2025届高考数学一轮复习教师用书第一章第二节充要条件与量词讲义（Word附解析）

第二节　充要条件与量词【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念【微点拨】p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件.2.全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定【微点拨】1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题C.已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=BD.命题“∃x∈R,sin2x2+cos2x2=12”是真命题【解析】选ABC.A选项,充分条件与必要条件是相对而言的,正确;B选项,任意三角形的内角和为180°,正确;C选项,由集合的运算知,正确;D选项,由同角基本关系式易知,对任意实数x,sin2x2+cos2x2=1,错误.2.(必修第一册P18例1变条件)已知a∈R,则“a>1”是“a2>1”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的性质,当a>1时,一定有a2>1;当a2>1时,有a>1或a<-1,不能得到a>1.则“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件.3.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.a2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b;a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b;故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立.“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立.故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.4.(不能正确运用充要关系建立不等关系致误)若x2-x-2<0是-21”是“x≥0”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x>1,则x≥0必成立,充分性成立;而x≥0,x>1不一定成立,必要性不成立;所以“x>1”是“x≥0”的充分不必要条件.(2)“a=b”是“|a|=|b|”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a=b成立,由向量相等得到两向量的长度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,两个向量的方向不同,则推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.(3)(2024·潍坊模拟)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列命题中:①r是q的充要条件;②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④r是s的充分不必要条件.正确命题的序号是 (　　)A.①④ B.①②C.②③ D.②④【解析】选B.由p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,可得p⇒r,r推不出p,q⇒r,r⇒s,s⇒q,所以r⇔q,故r是q的充要条件,①正确;p⇒q,q推不出p,故p是q的充分不必要条件,②正确;r⇔q,故r是q的充要条件,③错误;r⇔s,故r是s的充要条件,④错误.(4)(2024·南京模拟)已知p:关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根,q:ac<-1,则p是q的________条件. 【解析】若关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根,则a≠0Δ=b2-4ac>0ca<0,得ac<0,推不出ac<-1;若ac<-1,则可以推出ac<0,则a≠0,ca<0,Δ=b2-4ac>0,则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根,所以p是q的必要不充分条件.答案:必要不充分【解题技法】判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法:①弄清条件p和结论q分别是什么;②尝试p⇒q,q⇒p;③根据定义进行判断.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断.提醒:定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题.【对点训练】1.设集合A={x|x-2>0},B={x|x<0},C={x|x2-2x>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为A={x|x-2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},因为C={x|x2-2x>0}={x|x>2或x<0},所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.2.(2024·哈尔滨模拟)“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sin θ=22”成立的 (　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若θ=π4+2kπ(k∈Z),则sin θ=sin(π4+2kπ)=sin π4=22,k∈Z;若sin θ=22,不一定有θ=π4+2kπ(k∈Z),例如θ=3π4+2kπ(k∈Z),则sin θ=sin(3π4+2kπ)=sin 3π4=22,k∈Z;综上所述:“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sin θ=22”成立的充分不必要条件.3.(2024·北京模拟)在人类中,双眼皮由显性基因A控制,单眼皮由隐性基因a控制.当一个人的基因型为AA或Aa时,这个人就是双眼皮,当一个人的基因型为aa时,这个人就是单眼皮.随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信息,则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的 (　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若父母均为单眼皮, 则父母的基因一定为aa和aa, 孩子就一定是单眼皮. 若孩子为单眼皮, 则父母的基因可能是Aa和Aa,即父母均为双眼皮, 故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件.【加练备选】1.(2024·温州模拟)已知a,b∈R,则“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a,b∈R,|a|>1,|b|>1,得a2>1,b2>1,于是a2+b2>2,由a,b∈R,取a=1,b=2,满足a2+b2>2,显然“|a|>1,|b|>1”不成立,所以“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的充分不必要条件.2.已知{an}是公差为3的等差数列,其前n项的和为Sn,设甲:{an}的首项为零;乙:S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,则 (　　)A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】选C.由{an}是公差为3的等差数列,可知S1+3=a1+3,S2+3=2a1+6,S3+3=3a1+12.　若S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,则(2a1+6)2=(a1+3)(3a1+12),解得a1=0或a1=-3(舍去,因为此时S1+3=S2+3=0),故S2+3是S1+3和S3+3的等比中项能推出{an}的首项为零,若{an}的首项为零,即a1=0,由{an}是公差为3的等差数列,则an=3(n-1)=3n-3,Sn=n(3n-3)2,所以S2+3=6,S1+3=3,S3+3=12,所以(S2+3)2=(S1+3)(S3+3),故{an}的首项为零可推出S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,可得甲是乙的充要条件.考点二　充分、必要条件的探究与应用[例2](1)(2024·商洛模拟)“不等式x2+2x-m≥0在x∈R上恒成立”的一个充分不必要条件是 (　　)A.m<-1 B.m>4C.24不可推导出m≤-1,故B不正确;C选项中,210或1-m<-2,1+m≥10.所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).答案:[9,+∞)【解题技法】1.充分、必要条件的探求2.利用充分、必要条件求参数的两个关注点(1)转化:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)检验:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.【对点训练】1.(2024·乌鲁木齐模拟)一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是 (　　)A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,-1)【解析】选C.由题意,记方程ax2+5x+4=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,因为一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,所以x1x2=4a<0Δ=25-16a>0,解得a<0,根据选项可得到a<2是a<0的必要不充分条件.2.若关于x的不等式|x-1|2.因为p是q的充分不必要条件,所以x≥k⇒x<-1或x>2,即[k,+∞)是(-∞,-1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.2.(多选题)(2024·东莞模拟)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是 (　　)A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m<0B.方程有两个正根的充要条件是01D.当m=3时,方程的两个实数根之和为0【解析】选AB.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0中Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9,两根和为3-m、两根积为m.若方程有一个正根和一个负根,则m2-10m+9>0m<0,解得m<0,故A对;若方程有两个正根,则m2-10m+9≥03-m>0m>0,解得00或x=2D.∀x∈R,1x-2>0或x=2【解析】选C.全称量词命题的否定为存在量词命题,排除BD选项,其中1x-2<0可解得x<2,x<2的否定应是x≥2,A选项中,1x-2≥0可解得x>2,故A选项错误,C选项正确.角度2 含量词命题真假的判断[例4](多选题)(2024·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是 (　　)A.∃x∈R,12x≤1B.对于∀x∈R,n∈N*且n>1,都有nxn=xC.∀x∈R,ln(x-1)2≥0D.∃x∈R,ln x≥x-1【解析】选AD.当x≥0时,0<12x≤1,故A选项是真命题;当n为偶数,且x<0时,nxn=-x,故B选项是假命题;当x=1时,ln(x-1)2无意义,故C选项是假命题;当x=1时,ln x≥x-1,故D选项是真命题.角度3 含量词命题的应用[例5]金榜原创·易错对对碰①若命题“对∀x∈R,ax2-ax-1<0”是真命题,则a的取值范围是__________. ②若命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是__________. 【解析】①“对∀x∈R,ax2-ax-1<0”是真命题,当a=0时,则有-1<0;当a≠0时,则有a<0且Δ=(-a)2-4×a×(-1)=a2+4a<0,解得-4x2C.∃x∈R,13x>log2xD.∀x∈[0,π2],sin xx2”的否定为“∀x∈R,2x≤x2”,当x=0时,20=1>02=0,则命题“∀x∈R,2x≤x2”是假命题,故B错误;对于C,命题“∃x∈R,13x>log2x”的否定为“∀x∈R,13x≤log2x”,当x=12时,log212=-1<0<1312,则命题“∀x∈R,13x≤log2x”为假命题,故C错误;对于D,命题“∀x∈[0,π2],sin x0”为假命题,则实数a的取值范围是__________________. 【解析】“∃x∈[-1,2],x-a>0”是假命题,则它的否定命题:“∀x∈[-1,2],x-a≤0”是真命题;所以x∈[-1,2],a≥x恒成立,所以a≥2,即实数a的取值范围是[2,+∞).答案:[2,+∞)【加练备选】(2024·滨州模拟)命题“∃x∈(1,2),2x2-3≥0”的否定是 (　　)A.∀x∉(1,2),2x2-3≥0B.∃x∉(1,2),2x2-3≥0C.∀x∈(1,2),2x2-3<0D.∃x∈(1,2),2x2-3<0【解析】选C.命题“∃x∈(1,2),2x2-3≥0”的否定是“∀x∈(1,2),2x2-3<0”.课程标准1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.考情分析考点考法:充分必要条件的判断与量词是考查的重点,通常与数列、平面向量、函数、不等式知识相结合.多以选择题、填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且q p量词命题量词命题的否定结论∃x∈M,p(x)∀x∈M, ¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题∀x∈M,p(x)∃x∈M, ¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题类型辨析改编易错高考题号1243类型含义探求p成立的充分不必要条件探求的条件⇒p;p探求的条件探求p成立的必要不充分条件探求的条件p;p⇒探求的条件探求p成立的充要条件探求的条件⇒p;p⇒探求的条件