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新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题06 椭圆中的定点、定值、定直线问题（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题06 椭圆中的定点、定值、定直线问题（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习圆锥曲线专项重难点突破专题06椭圆中的定点定值定直线问题原卷版doc、新高考数学一轮复习圆锥曲线专项重难点突破专题06椭圆中的定点定值定直线问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左､右两个焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于另一个点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过原点， SKIPIF 1 < 0 可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点分别为A，B，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C上，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故直线QA： SKIPIF 1 < 0 ，直线QB： SKIPIF 1 < 0 ，联立两式，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B
3．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上满足 SKIPIF 1 < 0 的两个动点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．45B．9C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4．过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，得椭圆的右焦点为F（1，0），
当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则 CD：y=﹣ SKIPIF 1 < 0 （x﹣1）．
又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴|AB|= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
由题知，直线CD的斜率为﹣ SKIPIF 1 < 0 ，同理可得|CD|= SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 为定值．故选D．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的动点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．双曲线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 上第一象限内不同于 SKIPIF 1 < 0 的点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四条直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为（ ）
A．1B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．不确定值
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 为原点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒过除 SKIPIF 1 < 0 点以外的定点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】椭圆 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知：若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去；
SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当直线的斜率不存在时，直线为 SKIPIF 1 < 0 ，此时设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合题意，故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过除 SKIPIF 1 < 0 点以外的定点 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
8．设P为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上的动点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆C的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率积（ ）
A．非定值，但存在最大值且为 SKIPIF 1 < 0 B．是定值且为 SKIPIF 1 < 0
C．非定值，且不存在定值D．是定值且为 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角形内角平分线定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此可得： SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，因此有：
SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，
再由三角形内角平分线定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
因此有： SKIPIF 1 < 0 .故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．点 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点且 SKIPIF 1 < 0 ．点P为椭圆上任意一点， SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值是1，点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点，则下列结论成立的是（ ）
A．椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的值与k相关
C． SKIPIF 1 < 0 的值为常数 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的值为常数-1
【解析】由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则离心率 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
又椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为k的直线L的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立消去 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，C正确.故选：AC.
10．如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于顶点的一动点，圆 SKIPIF 1 < 0 （圆心为 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 的三边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别切于点A，B，C，延长 SKIPIF 1 < 0 交x轴于点D，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 为定值B． SKIPIF 1 < 0 为定值
C． SKIPIF 1 < 0 为定值D． SKIPIF 1 < 0 为定值
【解析】对于A，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，所以 SKIPIF 1 < 0 的值也在随之变化，从而 SKIPIF 1 < 0 不是定值，则A错误；
对于B，根据椭圆的定义， SKIPIF 1 < 0 ，是定值，B正确；
对于C，根据切线长定理和椭圆的定义，得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，C正确；
对于D，连接 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为定值，则D正确.
故选：BCD
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的离心率相等B． SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值D．四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以， SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对于C选项，由B选项可知，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，显然四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，其面积记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴必有交点，不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：ACD.
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 周长为定值B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积为定值
C．线段 SKIPIF 1 < 0 的长度存在最小值D．该椭圆离心率为 SKIPIF 1 < 0
【解析】该椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 斜率都存在的前提下有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为定值，故B正确；
由题意可设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 的长度存在最小值，故C正确.
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求得交点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点．过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 运动时，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，该定点的坐标是 ．
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，则切点弦 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知点 SKIPIF 1 < 0 分别为曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P为曲线C与曲线正 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，直线l为曲线C在点P处的切线，若点M为 SKIPIF 1 < 0 的内心，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线l交于点N，则，点N的横坐标为 ．
【解析】由题意可得曲线C，曲线E有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，内切圆圆心M，设各边的切点分别为A，D，Q（A为双曲线的右顶点，如图），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 消去y可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ①，
设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的半径为r，则由等面积可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ③．联立①②③，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，A，B分别为其左，右顶点，对于椭圆上任意一点P（不包括左、右顶点），直线AP，BP分别交直线l： SKIPIF 1 < 0 于点M，N，则以线段MN为直径的圆所过定点的坐标为 ．
【解析】依题意，如下图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 （定值），
而 SKIPIF 1 < 0 不为定值．设圆上一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 或13，
故以线段MN为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 离心率 SKIPIF 1 < 0 ， 过椭圆中心的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点 ( SKIPIF 1 < 0 在第一象限)， 过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴垂线交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ， 过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ， 连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， 两式相减并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 为原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若在x轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A，B分别是C的右、上顶点，且 SKIPIF 1 < 0 ，D是C上一点， SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于M，N两点，P是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点.
【解析】（1）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，同得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而中点 SKIPIF 1 < 0 ， 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆为 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知，定点必在 SKIPIF 1 < 0 轴上，令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆过定点 SKIPIF 1 < 0 .
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率不为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
【解析】（1）依题可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
其判别式 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
两式相除得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
20．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求证： SKIPIF 1 < 0 为定值，并求出这个定值；
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】（1）因为椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，故设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）法一：（i）显然直线与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为定值.
法二：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
（ⅱ）由（ⅰ）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或-4（舍），故 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的 SKIPIF 1 < 0 两点，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 总在某定直线上．
【解析】（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以所求椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率显然存在，设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共线，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ．（*）
联立直线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．代入（*）
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以点 SKIPIF 1 < 0 总在一条定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
22．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的离心率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且与双曲线左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
易知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的离心率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 是定值，理由如下：
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为定值．
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左､右两个焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于另一个点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过原点， SKIPIF 1 < 0 可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点分别为A，B，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C上，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故直线QA： SKIPIF 1 < 0 ，直线QB： SKIPIF 1 < 0 ，联立两式，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B
3．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上满足 SKIPIF 1 < 0 的两个动点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．45B．9C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4．过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，得椭圆的右焦点为F（1，0），
当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则 CD：y=﹣ SKIPIF 1 < 0 （x﹣1）．
又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴|AB|= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
由题知，直线CD的斜率为﹣ SKIPIF 1 < 0 ，同理可得|CD|= SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 为定值．故选D．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的动点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．双曲线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 上第一象限内不同于 SKIPIF 1 < 0 的点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四条直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为（ ）
A．1B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．不确定值
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 为原点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒过除 SKIPIF 1 < 0 点以外的定点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】椭圆 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知：若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去；
SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当直线的斜率不存在时，直线为 SKIPIF 1 < 0 ，此时设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合题意，故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过除 SKIPIF 1 < 0 点以外的定点 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
8．设P为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上的动点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆C的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率积（ ）
A．非定值，但存在最大值且为 SKIPIF 1 < 0 B．是定值且为 SKIPIF 1 < 0
C．非定值，且不存在定值D．是定值且为 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角形内角平分线定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此可得： SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，因此有：
SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，
再由三角形内角平分线定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
因此有： SKIPIF 1 < 0 .故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．点 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点且 SKIPIF 1 < 0 ．点P为椭圆上任意一点， SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值是1，点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点，则下列结论成立的是（ ）
A．椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的值与k相关
C． SKIPIF 1 < 0 的值为常数 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的值为常数-1
【解析】由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则离心率 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
又椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为k的直线L的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立消去 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，C正确.故选：AC.
10．如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于顶点的一动点，圆 SKIPIF 1 < 0 （圆心为 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 的三边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别切于点A，B，C，延长 SKIPIF 1 < 0 交x轴于点D，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 为定值B． SKIPIF 1 < 0 为定值
C． SKIPIF 1 < 0 为定值D． SKIPIF 1 < 0 为定值
【解析】对于A，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，所以 SKIPIF 1 < 0 的值也在随之变化，从而 SKIPIF 1 < 0 不是定值，则A错误；
对于B，根据椭圆的定义， SKIPIF 1 < 0 ，是定值，B正确；
对于C，根据切线长定理和椭圆的定义，得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，C正确；
对于D，连接 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为定值，则D正确.
故选：BCD
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的离心率相等B． SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值D．四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以， SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对于C选项，由B选项可知，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，显然四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，其面积记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴必有交点，不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：ACD.
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 周长为定值B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积为定值
C．线段 SKIPIF 1 < 0 的长度存在最小值D．该椭圆离心率为 SKIPIF 1 < 0
【解析】该椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 斜率都存在的前提下有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为定值，故B正确；
由题意可设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 的长度存在最小值，故C正确.
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求得交点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点．过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 运动时，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，该定点的坐标是 ．
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，则切点弦 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知点 SKIPIF 1 < 0 分别为曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P为曲线C与曲线正 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，直线l为曲线C在点P处的切线，若点M为 SKIPIF 1 < 0 的内心，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线l交于点N，则，点N的横坐标为 ．
【解析】由题意可得曲线C，曲线E有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，内切圆圆心M，设各边的切点分别为A，D，Q（A为双曲线的右顶点，如图），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 消去y可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ①，
设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的半径为r，则由等面积可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ③．联立①②③，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，A，B分别为其左，右顶点，对于椭圆上任意一点P（不包括左、右顶点），直线AP，BP分别交直线l： SKIPIF 1 < 0 于点M，N，则以线段MN为直径的圆所过定点的坐标为 ．
【解析】依题意，如下图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 （定值），
而 SKIPIF 1 < 0 不为定值．设圆上一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 或13，
故以线段MN为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 离心率 SKIPIF 1 < 0 ， 过椭圆中心的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点 ( SKIPIF 1 < 0 在第一象限)， 过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴垂线交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ， 过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ， 连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， 两式相减并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 为原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若在x轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A，B分别是C的右、上顶点，且 SKIPIF 1 < 0 ，D是C上一点， SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于M，N两点，P是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点.
【解析】（1）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，同得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而中点 SKIPIF 1 < 0 ， 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆为 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知，定点必在 SKIPIF 1 < 0 轴上，令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆过定点 SKIPIF 1 < 0 .
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率不为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
【解析】（1）依题可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
其判别式 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
两式相除得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
20．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求证： SKIPIF 1 < 0 为定值，并求出这个定值；
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】（1）因为椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，故设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）法一：（i）显然直线与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为定值.
法二：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
（ⅱ）由（ⅰ）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或-4（舍），故 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的 SKIPIF 1 < 0 两点，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 总在某定直线上．
【解析】（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以所求椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率显然存在，设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共线，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ．（*）
联立直线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．代入（*）
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以点 SKIPIF 1 < 0 总在一条定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
22．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的离心率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且与双曲线左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
易知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的离心率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 是定值，理由如下：
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为定值．
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