2025届高考数学一轮复习教师用书第六章第四节平面向量的应用讲义（Word附解析）

第四节　平面向量的应用【核心考点·分类突破】考点一　平面向量与几何问题的综合[例1](1)(2023·漳州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点,AB+2PB+2PC=0,AB=4,PB=PC=3,则△ABC的面积等于 (　　)A.43　 B.83　 C.42　 D.82【解析】选D.因为PB=PC=3,所以P位于线段BC的垂直平分线上,设线段BC的中点为D,由AB+2PB+2PC=0得,AB=-2(PB+PC)=-4PD=4DP,所以AB⊥BC,DP=1,如图所示,所以BC=2BD=232-12=42,所以S△ABC=12BC·AB=12×42×4=82.(2)如图所示,已知在正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC的中点,AF与DE交于点M.①设AB=a,AD=b,用a,b表示AF,DE;②猜想AF与DE的位置关系,并用向量法证明你的猜想.【解析】①AF=AB+BF=AB+12BC=AB+12AD=a+12b,DE=AE-AD=12AB-AD=12a-b;②AF⊥DE,证明如下:由①知AF=a+12b,DE=12a-b,所以AF·DE=(a+12b)·(12a-b)=12a2-12b2-34a·b,设a=b=t,则AF·DE=12a2-12b2-34a·b=12t2-12t2-34×0=0,所以AF⊥DE,所以AF⊥DE,得证.【解题技法】平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.【对点训练】1.P为△ABC内一点,满足PA+PB+2PC=0,则△PAB和△ABC的面积比为________. 【解析】如图,取AB的中点D,连接PA,PB,PC,PD,则PA+PB=2PD,又由题意PA+PB+2PC=0,所以2PD+2PC=0,故C,D,P三点共线,且满足CP=12CD,所以P为CD的中点,从而S△PAB∶S△ABC=1∶2.答案:1∶22.(一题多法)(2023·东莞模拟)如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC边的中点,CE⊥AB,AD与CE交于点F.(1)求CE和AD的长度;(2)求cos∠CFD.【解析】(1)因为CE是高,所以∠AEC=π2,在Rt△AEC中,AC=2,∠EAC=π3,所以CE=ACsin∠EAC=2sin π3=3.因为AD是中线,所以AD=12(AB+AC),所以AD2=[12(AB+AC)]2=14(AB2+2AB·AC+AC2)=14(32+2×3×2cos π3+22)=194,所以AD=192.(2)方法一:因为AE=AC·cos π3=1=13AB,所以AE=13AB,所以EC=AC-AE=AC-13AB,所以AD·EC=12(AB+AC)·(AC-13AB)=12(AC2+23AB·AC-13AB2)=12(22+23×3×2cos π3-13×32)=32,所以cos∠CFD=cos=AD·ECADEC=32192×3=5719.方法二:过D作DG∥CE交BE于G,因为D是BC的中点,所以G是BE的中点,所以AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位线,DG是△BCE的中位线,所以EF=12GD=14CE=34,AF=12AD=194,cos∠CFD=cos∠AFE=EFAF=34194=5719.考点二　平面向量在物理中的应用[例2](1)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知F1=1 N,F3=2 N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为 (　　)A.1 N　 B.3 N　 C.7 N　 D.3 N【解析】选C.根据三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,两边同时平方得F12+2F1·F3+F32=F22,即F12+2F1F3cos 60°+F32=F22,即12+2×1×2×12+22=7=F22,解得F2=7 N.(2)(2023·温州模拟)物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·s(其中W是功,F是力,s是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于(　　)A.25　 B.5　 C.-5　 D.-25【解析】选A.因为F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以AB=(1,4),故W=(F1+F2)·AB=-3+7×4=25.【解题技法】平面向量对物理背景问题主要研究下面三类1.求几个力的合力,可以用几何法通过解三角形求解,也可以用向量法求解.2.如果一个物体在力F的作用下产生位移为s,那么力F所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量,所以力所做的功就是力与位移的数量积.3.速度向量速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.【对点训练】1.在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且F1=F2,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论:①θ越大越费力,θ越小越省力;②θ的范围为[0,π];③当θ=π2时,F1=G;④当θ=2π3时,F1=G.其中正确结论的序号是 (　　)A.①③　 B.①④C.②③　 D.②④【解析】选B.对于②,当θ=π时,F1+F2=0,故无法提动行李包,故②错误;对于①,根据题意,得G=F1+F2,所以G2=F12+F22+2F1F2cos θ=2F12(1+cos θ),解得F12=G22(1+cosθ),因为θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以θ越大越费力,θ越小越省力,故①正确;对于③,因为F12=G22(1+cosθ),所以当θ=π2时,F12=G22,所以F1=22G,故③错误;对于④,因为F12=G22(1+cosθ),所以当θ=2π3时,F12=G2,所以F1=G,故④正确.2.某河流南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为v1=8 km/h,水流速度的大小为v2=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处时,cos θ=(　　)A.32　 B.-32　 C.12　 D.-12【解析】选D.设游船的实际速度为v,则v=v1+v2,北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处,则v⊥v2,所以v·v2=0,即(v1+v2)·v2=v1v2cos θ+v22=32cos θ+16=0,解得cos θ=-12.考点三　平面向量与三角函数的综合[例3](1)(2023·芜湖模拟)向量a=(2cos x,2sin x),b=(cos x,3cos x),x∈R,若存在整数m使得方程m=a·b在[0,π2]上有两个不同的实数根,则m= (　　)A.0　 B.1　 C.2　 D.3【解析】选C.a·b=2cos2x+3sin 2x=cos 2x+3sin 2x+1=2sin(2x+π6)+1.若m=a·b在[0,π2]上有两个不同的实数根,则sin(2x+π6)=m-12有两个不同的实数根,0≤x≤π2,π6≤2x+π6≤7π6,有sin π6=12,sin 7π6=-12.令t=2x+π6,如图,画出函数y=sin t的图象,要使得sin(2x+π6)=m-12有两个不同的实数根,12≤m-12<1,于是2≤m<3,m为整数,所以m=2.(2)(2023·天水模拟)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),a-b=255.①求cos(α+β)的值;②若0<α<π2,-π2<β<0,且sin β=-513,求sin α的值.【解析】①根据题意可知a=cos2α+sin2α=1,b=cos2β+sin2β=1,且a·b=cos αcos β-sin αsin β;由a-b=255可得a2-2a·b+b2=45,即2-2(cos αcos β-sin αsin β)=45,可得cos(α+β)=35.②由-π2<β<0,且sin β=-513,可得cos β=1213,又cos β=1213>32=cos(-π6),所以-π6<β<0,因此-π6<α+β<π2,由①得cos(α+β)=35,所以0<α+β<π2,因此sin(α+β)=45,所以sin α=sin(α+β)-β=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=45×1213-35×(-513) =6365.【解题技法】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系,避免出现将内角等同于向量夹角的错误.【对点训练】已知向量m=(cos x,-1),n=(3sin x,-12),设函数f(x)=(m+n)·m.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1,c=3,且f(A)恰是函数f(x)在[0,π2]上的最大值,求三角形ABC的面积.【解析】(1)由题意可得,f(x)=(m+n)·m=m2+m·n=cos2x+1+3sin xcos x+12=1+cos2x2+1+32sin 2x+12=12cos 2x+32sin 2x+2=sin(2x+π6)+2,所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π;由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z.(2)由(1)知f(x)=sin(2x+π6)+2,又f(A)恰是函数f(x)在[0,π2]上的最大值,A为锐角,可得A=π6,由余弦定理可得12=b2+3-2b×3×32,解得b=1或b=2,当b=1时,三角形ABC的面积S=12bcsin A=34,当b=2时,三角形ABC的面积S=12bcsin A=32.考点四　和向量有关的最值、范围问题【考情提示】平面向量主要解决与平面向量基本定理有关的最值、范围问题,数量积的最值、范围问题,模的最值、范围问题.高考题中选择题、填空题、解答题都有考查.角度1 与平面向量基本定理有关的最值、范围问题[例4](1)已知△ABC内一点O是其外心,sin A=223(00,n>0,所以1m+1n=(1m+1n)(m3+2n3)=13(3+mn+2nm)≥13(3+2mn·2nm)=3+223,当且仅当mn=2nm,即n=6-322,m=32-3时取等号,所以1m+1n的最小值为3+223.答案:3+223角度2 与数量积有关的最值、范围问题[例5](1)(2022·北京高考)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是 (　　)A.[-5,3]　 B.[-3,5]C.[-6,4]　 D.[-4,6]【解析】选D.在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以C为坐标原点,CA,CB所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图:则A(3,0),B(0,4),C(0,0),设P(x,y),因为PC=1,所以x2+y2=1,又PA=(3-x,-y),PB=(-x,4-y),所以PA·PB=-x(3-x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+1.设x=cos θ,y=sin θ,所以PA·PB=-(3cos θ+4sin θ)+1=-5sin(θ+φ)+1,其中tan φ=34,当sin(θ+φ)=1时,PA·PB有最小值,为-4,当sin(θ+φ)=-1时,PA·PB有最大值,为6,所以PA·PB∈[-4,6].(2)(2023·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(3,2),P(1,2),点M是直线OP上的一个动点.①若M为OP的中点,求|MA+MB|的值;②求MA·MB的最小值.【解析】①因为M为OP的中点,所以M(12,1),因为A(1,1),B(3,2),MA=(12,0),MB=(52,1),所以MB+MA=(3,1),所以MB+MA=32+12=10;②由题意可得OP=(1,2),因为点M是直线OP上的一个动点,所以OM=λOP,λ∈R,所以M(λ,2λ),MA=(1-λ,1-2λ),MB=(3-λ,2-2λ),MA·MB=(1-λ,1-2λ)·(3-λ,2-2λ)=(1-λ)×(3-λ)+(1-2λ)×(2-2λ)=3-4λ+λ2+2-6λ+4λ2=5λ2-10λ+5,λ=--102×5=1,所以当λ=1时,MA·MB取得最小值0.角度3 与模有关的最值、范围问题[例6](2023·开封模拟)已知e1,e2为单位向量,e1-e2=3,非零向量a满足a-2e2=1,则e1-a的最小值为 (　　)A.7　 B.7-1　 C.3　 D.3-1【解析】选B.由e1-e2=3得(e1-e2)2=3,即e12+e22-2e1·e2=3,则1+1-2×1×1×cos=3,所以cos=-12.因为∈0,π,所以=2π3.设e1=OA,e2=OB,2e2=OD,a=OC,如图,则a-2e2=OC-OD=DC=1,故点C在以点D为圆心,半径为1的圆上运动,所以e1-a=CA≥AD-CD=AD-1,当A,D,C三点共线时取等号,在△AOD中,∠AOD=2π3,OA=1,OD=2,则AD=12+22-2×1×2×cos 2π3=7,所以e1-a的最小值为7-1.【解题技法】和向量有关的最值、范围问题的解题策略1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.2.解题思路通常有两种:一是“形化”,即利用平面向量的几何意义,先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题,然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.【对点训练】1.(2023·漳州模拟)已知平面向量a,b,其中a=2,a,b的夹角是π3,若t为任意实数,则a+tb的最小值为 (　　)A.1　 B.2　 C.3　 D.2【解析】选C.依题意,作OA=a,OB=b,使∠AOB=π3,如图,显然对∀t∈R,tb的终点的轨迹是线段OB确定的直线l,于是|a+tb|=|a-(-tb)|为点A与直线l上的点的距离,过A作线段AD⊥l于D,所以|a+tb|min=AD=|OA|sin π3=3.2.如图,点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点,OA·OB=-12,若OC=xOA+yOB,则x+52y的最大值为 (　　)A.11　 B.13　 C.15　 D.4【解析】选B.因为OA=OB=1,所以OA·OB=OAOBcos∠AOB=cos∠AOB=-12,所以∠AOB=2π3.以O为坐标原点,可建立如图所示平面直角坐标系,则A(1,0),B(-12,32).设C(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π3],由OC=xOA+yOB得,cosθ=x-12ysinθ=32y,所以x=cosθ+33sinθy=233sinθ,所以x+52y=cos θ+33sin θ+533sin θ=23sin θ+cos θ=13sin(θ+φ),其中tan φ=36,φ∈(0,π2).因为θ∈[0,2π3],φ∈(0,π2),所以当θ+φ=π2时,(x+52y)max=13.3.(2023·扬州模拟)在△ABC中,AB=4,B=π3,A∈[π6,π2),则AB·AC的取值范围是__________. 【解析】设∠B的对边为b,根据正弦定理得4sinC=bsin π3,即4sin[π-(A+π3)]=bsin π3,所以b=23sin(A+π3)=2312sinA+32cosA,AB·AC=|AB||AC|cos A=4bcos A=83cosA12sinA+32cosA=8312tanA+32.因为A∈[π6,π2),所以tan A∈[33,+∞),所以12tan A+32∈[233,+∞),所以0