福建省三明市五校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份福建省三明市五校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合或,,则集合中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
2．已知,,若是的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．若命题“,”为假命题,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．已知函数（其中）的图象如图所示,则函数的图像是( )
A.B.
C.D.
5．下列大小关系正确的是( )
①
②
③
④
A.①②B.③④C.②③D.①③
6．已知函数,当时,的最大值为M最小值为m,则( )
A.B.C.D.
7．已知函数是单调减函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知a,,定义:,设,.若函数有两个零点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知集合,则( )
A.B.
C.D.
10．下列命题正确的是( )
A.已知函数的单调递增区间是
B.已知,则
C.若,则
D.是的充要条件
11．设是R上的奇函数,且对,都有,当时,,则下列说法正确的是( )
A.在上是增函数B.的最大值是1,最小值是0
C.直线是函数的一条对称轴D.当时,
12．已知,,且,则( )
A.ab的最小值是B.的最小值是7
C.的最小值是8D.的最小值是
三、填空题
13．已知函数的定义域是,则函数的定义域是________.
14．函数在时的值域是________.
15．已知函数为R上的偶函数,当时,,则的解集为________.
16．若函数在区间上存在最小值,则实数a的取值范围是________.
四、解答题
17．求值:
（1）;
（2）.
18．已知二次函数.
（1）若关于x的不等式的解集是,求实数a,b的值;
（2）若,,解关于x的不等式.
19．已知偶函数定义域为,当时,.
（1）求出函数的解析式;
（2）判断函数在区间的单调性并用定义法证明.
20．2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响,在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一方面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.某公司为了激励业务员的积极性,对业绩在36万到200万的业务员进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随着业绩值x(单位:万元)的增加而增加,但不超过业绩值的20%.
（1）若某业务员的业绩为36万,核定可得4万元奖金,若公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型,则业绩144万元的业务员可以得到多少奖励?
（2）若采用函数,求a的范围.
（参考数值:）
21．设a为实数,函数,.
（1）若函数是偶函数,求实数a的值;
（2）对于函数,在定义域内给定区间,如果存在,满足,则称函数是区间上的“平均值函数”,是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数,0就是它的均值点.现在（1）的条件下,函数是区间上的平均值函数,求实数m的取值范围.
22．已知奇函数,且的图象过点.
（1）若,恒成立,求实数k的取值范围;
（2）是否存在实数m,使函数在区间上的最大值为1.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由集合或,可得,
又由,可得,所以集合中元素的个数为3.
故选:B.
2．答案：A
解析：依题意,,,
由是的充分不必要条件,得集合A真包含于集合B,
所以,即.
故选:A
3．答案：A
解析：易知:,是上述原命题的否定形式,故其为真命题,
则方程有实数根,即.
故选:A.
4．答案：D
解析：由函数（其中）的图象可得,,
所以,所以排除BC,
因为,所以为增函数,所以排除A,
故选:D
5．答案：C
解析：对①,因为指数函数单调递减,所以,①错误;
对②,因为指数函数单调递减,所以,
又因为幂函数在单调递增,所以,
所以,②正确;
对③,因为幂函数在单调递增,所以,③正确;
对④,因为幂函数在单调递减,所以,
即,④错误;
故选:C.
6．答案：B
解析：,
设,,
,则是上的奇函数,
的最大值为,最小值为,则有,
所以.
故选:B
7．答案：D
解析：由题知在单调递减,所以
由在单调递减,得即
由在R上单调递减,得即
综上,实数a的取值范围是.
故选:D.
8．答案：A
解析：令函数,显然函数在R上单调递增,
而,则当时,,当时,,
于是函数,则,
令函数,由,得,
因此函数的零点,即函数的图象与直线交点的横坐标,
当,恒有,在同一坐标系内作出直线与函数的图象,如图,
观察图象知,当,即时,直线与函数的图象只有一个交点,
如图,直线过点,,它与的图象交于两点,,当时,,
当,即时,直线与函数的图象只有一个交点,
当,即时,直线与函数的图象有两个交点,
所以函数有两个零点,实数a的取值范围是.
故选:A
9．答案：ABD
解析：,,
,,故A,B正确,C错误;
又,,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：BC
解析：对于A,函数在上单调递减,函数在R上单调递增,
因此函数在上单调递减,A错误;
对于B,,因此,B正确;
对于C,由,得,C正确;
对于D,取,,显然满足,而,不成立,D错误.
故选:BC
11．答案：ACD
解析：因为是R上的奇函数,所以,又因为,所以的图像关于直线对称,故C正确;
因为即,从而,所以,所以,所以是周期为4的周期函数,又因为当时,单调递增,所以在上也单调递增,从而在上单调递增,又因为的周期为4,所以在上单调递增,故A正确;
因为在上单调递增,且的图像关于直线对称,所以在上单调递减,所以在上的最大值为,最小值,故B错误;
当时,,所以,因为周期为4,所以,
又因为为奇函数,所以,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：BC
解析：已知,,且,
则,所以,当且仅当时,等号成立,A选项错误;
,当且仅当时,等号成立,B选项正确;
因为,所以,当且仅当时,等号成立,C选项正确;
由题意可得,此时,
因为,而不存在a,b使得,则D选项错误.
故选:BC
13．答案：
解析：在函数中,,解得且,
所以函数的定义域是.
故答案为:
14．答案：
解析：当时,,函数,
显然当,即时,,当,即时,,
所以所求值域是.
故答案为:
15．答案：
解析：函数为R上的偶函数,当时,,
当时,,,
①当,即时,,
由,时,符合题意;
时,有,解得,此时;
时,有,解得,此时;
所以符合题意.
②当,即时,,
由,,得,解得,
所以.
综上所得,的解集为.
故答案为:
16．答案：
解析：当时,,在上单调递增,无最小值,舍去;
当时,由于,故,
令,则,
由对勾函数性质可得在上单调递减,在上单调递增,
要想在上存在最小值,则,解得,满足;
当时,在上单调递增,
令,解得,
故在上单调递减,在上单调递增,
要想在上存在最小值,则,
解得,满足;
综上,实数a的取值范围为.
故答案为:
17．答案：（1）;
（2）10
解析：（1）原式.
（2）原式.
18．答案：（1）,;
（2）答案见解析.
解析：（1）由不等式的解集是,
得和是一元二次方程的两个实数根,且,
于是,解得,,
所以,.
（2）,不等式化为,即,
当,即时,解不等式,得或;
当,即时,不等式的解为;
当,即时,解不等式,得或,
所以当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
19．答案：（1）;
（2）在上是增函数,证明见解析.
解析：（1）偶函数定义域为,当时,,
当时,,则,
所以函数的解析式是.
（2）当时,,在上是增函数.
任取,则,
而,,,且,则,因此,
所以在上是增函数.
20．答案：（1）7.75万元奖励;
（2）.
解析：（1）函数模型(k为常数),
当时,,代入解得,即,当时,,
当时,,
所以业绩200万元的业务员可以得到7.75万元奖励.
（2）函数模型,
因为函数在单调递增,则,,
由奖金不超过业绩值的20%,得,
于是对恒成立,
令,显然二次函数的图象开口向上且,
函数图象的对称轴,则只需,
即,解得,因此,
所以实数的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）是偶函数,在R上恒成立,
即,
即,得,,
;
（2）因为,所以函数是区间上的平均值函数,
所以存在,使,而,即存在,使得,即关于的方程在内有解;
所以解得,或,
,
解得:.
22．答案：（1）;
（2）存在,.
解析：（1）函数是奇函数,由,得,
由函数的图象过点,得,而,解得,
经检验,符合题意,即,函数,在R上分别是增函数和减函数,
因此函数在R上是增函数,由,得,
于是对一切恒成立,即对一切恒成立,
则对一切恒成立,而在上单调递增,即,
所以,即.
（2）,设,则,
由,,记,则函数在上有最大值1,
当,即时,,解得,矛盾,
当,即时,,解得,符合题意,
所以存在实数,使函数在上的最大值为1.