[数学][期中]福建省三明市四地四校2023-2024学年高一上学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学][期中]福建省三明市四地四校2023-2024学年高一上学期期中联考试题(解析版)，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】表示全体实数组成的集合，则，故A错误；
表示全体有理数组成的集合，则，故B错误；
表示全体正整数组成的集合，则，故C正确；
表示全体自然数组成的集合，则，故D错误.
故选：C.
2. 幂函数的图象过点,则该幂函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设幂函数为.
故选：B.
3. 命题“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由命题“”是存在量词命题，
则它的否定是全称量词命题：.
故选：A.
5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）.
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】对于A选项：因为的定义域为，
而的定义域为，
所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项A错误；
对于B选项：因为的定义域为，
而的定义域为，所以与的定义域不同，
故与不是同一个函数，故选项B错误；
对于C选项：因为的定义域为，而的定义域为，
所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项C错误；
对于D选项：因为的定义域为，值域为，
而的定义域为，值域为，与表示的是同一个函数，
故选项D正确.
故选：D.
6. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A错误；
对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；
对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；
对于选项D：当时，，故选项D错误.
故选：B.
7. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于，
当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除AB；
当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除D；
而C选项满足上述条件.
故选：C.
8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】根据题意知、2为方程的解且，
所以，
代入不等式得，
又，所以，解得或.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设，若，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】ABD
【解析】因，且，
当时，，符合题意；
当时，，又，所以或，解得或，
综上，或或.
故选：ABD.
10. 下列函数中最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，故A不符题意；
对于B，，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为2，故B符合题意；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，
又因为，所以，故C不符题意；
对于D，，
当时，函数取得最小值2，故D符合题意.
故选：BD.
11. 函数的图象如图，则（ ）
A.
B. 函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
【答案】ACD
【解析】由图像可知，当时，，所以，A对；
由图像可知，定义域为；值域为；B错、C对；
当时，只有时才有对应的与之对应，D对.
故选：ACD.
12. 已知是定义在的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（ ）
A. 增区间为和B. 有3个根
C. 的解集为D. 时，
【答案】ABC
【解析】由是定义在的奇函数知，
当时，，所以，D错误；
由上可知，由可得或或，故B正确；
由，时，对称轴为，
时，的对称轴为，
结合二次函数的性质知在和上均单调递增，故A正确；
由，可得或，
解得或，故C正确．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】由题要使得有意义，则，
故且，
从而的定义域为.
故答案为：.
14. 计算：______．
【答案】
【解析】
．
故答案为：.
15. 若函数为奇函数，则实数a值为___________．
【答案】5
【解析】由题意，即，
所以恒成立，所以，即．
故答案为：5.
16. 用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为___________．
【答案】
【解析】设窗户的长为米，则宽为米，面积为.
则，
当且仅当时，即米时，窗户面积最大，透过的光线最多，
此时宽为，所以窗户的长与宽之比为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合．
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围．
解：（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以当时，有，则，所以.
18. 已知函数．
（1）当时，解不等式;
（2）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，即，
解方程，即，得，
∴不等式的解集为或.
（2）若不等式的解集是R，则，解得，
故实数a的取值范围是．
19. 已知函数．
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．
解：（1）图象如图所示.
（2）由的解析式可知，定义域为R，
由(1)中图像可知，增区间为，减区间为、和，值域为．
20. （1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值.
解：（1）因为，所以，
由基本不等式可得：，
当且仅当即时取到最小值8.
（2）因为，所以，
当且仅当时，即时，取到最小值9.
21. 某公司生产某种产品每年需要固定投资40万元，此外每生产1件该产品还需要额外增加投资1万元，已知年销售总收入R（单位：万元）关于年产量（单位：件）满足函数：，记该公司生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（年利润=年销售总收入-年总投资）．
（1）求y（万元）关于x（件）的函数关系式；
（2）该公司的年产量为多少件时，所得年利润最大？并求出最大值．
解：（1）当时，，
当时，，
故.
（2）当时，，
当时，，
又时，，所以，当时，，
又，所以，年产量为12件时，取得最大年利润104万元.
22. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）证明：函数在上是减函数；
（3）解关于x不等式．
解：（1）因为的定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数.
（2）设，且
则
，
因为，且，所以，，
又，，所以，即，
所以，在上是减函数．
（3）由，得，
又因为是偶函数，所以，得到
又因，且在上为减函数，
所以，即，即，
解得，或，
所以，不等式的解集是或.