2022-2023学年福建省三明市四地四校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省三明市四地四校联考高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数的导数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知随机变量服从正态分布，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  现给定两个命题：命题：对任意的，；命题：存在，使则(    )

A. 命题，都是真命题 B. 命题，都是假命题
C. 命题是真命题，命题是假命题 D. 命题是假命题，命题是真命题

5.  若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  具有线性相关关系的两变量，满足的一组数据如下表，若与的回归直线方程为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  永沙高级中学学生会有位学生春游，其中高一学生名、高二学生名、高三学生名现将他们排成一列，要求名高一学生相邻、名高二学生相邻，名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  从标有，，，，，，的张卡片中每次取出张卡片，抽出的卡片不放回，事件：“第一次抽出的卡片上的数是质数”，事件：“第二次抽出的卡片上的数是偶数”，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若，，则下列结论正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是(    )

 

A. 在上是增函数 B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极大值

11.  甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是(    )

A.  B. ，，是两两互斥的事件
C. 事件与事件相互独立 D.

12.  对于任意实数，有，则下列结论成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  随机变量的分布如下表，则 ______ ．

14.  曲线在点处的切线方程为______ ．

15.  已知实数，，则的最小值是______ ．

16.  若函数有两个零点，则实数的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知，，，函数的单调递减区间为，区间．
求函数的单调递减区间；
“”是“”的充分条件，求的取值范围．

19.  本小题分
为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动已知一抽奖箱中放有只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有只彩球是红色现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球获得一等奖，恰好取到两个红色球获得二等奖，恰好取到一个红色球获得三等奖．
若取球过程是无放回的，求“获得三等奖”和“获得二等奖以上”的概率；
若取球过程是有放回的，取到红色球的个数记为，求的概率分布列及数学期望．

20.  本小题分
中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见，这是世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件文件指出，民族要复兴，乡村必振兴为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：

根据以上数据，求关于的线性回归方程；
若该产品成本是元件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少．
附：参考公式：回归方程，其中，．
参考数据：，．．

21.  本小题分
下表是某省的市的某种传染病与饮用水卫生程度的调查表：

依据的独立性检验，能否认为某省市得这种传染病与饮用不干净水有关；
已知某省市、市和其它县市人口占比分别是、、，以调查表数据的频率估计市得某种传染病的概率，经过深入调查发现市和其它县市得某种传染病的概率分别为、，从该省中任意抽取一人，试估计这个人得某传染病的概率．
附表及公式：，其中．
临界值表：

22.  本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数的极值；
Ⅱ若在上是单调增函数，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
．
故选：．
可以求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：函数，
．
故选：．
根据求导公式计算即可．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：随机变量服从正态分布，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：命题：对任意的，，命题为真命题；
命题：，，故命题为假命题；
故选：．
直接利用特称命题和全称命题的应用判断命题的真假．
本题考查的知识要点：特称命题和全称命题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意令，则，解得，再利用通项公式即可得出．

【解答】

解：由题意令，则，解得．
的通项公式为： ，
令，解得．
常数项．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：由表中数据，计算，
，
把样本中心点代入线性回归方程中，
得，
解得．
故选：．
由表中数据计算、，把样本中心点代入线性回归方程中，求得的值．
本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
先将名高一学生看成一个整体，名高二学生看成一个整体，然后排成一排有种不同排法，
将名高三学生插在这两个整体形成的个空档中，有种不同排法，
根据分步计数原理，共有种不同排法．
故选：．
根据题意，分步进行分析：用捆绑法分析，将名高一学生看成一个整体，名高二学生看成一个整体，然后排成一排，将名高三学生插在这两个整体形成的个空档中，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，，，，中质数为，，，，
，，
．
故选：．
根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，AB正确，
当时，显然错误；
，D正确．
故选：．
由已知结合不等式的性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察的图象可知，
当时，函数先递减，后递增，故A错误；
当时，，函数单调递减，故B正确；
因为，所以不是的极值点，故C错误；
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，故D正确．
故选：．
观察的图象，由导数与单调性的关系及极值的定义逐项判断即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
所以，故A正确；
由题意分析可知：，，是两两互斥的事件，故 B正确；
因为，而，
所以，所以事件与事件不是相互独立事件，故 C错误；
因为，
所以，故D正确．
故选：．
直接利用条件概率公式求出，可以判断；由题意直接分析出，，是两两互斥的事件，即可判断；利用可以判断；
利用全概率公式求出，即可判断．
本题考查了条件概率和互斥事件的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
则的展开式的通项公式为：，
当时，，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，，
当时，，即，故C正确；
当时，，即，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，以及赋值法，即可求解．
本题主要考查二项式定理，以及赋值法，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
，
．
故答案为：．
利用分布列，求解期望，通过期望公式，转化求解即可．
本题考查了概率的性质，数学期望的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
又时，，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出时的函数值，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：令，则，
则，
当且仅当，即，即时取等号．
故答案为：．
令，则，代入到所求式子，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为函数有两个零点，
即有两个零点，显然，
所以等价于方程有两个解，
即与的图象有两个交点，
令，
则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，
又因为当时，，当时，，当时，，
要使与的图象有两个交点，
所以，解得，
故的取值范围为．
故答案为：．
分离常数，将问题转化为与的图象有两个交点，令，利用导数求出的最值，再给合的正负分析即可得答案．
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，，
或，
所以；
或，，
因为，
所以，即，
解得，
所以满足的实数的取值范围是． 

【解析】利用集合的基本运算求解；
根据集合的包含关系以及集合的运算性质可解．
本题考查集合的包含关系以及运算性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
由，有，得，
所以的单调递减区间为；
，有得，
又是的充分条件，可知，
有，得，
故实数的取值范围为． 

【解析】求出函数的导函数，令导函数小于等于，求出函数的单调减区间；
利用区间的定义，得到，然后将是的充分条件转化为，利用集合的包含关系求解即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
 

19.【答案】解：记取到红色球的个数为，
则获得一、二、三等奖分别对应于、、，
根据超几何分布可知：，；
随机变量的可能取值为：，，，，且，
则，，，，，
即的分布列如下：

． 

【解析】记取到红色球的个数为，则获得一、二、三等奖分别对应于、、，然后结合超几何分布超几何分布求解即可；
随机变量的可能取值为：，，，，且，然后结合二项分布的分布列及期望的求法求解即可．
本题考查了超几何分布，重点考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．
 

20.【答案】解：，
，
，．．
，
．
回归直线方程为；
设工厂获得的利润为万元，则，
该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元． 

【解析】由已知数据求得与的值，可得关于的线性回归方程；
设工厂获得的利润为万元，则，展开后利用配方法求最值即可．
本题考查线性回归方程的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解由表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，认为得这种传染病与饮用不干净水有关系．
设“任意抽取一人，此人得某种传染病”，记“任意抽取一人来自市”，“任意抽取一人来自市”，“任意抽取一人来自其他县市”，
则，且，，两两互斥，
根据题意得，，，
，，，
由全概率公式得
，
所以从该省中任意抽取一人，这个人得某传染病的概率为． 

【解析】计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
利用相互独立事件的乘法公式即可求解．
本题考查相互独立事件的乘法公式，考查全概率公式，是中档题．
 

22.【答案】解：函数的定义域为
当时，
当变化时，，的值变化情况如下表

由上表可知，函数单调递减区间是，单调递增区间是
极小值是，没有极大值

因为在上是单调增函数
所以在上恒成立
即不等式在上恒成立即在上恒成立
令则当时，
在上为减函数
的最大值为

故的取值范围为 

【解析】求出的导函数，列出，，的变化情况表，求出单调区间及函数的极值．
令的导数大于等于恒成立，分离出参数，构造新函数，通过导数求出新函数的最小值，令大于等于最小值即得到的范围．
求使函数单调的参数的范围时，若函数单增则令其导数大于等于恒成立；若单减，则令其导数小于等于恒成立．