新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题03 椭圆中的最值问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知点P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，点M、N分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解析】设圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ,半径分别为 SKIPIF 1 < 0 .
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时取等号.
此时 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
2．点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 分别为左、右焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．不存在
【解析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，取到最大值，最大值为3．故选：B．
3．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值3时， SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .当P，B两点在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时，等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，与方程 SKIPIF 1 < 0 联立，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值已舍去，其中 SKIPIF 1 < 0 为点P的纵坐标）.
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
4．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为点P是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点， 不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,
设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .故选:A.
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.将 SKIPIF 1 < 0 表示为 SKIPIF 1 < 0 的函数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点两点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 于圆 SKIPIF 1 < 0 相切，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由于当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为2．故选：B.
6．过椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作C的切线，若两切线的交点恰好在直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．－9D． SKIPIF 1 < 0
【解析】先证椭圆的切线方程：对于 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 点的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
代入切线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 由椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设两切线交点 SKIPIF 1 < 0 ，易得切线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线PB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．由于点P在切线PA、PB上，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
7．已知O为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点A，B满足 SKIPIF 1 < 0 ．若椭圆C上一点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取“＝”，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．8C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得：椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点在y轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则由椭圆性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数的性质可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，等且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则|PQ|最小时，m的值可能是（ ）
A．-1B． SKIPIF 1 < 0 C．aD．3a
【解析】因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小.故选：BD.
10．已知F为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点．设P是椭圆C的右准线上一点，过点P作椭圆O的两条切线 SKIPIF 1 < 0 ，切点分别为A，B，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
C． SKIPIF 1 < 0 的面积为定值D． SKIPIF 1 < 0 的周长为定值
【解析】椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故右准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆在 SKIPIF 1 < 0 点处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆在 SKIPIF 1 < 0 点处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得到： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 过右焦点 SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 的最小值为通径长 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误.
SKIPIF 1 < 0 的周长为定值 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.．
考虑到当点P的纵坐标趋于无穷大时， SKIPIF 1 < 0 趋于椭圆的长轴，
因此 SKIPIF 1 < 0 的面积必然不为定值，故C错误.
故选：BD.
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为4
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为3D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】由椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
选项A中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
选项B中， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，B正确；
选项C中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
选项D中，当点 SKIPIF 1 < 0 为短轴的端点时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD.

12．已知F， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知A，B不是椭圆的顶点，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（ ）
A．四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长为16B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】
对于A，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AF，BF，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长为8，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故B正确；
∵A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，∴设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故C正确；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线PA的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线PB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又点P和点A在椭圆C上， SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 内有一点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点，椭圆上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 三点不共线时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时，如图， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．

14．已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，点R满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，如图，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结合图形知，当P点为椭圆的左顶点时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且为常数）的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为25，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
【解析】设椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由椭圆的定义得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意舍去，所以椭圆的离心率为： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 上三点A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B关于原点对称，C为椭圆右顶点．过A作x轴的垂线，交直线 SKIPIF 1 < 0 于D．当A在椭圆上运动时，总有 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆离心率e的最大值为 ．
【解析】依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ③，
将①②代入③式，消去 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则要求 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即e的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆M： SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆M交于C，D两点．
(1)当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1时，求线段CD的长；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
和椭圆方程联立消掉 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，计算知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 方程有两实根，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
（2）当直线无斜率时，此时直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两点关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线斜存在时，依题意，知 SKIPIF 1 < 0 ，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
和椭圆方程联立消掉 SKIPIF 1 < 0 ，得则 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程有两实根，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 两点在 SKIPIF 1 < 0 轴的上下两侧，所以 SKIPIF 1 < 0 异号，
此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，将上式变形，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ．

18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点．

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 SKIPIF 1 < 0 上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【解析】（1）由题，将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由椭圆的对称性，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 中可得： SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
再将直线 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 中可得： SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取到等号；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以当点 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大，此时面积为6．
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为4，上顶点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）由已知条件得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
上顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时有最小值，即 SKIPIF 1 < 0 .

20．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与E交于A，B两点，当 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线时，A到y轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求E的方程；
(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ①，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 .由题意得 SKIPIF 1 < 0 ②，
①②联立并解得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ,
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 ,得
SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立,
所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最小值,且最小值为 SKIPIF 1 < 0 .

21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两个动点，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 为垂足，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 又椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为零，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆的左顶点，不适合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为垂足，
所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .

22．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点分别为A，B，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】（1）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .