2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第二节两条直线的位置关系讲义（Word附解析）

第二节　两条直线的位置关系【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.两条直线的位置关系(1)位置关系(2)交点坐标若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交,则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.2.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).②结论:|P1P2|=. ③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=x2+y2.(2)点到直线的距离点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.【微点拨】点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.若两条直线斜率相等,则两直线平行B.若l1∥l2,则k1=k2C.若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交D.若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合【解析】选CD.A.两直线有可能重合,故A错误;B.可能出现两直线斜率不存在的情况,故B错误;C.若两直线中有一条直线的斜率不存在则直线垂直于x轴,另一条直线的斜率存在,则直线不与x轴垂直,所以两直线相交,故C正确.D.两直线斜率都不存在,可能重合,可能平行,故D正确.2.(选择性必修第一册P57例5变形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是 (　　)A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形【解析】选D.直线AB的斜率kAB=1-(-1)1-5=-12,直线BC的斜率kBC=3-12-1=2,由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.3.(选择性必修第一册P57练习T2变条件)若直线3x-2y-1=0与3x-ay+6=0平行,则a= (　　)A.-2　 B.-1　 C.12　 D.2【解析】选D.由题意32=3a,则a=2.经检验两条直线不重合.4.(忽视直线斜率不存在的情形致误)(多选题)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3),D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为 (　　)A.-1　 B.0　 C.1　 D.2【解析】选BD.当AB与CD的斜率均不存在时,m=2m,m+1=1,故得m=0,此时AB∥CD;当kAB=kCD,即m≠0时,m+1m=3m,解得m=2,此时AB∥CD.5.(误用两平行线间的距离公式致误)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为 (　　)A.8　 B.4　 C.85　 D.32【解析】选D.因为l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=|-14-1|62+82=32.【巧记结论·速算】1.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.2.点关于特殊的直线的对称问题的结论:【即时练】1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 (　　)A.x-2y-1=0　 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 　 D.x+2y-1=0【解析】选A.因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以设直线方程为x-2y+c=0,又直线经过点(1,0),得出c=-1,故所求直线方程为x-2y-1=0.2.设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是 (　　)A.y=3x+5　 B.y=2x+3C.y=2x+5　 D.y=-x2+52【解析】选C.A关于直线x=0的对称点是A'(-3,-1),关于直线y=x的对称点是A″(-1,3),由角平分线的性质可知,点A',A″均在直线BC上,所以直线BC的方程为y=2x+5. 【核心考点·分类突破】考点一　两条直线的平行与垂直[例1](一题多法)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断a为何值时,l1与l2平行;【解析】(1)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),l1∥l2⇔-a2=11-a,-3≠-(a+1),解得a=-1,综上可知,当a=-1时,l1∥l2.方法二:显然a≠0,l1∥l2,则1a=a-12≠a2-16⇔a(a-1)-1×2=0,a(a2-1)-1×6≠0⇒a2-a-2=0,a(a2-1)≠6,可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2.[例1](一题多法)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (2)当l1⊥l2时,求a的值.【解析】(2)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;当a≠1且a≠0时,l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),由(-a2)·11-a=-1,得a=23.方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23.【解题技法】1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.提醒:当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.2.由一般式确定两直线位置关系的方法提醒:在判断两直线的位置关系时,比例式A1A2与B1B2,C1C2的关系容易记住,在解答选择题、填空题时,建议多用比例式来解答.【对点训练】1.(2024·合肥模拟)直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,则a= (　　)A.0　 B.1　 C.-1　 D.1或-1【解析】选B.因为直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,所以a=1或a=-1.当a=-1时,直线l1:x-y-1=0与直线l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.2.(2024·贵阳模拟)已知直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则m的值为 (　　)A.12　 B.13　 C.2 　 D.3【解析】选A.因为直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则2m-1=0,解得m=12.【加练备选】　　若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为12. 【解析】由两直线垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22ab,ab≤12,当且仅当a=1,b=12时,等号成立,故ab的最大值为12.考点二　距离问题[例2](1)已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是 (　　)A.4　 B.1020　 C.104　 D.71020【解析】选D.由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,则所求距离是|12+3|32+12=71020.(2)过点A(-1,2),到原点的距离等于1的直线方程为3x+4y-5=0或x=-1.  【解析】当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意可得|k+2|1+k2=1,解得k=-34,因此所求直线的方程为3x+4y-5=0.当直线的斜率不存在时,直线x=-1满足题意.综上,所求直线的方程为3x+4y-5=0或x=-1.一题多变[变式1]将例(1)变为:求到两平行直线3x+y-3=0和6x+my-1=0距离相等的直线的方程.【解析】由题意得63=m1≠-1-3,解得m=2,将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,则所求直线方程可以设为6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),由|t+1|62+22=|t+6|62+22,解得t=-72,因此所求直线的方程为6x+2y-72=0.[变式2]将例(1)变为:已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上运动,求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.【解析】(x1-x2)2+(y1-y2)2的几何意义是点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间距离的平方,由题意知,两直线3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,因此该距离的最小值即两条平行直线间的距离,|-1+6|62+22=540=104.可知(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为58.【解题技法】距离问题的求解策略(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解,注意直线方程应为一般式.(2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.②利用两平行线间的距离公式求解,利用公式前需把两平行线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.【对点训练】1.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,则实数a的值为 (　　)A.-1 B.85 C.-1或85 　D.1或-85【解析】选C.因为点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,可得AB=(a-3)2+(3-3a-3)2=(a-3)2+(-3a)2=5,整理得10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-1或a=85.2.(2024·北京模拟)设d为动点P(cos θ,sin θ)到直线x-y-2=0的距离,则d的最大值为 (　　)A.2-1　 B.322　 C.1+2　 D.3【解析】选C.点P(cos θ,sin θ)到直线x-y-2=0的距离d=|cosθ-sinθ-2|12+(-1)2=|2cos(θ+π4)-2|2,因为-1≤cos(θ+π4)≤1,则-2-2≤2cos(θ+π4)-2≤2-2,所以当cos(θ+π4)=-1时,dmax=-2-22=1+2.3.(2024·青岛模拟)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值为 (　　)A.32　 B.2　 C.2　 D.4【解析】选A.由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为x+y+c=0,则c+72=c+52,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即-62=32.【加练备选】　　 (2024·遂宁模拟)抛物线y=x2上的点P到直线x-y-2=0距离的最小值为 (　　)A.328　 B.528　 C.728　 D.2【解析】选C.设抛物线y=x2上一点为P(x0,x02),点P(x0,x02)到直线x-y-2=0的距离d=|x0-x02-2|2=12(x0-12)2+74,所以当x0=12,即P(12,14)时,到直线x-y-2=0的距离最短,为728.考点三　对称问题【考情提示】对称问题常常涉及中点坐标、两条直线的垂直关系及直线方程的求解等问题,其中掌握中心对称及轴对称满足的几何条件是解决此类问题的关键.角度1 中心对称问题[例3]直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是x-2y+11=0. 【解析】设所求直线上任一点(x,y),则关于M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上,所以所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.【解题技法】中心对称问题的解法(1)若点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P'(x',y'),则x'=2a-x,y'=2b-y.(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.角度2 轴对称问题[例4](1)已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,则点A关于直线l的对称点A'的坐标为(2,6). 【解析】(1)设点A'的坐标为(x,y).由题意可知y-4x+4=13,3×x-42+y+42-2=0,解得x=2,y=6,所以点A'的坐标为(2,6).(2)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是x-2y+3=0. 【解析】(2)设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),由x+x02-y+y02+2=0,x-x0=-(y-y0),得x0=y-2,y0=x+2.因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.【解题技法】轴对称问题的解法(1)若点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为A'(m,n),则有n-bm-a×(-AB)=-1,A·a+m2+B·b+n2+C=0.(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.【对点训练】1.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是 (　　)A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0【解析】选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.2.(多选题)(2024·徐州模拟)光线自点(4,2)射入,经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3,0),则反射光线经过的点为 (　　)A. (14,98)　 B.(9,-15)C.(-3,15)　 D.(13,2)【解析】选BC.由题意知,k=tan 45°=1,设点(4,2)关于直线y=x+1的对称点为(m,n),则n-2m-4=-1n+22=m+42+1,解得m=1n=5,所以反射光线所在的直线方程为y=0-53-1(x-3)=-52(x-3),所以当x=9时,y=-15;当x=-3时,y=15.【课程标准】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【考情分析】考点考法:两条直线的位置关系在高考中一般不单独成题,点到直线的距离公式时常与圆相结合出现在选择题或填空题中.核心素养:数学运算、直观想象、逻辑推理项目斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2,且b1≠b2A1B2-A2B1=0,B1C2-B2C1≠0或A1B2-A2B1=0,A1C2-A2C1≠0重合k1=k2,且b1=b2A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0类型辨析改编易错题号12,34,5点的坐标对称直线对称点的坐标点P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)l1与l2平行的充要条件A1B2=A2B1A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2相交的充要条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充要条件A1A2=B1B2=C1C2