2025届高考数学一轮复习教师用书第七章第四节求通项公式讲义（Word附解析）

第四节　求通项公式【核心考点·分类突破】考点一　累加、累乘法求通项公式[例1](1)数列{an}满足:a1=1,且对任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,则1a1+1a2+1a3+…+1a2 025=(　　)A.2 0242 025　　 B.2 0252 026　　 C.4 0482 025　　 D.4 0502 026【解析】选D.因为a1=1,且对任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,所以an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,用累加法可得an=a1+(n-1)(n+2)2=n(n+1)2,所以1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1),所以1a1+1a2+1a3+…+1a2 025=2(1-12+12-13+…+12 025-12 026)=4 0502 026.(2)已知数列{an}满足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),则a3=________,an=________. 【解析】由an=n(an+1-an),可得an+1an=n+1n,则an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a2a1·a1=nn-1×n-1n-2×n-2n-3×…×21×1=n(n≥2),所以a3=3.因为a1=1满足an=n,所以an=n.答案:3　n【解题技法】1.已知a1,形如an-an-1=f(n)(n≥2)的递推公式可以用累加求和的方法求通项公式,进而解决相关的问题.2.已知a1,形如anan-1=f(n)(n≥2)的递推公式可以用累乘求积的方法求通项公式.【对点训练】1.若数列{an}满足:a1=1,an+1=an+2n,则数列{an}的通项公式为an=________. 【解析】由题意,知an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.答案:2n-12.在数列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,则数列{an}的通项公式为an=________. 【解析】由递推关系得an+1an=n+2n,又a1=4,所以an=anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2a1·a1=n+1n-1×nn-2×n-1n-3×…×42×31×4=(n+1)×n2×1×4=2n(n+1)(n∈N*).答案:2n(n+1)考点二　整式构造法求通项公式【考情提示】构造法是求通项公式的重要方法,因其重点考查数学抽象、数学建模成为高考命题的热点.角度1 形如an+1=pan+q(p,q为常数)求通项[例2]已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则an=________. 【解析】因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以an+1+1an+1=3,所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以该数列的通项公式为an=2·3n-1-1.答案:2·3n-1-1【解题技法】　递推关系形如an+1=pan+q,可构造an+1-q1-p=p(an-q1-p),即an-q1-p为等比数列,从而求出通项an.角度2 形如an+1=pan+An+B(p,A,B为常数)求通项[例3]已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,求数列{an}的通项公式.【解析】设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化简后得an+1=2an+xn+y-x,对比原式解方程组得x=-1,y=0,即an+1-(n+1)=2(an-n),所以an+1-(n+1)an-n=2,即数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列,则an-n=2·2n-1=2n,所以an=2n+n.【解题技法】　递推关系形如an+1=pan+An+B,构造an+xn+y成等比数列,通过待定系数法可求得x,y,同理an+1=pan+f(n)中,f(n)为二次函数、三次函数,都可类似进行构造.角度3 形如an+1=pan+r·tn(p,r,t为常数)求通项[例4]已知数列an满足an+1=2an+3×5n,a1=2,求数列{an}的通项公式.【解析】方法一:将递推公式的两边同时除以5n+1,得an+15n+1=25×an5n+35,利用an+1=pan+q型问题,变形得an+15n+1-1=25(an5n-1),由于a151-1=-35≠0,所以数列an5n-1是以-35为首项,25为公比的等比数列.即an5n-1=-3525n-1,故数列an的通项公式为an=5n-3×2n-1.方法二:设an+1+A×5n+1=2(an+A×5n),展开整理得an+1=2an-3A×5n,对比原式an+1=2an+3×5n,可得A=-1,即an+1-5n+1=2(an-5n),由于a1-51=-3≠0,所以数列an-5n是以-3为首项,2为公比的等比数列.即an-5n=-3×2n-1,故数列an的通项公式为an=5n-3×2n-1.【解题技法】递推关系形如an+1=pan+r×tn,(t≠1,rt≠0, p≠t),满足此递推关系的数列的通项公式的求法:方法一:在递推关系式的两边同时除以tn+1,可得an+1tn+1=pt×antn+rt,视antn为一个整体,则转化后利用an+1=pan+q型问题求解.方法二:可构造an+Atn为等比数列模型,即an+1+A×tn+1=p(an+A×tn),展开整理后,利用待定系数法求出A的值(A=rp-t),然后求出an+Atn的通项公式,最后求出{an}的通项公式.角度4 形如an+1=Aan+Ban-1(A,B为常数)求通项[例5]已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1+3an.bn=an+an+1.求数列{bn}的通项公式.【解析】由an+2=2an+1+3an可得an+2+an+1=3an+1+3an=3(an+1+an),因为各项都为正数,所以an+2+an+1an+1+an=3,所以数列{an+an+1}是公比为3的等比数列.又因为a1+a2=1+2=3,所以an+an+1=3n,所以bn=3n.【解题技法】递推关系形如an+2=A·an+1+Ban,可构造an+1+xan成等比数列,转化变形后求解.【对点训练】1.在数列{an}中,a1=a(a≠1),an+1=2an-1,若数列{an}为递增数列,则a的取值范围为(　　)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(2,+∞) D.(3,+∞)【解析】选B.因为an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),所以an+1-1an-1=2,又因为a1-1=a-1≠0,所以数列{an-1}是首项为a-1,公比为2的等比数列,所以an-1=(a-1)2n-1,所以an=(a-1)2n-1+1,又因为数列{an}为递增数列,所以an+1-an=(a-1)2n-(a-1)2n-1=12(a-1)2n>0,所以a-1>0,所以a>1.2.在数列{an}中,a1=1,an+1=13an+(13)n+1(n∈N*),则an=________,1243是这个数列的第________项. 【解析】由题意得an=13an-1+(13)n(n≥2),所以3nan=3n-1an-1+1(n≥2),即3nan-3n-1·an-1=1(n≥2).又a1=1,所以31·a1=3,所以数列{3nan}是以3为首项,1为公差的等差数列,所以3nan=3+(n-1)×1=n+2,所以an=n+23n(n∈N*).由n+23n=1243,得n=7.答案:n+23n　73.在数列{an}中,(1)若a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,则an=______________. (2)若a1=1,an+1=2an+3n,n∈N*,则an=______________. 【解析】(1)因为an+1=4an-3n+1,所以an+1-(n+1)=4(an-n),即an+1-(n+1)an-n=4,又a1=2,所以a1-1=1,所以{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列,所以an-n=4n-1,所以an=4n-1+n.答案:4n-1+n(2)方法一:因为an+1=2an+3n,令an+1+λ·3n+1=2(an+λ·3n)比较系数得λ=-1.所以an+1-3n+1=2(an-3n),即an+1-3n+1an-3n=2,又a1=1,所以a1-3=-2,所以{an-3n}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以an-3n=-2n,所以an=3n-2n.方法二:因为an+1=2an+3n,所以an+13n=23·an3n-1+1,所以an+13n-3=23(an3n-1-3),又a1=1,所以{an3n-1-3}是首项为-2,公比为23的等比数列,所以an3n-1-3=-2(23)n-1,所以an=3n-2n.答案:3n-2n考点三　分式构造法求通项公式[例6]已知数列{an}的首项a1=1,an+1=4anan+2(n∈N*),则通项公式an=____________. 【解析】因为an+1=4anan+2,所以1an+1=an+24an=14+12an,所以1an+1-12=12(1an-12),又a1=1,所以1a1-12=12,所以数列1an-12是以12为首项,12为公比的等比数列.所以1an-12=(12)n,1an=12+12n,所以an=2n2n-1+1.答案:2n2n-1+1【解题技法】　递推数列形如an+1=AanBan+C求通项的方法:(1)若A=C,则通过倒数构造1an成等差数列;(2)若A≠C,可通过倒数构造1an+x成等比数列,从而求得an.【对点训练】　在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),则an的通项公式为(　　)A.an=24n-3 B.an=26n-5C.an=24n+3 D.an=22n-1【解析】选B.数列{an}中,由a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),可得1an+1=3+1an,所以数列1an是首项为12,公差为3的等差数列,所以1an=12+3(n-1)=6n-52.可得an=26n-5(n∈N*).课程标准能根据递推关系求数列的项或通项公式考情分析考点考法:高考命题常以求通项公式为基础,考查数列基本计算、求和、不等式等.利用递推公式求通项公式是高考的热点,常以解答题的形式出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.