新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题31 圆锥曲线中的定直线问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∵直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选:B.
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为3，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别交F的左右两支于A，B两点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交F的左、右两支于C，D两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ①，同理得 SKIPIF 1 < 0 ②，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则E，M，N三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，将①②代入得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线l的斜率存在，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点E在直线 SKIPIF 1 < 0 上.故选：A.
3．设点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在抛物线上，且四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，若对角线 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），则对角线 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，
设 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
对角线 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
4．如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 在焦点为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆上运动，则与 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 相切，且与边 SKIPIF 1 < 0 的延长线相切的圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 一定在（ ）
A．一条直线上B．一个圆上C．一个椭圆上D．一条抛物线上
【解析】如图，
设圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别相切于 SKIPIF 1 < 0 ，由切线定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 定值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为定值，
SKIPIF 1 < 0 ，∴切点 SKIPIF 1 < 0
∴圆心 SKIPIF 1 < 0 在过 SKIPIF 1 < 0 垂直于椭圆所在轴的直线.故选：A.
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上且位于第一象限， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
6．若点A，F分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，其满足 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】点A，F分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点和左焦点，
所以椭圆的左焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，直线MN的斜率一定存在，因为直线MN过椭圆左焦点，所以MN的直线方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线方程与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
通过解方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以选B
7．已知点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为其左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．过点 SKIPIF 1 < 0 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则下列所述错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为定值
B． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点一定共圆
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．存在点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点也共线
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 （定值），故A正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，故B正确；
由双曲线的对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 成立，故C正确；
如图利用双曲线的对称性，不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 垂直一条渐近线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 垂直另一条渐近线且交双曲线于点 SKIPIF 1 < 0 ，易知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点始终落在 SKIPIF 1 < 0 轴上，故D不正确.
故选：D.
8．已知O为坐标原点，M为抛物线C： SKIPIF 1 < 0 上一点，直线l： SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点，过A，B作C的切线交于点P，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）若点 SKIPIF 1 < 0 ，且直线AM与BM倾斜角互补，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）点P在定直线 SKIPIF 1 < 0 上；（4）设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3．
A．1B．2C．3D．4
【解析】对于（1），设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以（1）正确，
对于（2），因为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AM与BM倾斜角互补，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以（2）正确，
对于（3），设点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴下方，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴上方的抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴下方的抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
方程化简为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相除化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以（3）正确，
对于（4），设 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，所以（4）错误，
故选：C

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为定值
B．线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在一条定直线上
C． SKIPIF 1 < 0 为定值（ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率）
D． SKIPIF 1 < 0 为定值（ SKIPIF 1 < 0 为抛物线的焦点）
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，不合乎题意，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，

对于A选项， SKIPIF 1 < 0 不一定是定值，A错；
对于B选项，设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定值，故线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上，B对；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 为定值，C对；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 不一定为定值，D错.
故选：BC.
10．已知O为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线 SKIPIF 1 < 0 作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线
B．若直线l过焦点F，则 SKIPIF 1 < 0
C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l恒过点 SKIPIF 1 < 0
【解析】设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 。
选项A，若直线l过焦点F，则 SKIPIF 1 < 0 。 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 A错；

选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以B对；
选项C，设与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 点坐标代入方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
同理，过 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0
抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以C对；

选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
将韦达定理代入得： SKIPIF 1 < 0 .所以直线l恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以D对.
故选：BCD.
11．如图所示，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为过焦点 SKIPIF 1 < 0 的弦，过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作抛物线的切线，两切线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，则 SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 恒在平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 上
D． SKIPIF 1 < 0 的值随着 SKIPIF 1 < 0 斜率的变化而变化
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以焦点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
对A，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；故A错误．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确．
对B，当 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：BC．
12．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为8
B．椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有公共点
D． SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，则点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大距离为3
【解析】对于A选项：由椭圆的定义： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的周长为： SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B选项：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C选项： SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故该定点在椭圆内，过该定点的直线和椭圆一定有交点，故C正确；
对于D选项：设 SKIPIF 1 < 0 ，则P点到圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心的距离 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，焦点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一动点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与定直线相切，则直线的方程为 ．
【解析】易知 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，设点 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离恒等于半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以定直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线交此抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，抛物线在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点处的切线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 必定在直线 上．（写出此直线的方程）
【解析】抛物线 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线整理得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴过 SKIPIF 1 < 0 点切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理过 SKIPIF 1 < 0 点切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，两式相除得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在准线 SKIPIF 1 < 0 上．
15．如图，A、B为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点，过椭圆的右焦点F作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与其交于点C，若AB∥OC(O为坐标原点)，则直线AB的斜率为 .
【解析】由题意，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆的右焦点F作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与其交于点C，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，一组平行直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为 .
【解析】设这组平行直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以这些点均在 SKIPIF 1 < 0 上.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ．求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）
由题意知：直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为 SKIPIF 1 < 0 ，则可设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
18．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，其中一条渐近线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取一点E满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点E在一条定直线上.
【解析】（1）根据题意，设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）易知 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的右焦点，如下图所示：

由题知直线l斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，点E在线段 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 并化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即存在点E满足条件，并且在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
19．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的两条直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．当 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，证明：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上．
【解析】（1）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），因此，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，同理可知直线 SKIPIF 1 < 0 也不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，

交点 SKIPIF 1 < 0 必在垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线上，所以只需证明点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为定值即可，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因此，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 必在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
20．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为3， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上异于原点的两点.延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值；
(2)证明:点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
【解析】（1）由抛物线定义可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即抛物线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由韦达定理可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为32；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在 SKIPIF 1 < 0 上，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
同理，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，代入上式可得： SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中恰有两点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右端点，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（不同于 SKIPIF 1 < 0 ），求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，所以 SKIPIF 1 < 0 ①,
由对称性得，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，代入得 SKIPIF 1 < 0 ②,
联立①②解得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由条件知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不重合，故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，

设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 共线得： SKIPIF 1 < 0 ③，
由 SKIPIF 1 < 0 共线得： SKIPIF 1 < 0 ④，
由③÷④消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上运动.
22．椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)若直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
（2）依题可设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故点M在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．