解析式可化为y=x2-4x+3,x≤1或x≥3,-x2+4x-3,10的部分关于y轴的对称部分,即得y=(12)|x|的图象,再向左平移2个单位长度,即得y=(12)|x+2|的图象,如图③所示.(4)当x≥0时,y=sin |x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin |x|为偶函数,图象关于y轴对称,故图象如图④所示.考点二　函数图象的识别[例2](1)(2022·全国甲卷)函数y=3x-3-xcos x在区间-π2,π2的图象大致为(　　)【解析】选A.令fx=3x-3-xcos x,x∈-π2,π2,则f-x=3-x-3xcos-x=-(3x-3-x)cos x=-f(x),所以fx为奇函数,排除B,D;又当x∈0,π2时,3x-3-x>0,cos x>0,所以fx>0,排除C.(2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)A.5(ex-e-x)x2+2 B.5sinxx2+1C.5(ex+e-x)x2+2 D.5cosxx2+1【解析】选D.由题干中函数图象可知,f(x)图象关于y轴对称,其为偶函数,且f(-2)=f(2)<0,由5sin(-x)(-x)2+1=-5sinxx2+1,且定义域为R,即选项B中函数为奇函数,排除B;当x>0时,5(ex-e-x)x2+2>0,5(ex+e-x)x2+2>0,即A,C中函数在(0,+∞)上函数值为正,排除A,C.(3)函数f(x)=xln x的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为(　　)【解析】选D.方法一:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由1-x>0得x<1,即函数y=f(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),设g(x)=f(1-x)=(1-x)ln(1-x),则g(-1)=2ln 2>0,排除B.方法二:将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换,得到函数y=f(-x)的图象,再将图象向右平移一个单位长度,即可得到函数y=f(-(x-1))=f(1-x)的图象.【解题技法】函数图象的识别可从以下几个方面入手(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.【对点训练】1.已知函数f(x)=x(ex-e-x)|x|-1,则f(x)的图象大致是(　　)【解析】选D.函数f(x)=x(ex-e-x)|x|-1的定义域为{x|x≠±1},f(-x)=-x(e-x-ex)|x|-1=f(x),则f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除A;当00,则f(x)<0,可排除B,C.2.如图可能是下列哪个函数的图象(　　)A.y=2x-x2-1 B.y=2xsinx4x+1C.y=(x2-2x)ex D.y=xlnx【解析】选C.函数的定义域为R,排除D;当x<0时,y>0,A中,x=-1时,y=2-1-1-1=-32<0,排除A;B中,当sin x=0时,y=0,所以y=2xsinx4x+1有无数个零点,排除B.3.已知函数y=f(x)的图象如图1,则图2对应的函数有可能是(　　)A.y=xf(x) B.y=f(x2)C.y=x2f(x) D.y=xf(x2)【解析】选A.对于B,y=f(x2)为偶函数,与图象不符,故排除B;对于C,当x<0时,x2>0,f(x)<0,所以x2f(x)<0,与图象不符,故排除C;对于D,当x<0时,x2>0,f(x2)>0,所以xf(x2)<0,与图象不符,故排除D.考点三　函数图象的应用【考情提示】高考对函数图象的考查比较灵活,涉及知识点较多,且每年均有创新,试题考查角度有两个方面,一是函数解析式与函数图象的对应关系;二是利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解等,综合性较强.角度1 研究函数的性质[例3](多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(12)1-x,则下列结论正确的是(　　)A.2是函数f(x)的周期B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0D.当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x-3【解析】选ABD.由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,A正确;当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=(12)1+x,画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.由图象知B正确,C不正确;当32f(x)的解集为(　　)A.(-2,0)∪(2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2)D.(-2,-2)∪(0,2)∪(2,+∞)【解析】选C.根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象,如图所示,由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,则x2-2>0,f(x)>0或x2-2<0,f(x)<0,解得x<-2或2