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2023-2024学年福建省厦泉五校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省厦泉五校联考高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z=5+3i1+i(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，c=(−1,1)，若(2a+b)⊥c，则m=( )
A. 13B. 3C. 15D. 5
3.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若ED=xAB+yAD(x,y∈R)，则x−y等于( )
A. 1B. −1C. 12D. −12
4.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是 6，则该棱台的体积是( )
A. 563B. 583C. 20D. 21
5.若向量a=(x,2)，b=(2,3)，c=(2,−4)，且a//c，则a在b上的投影向量为( )
A. (813,1213)B. (−813,1213)C. (8,12)D. 4 1313
6.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sinA=( )
A. 310B. 1010C. 55D. 3 1010
7.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )
A. 26B. 36C. 23D. 22
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin(A+C)=2Sb2−c2，则tanC+12tan(B−C)的最小值为( )
A. 2B. 2C. 1D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零向量a,b，下列命题正确的是( )
A. 若a⋅b=0，则a//b
B. 若a⊥b，则a⋅b=(a⋅b)2
C. 若a⋅c=b⋅c，则a=b
D. 若|a−b|=|a+b|，则a⋅b=0
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线A1C1与AD1为异面直线
B. A1C1//平面ACD1
C. 正方体的外接球的表面积为12π
D. 三棱锥D1−ADC的体积为83
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2，A=π3.若△ABC有唯一解，则a的值可以是( )
A. 1B. 3C. 2D. 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，则a与b的夹角为______．
13.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为______ m．
14.在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2 2，则当堑堵ABC−A1B1C1的体积最大时，阳马B−A1ACC1的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=a2+2ai(a∈R)，复数z2在复平面内对应的向量为OA=(−1,2)．
(1)若z1+z2为纯虚数，求a的值；
(2)若z1i−z2在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．
(1)求B的大小；
(2)若a=3，且S△ABC=15 34，BD是AC边的中线，求BD的长度．
17.(本小题15分)
如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，∠D=90°，且|BO|=|AD|=1．
(Ⅰ)用OA,OB表示CB；
(Ⅱ)点P在线段AB上，且AB=3AP，求cs∠PCB的值．
18.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(Ⅰ)求证：BC//AD；
(Ⅱ)求证：CE//平面PAB；
(Ⅲ)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB？说明理由．
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−a=2bcsA，b=3．
(1)求B的大小；
(2)若a= 3，求△ABC的面积；
(3)求aca+c的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：∵z=5+3i1+i=(5+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−i，
∴复数z对应的点为(4,−1)，位于第四象限．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题．
利用向量垂直的坐标表示求解即可．
【解答】
解：∵a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，
∴2a+b=(2m+1,3m−2)，
∵c=(−1,1)，(2a+b)⊥c，
∴(2a+b)⋅c=−2m−1+3m−2=0，
∴m=3．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本定理以及向量的加减运算，属于基础题．
根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可．
【解答】
解：由题意知ED=EA+AD=−14AC+AD
=−14(AB+AD)+AD=−14AB+34AD，
因为ED=xAB+yAD(x,y∈R)，
所以x=−14,y=34,x−y=−1．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查棱台的结构特征，棱台的体积公式等知识，属于基础题
首先求得棱台的高度，然后利用体积公式求得其体积即可．
【解答】
解：由棱台的几何特征可得其高度为：h= ( 6)2−[12(4 2−2 2)]2=2，
则其体积：V=13×(22+42+ 22×42)×2=563．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：因为a//c，
所以x2=2−4，解得x=−1，
所以a=(−1,2)，
又b=(2,3)，
所以b|b|=1 13(2,3)，
cs=a⋅b|a||b|=−2+6 5× 13=4 65，
所以a在b上的投影向量为|a|cs⋅b|b|= 5×4 65×1 13(2,3)=413(2,3)=(813,1213).
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中等题．
通过三角形面积公式得到c= 23a，再利用余弦定理得到b= 53a，再结合正弦定理可得sinA．
【解答】
解：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC=12a⋅13a=12acsinB，
∴c= 23a．
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB
=a2+29a2−2×a× 23a× 22
=59a2，
∴b= 53a．
由正弦定理得sinA=a⋅sinBb=3 1010．
故选D．
7.【答案】A
【解析】解：设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC，
因为CO1=23× 32= 33，
所以OO1= 12−( 33)2= 63，
故高SD=2OO1=2 63，
因为△ABC是边长为1的正三角形，
所以S△ABC= 34，
故VS−ABC=13× 34×2 63= 26．
故选：A．
设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心为O1，延长CO1交球于点D，利用边角关系求解三棱锥的高，求出底面三角形的面积，由三棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了空间几何体的体积，棱锥体积公式的应用，棱锥的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积的计算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用正弦定理和余弦定理化简，求出sin(B−C)=sinC，可得tan(B−C)=tanC，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：由sin(A+C)=2Sb2−c2，得sinB=2Sb2−c2=acsinBb2−c2，
所以b2=c2+ac，由b2=a2+c2−2accsB，得a−2ccsB=c，
利用正弦定理sinA−2sinCcsB=sinC，
sinBcsC+csBsinC−2sinCcsB=sinBcsC−csBsinC=sinC，
即sin(B−C)=sinC，
∵锐角△ABC中，∴tan(B−C)=tanC，
∴tanC+12tan(B−C)=tanC+12tanC≥2 tanC⋅12tanC= 2，当且仅当tanC= 22时取等号．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A选项：若a⋅b=0，则a⊥b，故A选项错误；
对于B选项：若a⊥b，则a⋅b=0，故0=0满足，故B选项错误；
对于C选项：若a⋅c=b⋅c=0，则不可说明a=b，故C选项错误．
对于D选项：若a−b=a+b，则a2−2a⋅b+b2=a2+2a⋅b+b2，化简得a⋅b=0，故D选项正确；
故选：BD．
由平面向量基本平行垂直基本概念及数量积的性质进行判断即可．
本题以命题真假判断为载体，考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查三棱锥体积的求法，正方体外接球的表面积，异面直线的判断，线面平行的判定，属于中档题．
判断两条直线是否是异面直线判断A；易得A1C1//AC，由直线与平面平行的判定定理判断B；正方体的外接球的半径为 22+22+222= 3，求解外接球的表面积判断C；求解棱锥的体积判断D．
【解答】
解：已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．
对于A，因为A1C1⊂平面A1B1C1D1，又直线AD1与平面A1B1C1D1交于点D1，
D1∉A1C1，故直线A1C1与AD1没有交点，
故直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；
对于B，易得A1C1//AC，又A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
∴A1C1//平面ACD1，故B正确；
对于C，正方体的外接球的半径为 22+22+222= 3，
所以正方体的外接球的表面积为4π×( 3)2=12π，故C正确；
对于D，三棱锥D1−ADC的体积为 13×12×2×2×2=43，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】BD
【解析】解：由正弦定理可得asinA=bsinB，所以asinπ3=2sinB，
∴asinB=2sinπ3=2× 32= 3，
∴sinB= 3a，又△ABC有唯一解，
∴sinB=1或0当sinB=1时，a= 3，
当0综上所述，a= 3或a≥2．
故选：BD．
由正弦定理可得asinA=bsinB，可得sinB= 3a，再根据△ABC有唯一解，有sinB=1或0本题考查三角形的正弦定理以及三角形有唯一解的条件，属中档题．
12.【答案】π4
【解析】解：因为|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，
所以|2a−b|2=(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4|a|2+|b|2−4a⋅b=2，
所以a⋅b=1，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|= 22，
又因为〈a,b〉∈[0,π]，
所以〈a,b〉=π4．
故答案为：π4．
根据向量数量积公式，求得a⋅b的值，再根据夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
13.【答案】300
【解析】【分析】
本题考查解三角形的应用，考查正弦定理，属于中档题．
首先在Rt△AMD中，算出AM=MDsin45∘=200 2m，然后在△MAC中，利用正弦定理算出AC=200 3m，最后在Rt△ABC中，利用三角函数的定义即可算出山的高度BC．
【解答】
解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200m，
∴AM=MDsin45∘=200 2m.
∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°−45°−60°=75°，
∴∠MCA=180°−∠AMC−∠MAC=45°，
由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA=200 2× 32 22=200 3(m)，
在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=200 3× 32=300(m)．
故答案为300．
14.【答案】8 23
【解析】解：要使堑堵ABC−A1B1C1的体积最大，则只需要底△ABC的面积最大即可，
在直角三角形ACB中，AC2+BC2=AB2=8，则8=AC2+BC2≥2AC⋅BC，即AC⋅BC≤4，△ABC的面积S=12AC⋅BC≤12×4=2，当且仅当AC=BC时取等号，
即堑堵ABC−A1B1C1的体积最大时，AC=BC=2，
此时阳马B−A1ACC1的体积V=13×AC⋅AA1⋅BC=13×2×2 2×2=8 23．
故答案为：8 23．
根据三棱柱体积最大值，利用基本不等式求出取最大值的等价条件，AC=BC，然后利用锥体的体积公式进行计算即可．
本题主要考查空间体积的计算，根据三棱柱体积最大，利用基本不等式求出最大值时的等价条件，利用锥体的体积公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
15.【答案】解：(1)由题z2=−1+2i，
则z1+z2=(a2−1)+(2a+2)i，
由z1+z2为纯虚数，
得a2−1=02a+2≠0，
解得：a=1．
(2)z1i−z2=(1−2a)+(a2−2)i，
在复平面内的对应点在第四象限，
则1−2a>0a2−2<0，即a<12− 2解得：− 2即a的取值范围是(− 2,12).
【解析】(1)由复数在复平面对应的向量得复数z2，再由复数的分类求得a的值；
(2)计算z1i−z2，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得a的取值范围．
本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义以及转化思想，是基础题．
16.【答案】解：(1)因为(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC，可得sin2A+sin2C=sin2B−sinAsinC，
所以由正弦定理可得a2+c2=b2−ac，即a2+c2−b2=−ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3．
(2)由S△ABC=15 34=12a·ABsinB得AB=5，
又BC=3，B=2π3，则cs2π3=52+32−AC22×5×3=−12，可得AC=7，
则AD=DC=72，
又∠BDA+∠BDC=π，可得cs∠BDA+cs∠BDC=0，
由余弦定理可得BD2+(72)2−522×72×BD+BD2+(72)2−322×72×BD=0，整理可得BD2=194，解得BD= 192．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(1)由正弦定理化简已知等式可得a2+c2−b2=−ac，由余弦定理可得csB=−12，结合范围B∈(0,π)，可得B的值．
(2)由题意利用余弦定理可求AC的值，进而可得AD=DC=72，又cs∠BDA+cs∠BDC=0，由余弦定理建立等式即可解得BD的值．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵CD=2BO，OA=2AD，∴DO=32AO，所以 DO=32AO．
∴CB=CD+DO+OB=2BO+32AO+OB=−OB−32OA．
(Ⅱ)因为OB//CD，OA//AD，所以 点O，A，D共线．
因为∠D=90°，所以∠O=90°．
以OA为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为 A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，
所以 A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)．
所以 AB=(−2,1)，AB=(−2,1)．
因为 点P在线段AB=3AP上，且AB=3AP，
所以 CP=AP−AC=(−53,−53)．
所以 CP=AP−AC=(−53,−53)．
因为 cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+5353 2× 10=2 55，
所以 cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+5353 2× 10=2 55.……………………(11分)
【解析】(Ⅰ)直线利用向量的线性运算即可．
(Ⅱ)以OA为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．可得 CP=AP−AC=(−53,−53)．CP=AP−AC=(−53,−53). cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+5353 2× 10=2 55，即可．
本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．
18.【答案】证明：(Ⅰ)在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴BC//AD，
(Ⅱ)取PA的中点F，连接EF，BF，
∵E是PD的中点，
∴EF//AD，EF=12AD，
又由(Ⅰ)可得BC//AD，BC=12AD，
∴BC//EF，BC=EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴CE//BF，
∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
∴CE//平面PAB．
(Ⅲ)取AD中点N，连接CN，EN，
∵E，N分别为PD，AD的中点，
∴EN//PA，
∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EN//平面PAB，
又由(Ⅱ)可得CE//平面PAB，CE∩EN=E，
∴平面CEN//平面PAB，
∵M是CE上的动点，AN⊂平面CEN，
∴MN//平面PAB，
∴线段AD存在点N，使得MN//平面PAB．
【解析】(Ⅰ)根据线面平行的性质定理即可证明；
(Ⅱ)取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；
(Ⅲ)取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．
本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)因为2c−a=2bcsA，又asinA=bsinB=csinC，
所以2sinC−sinA=2sinBcsA，
所以2sin(A+B)−sinA=2sinBcsA，
所以2sinAcsB−sinA=0，
因为A∈(0,π)，sinA≠0，
所以csB=12，
则B=π3．
(2)因为b2=a2+c2−ac，所以c2− 3c−6=0，
所以c=2 3或c=− 3(舍去)，
所以△ABC的面积为S=12acsinB=3 32．
(3)由a2+c2−ac=9，得(a+c)2=9+3ac，
因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，
所以3设t=a+c，则t∈(3,6]，所以aca+c=t2−93t，
设f(t)=t2−93t=13(t−9t)，
则f(t)在区间(3,6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=32，
所以，aca+c的最大值为32．
【解析】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦，基本不等式以及利用函数的单调性求最值，考查了转化思想和函数思想，属于较难题．
(1)根据题意，由2c−a=2bcsA利用正弦定理及两角和的正弦，可求csB，进而可求B的值；
(2)由题意可得c2− 3c−6=0，解方程可得c的值，进而根据三角形的面积公式即可得解；
(3)由余弦定理，基本不等式可求3
1.在复平面内，复数z=5+3i1+i(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，c=(−1,1)，若(2a+b)⊥c，则m=( )
A. 13B. 3C. 15D. 5
3.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若ED=xAB+yAD(x,y∈R)，则x−y等于( )
A. 1B. −1C. 12D. −12
4.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是 6，则该棱台的体积是( )
A. 563B. 583C. 20D. 21
5.若向量a=(x,2)，b=(2,3)，c=(2,−4)，且a//c，则a在b上的投影向量为( )
A. (813,1213)B. (−813,1213)C. (8,12)D. 4 1313
6.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sinA=( )
A. 310B. 1010C. 55D. 3 1010
7.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )
A. 26B. 36C. 23D. 22
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin(A+C)=2Sb2−c2，则tanC+12tan(B−C)的最小值为( )
A. 2B. 2C. 1D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零向量a,b，下列命题正确的是( )
A. 若a⋅b=0，则a//b
B. 若a⊥b，则a⋅b=(a⋅b)2
C. 若a⋅c=b⋅c，则a=b
D. 若|a−b|=|a+b|，则a⋅b=0
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线A1C1与AD1为异面直线
B. A1C1//平面ACD1
C. 正方体的外接球的表面积为12π
D. 三棱锥D1−ADC的体积为83
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2，A=π3.若△ABC有唯一解，则a的值可以是( )
A. 1B. 3C. 2D. 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，则a与b的夹角为______．
13.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为______ m．
14.在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2 2，则当堑堵ABC−A1B1C1的体积最大时，阳马B−A1ACC1的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=a2+2ai(a∈R)，复数z2在复平面内对应的向量为OA=(−1,2)．
(1)若z1+z2为纯虚数，求a的值；
(2)若z1i−z2在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．
(1)求B的大小；
(2)若a=3，且S△ABC=15 34，BD是AC边的中线，求BD的长度．
17.(本小题15分)
如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，∠D=90°，且|BO|=|AD|=1．
(Ⅰ)用OA,OB表示CB；
(Ⅱ)点P在线段AB上，且AB=3AP，求cs∠PCB的值．
18.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(Ⅰ)求证：BC//AD；
(Ⅱ)求证：CE//平面PAB；
(Ⅲ)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB？说明理由．
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−a=2bcsA，b=3．
(1)求B的大小；
(2)若a= 3，求△ABC的面积；
(3)求aca+c的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：∵z=5+3i1+i=(5+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−i，
∴复数z对应的点为(4,−1)，位于第四象限．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题．
利用向量垂直的坐标表示求解即可．
【解答】
解：∵a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，
∴2a+b=(2m+1,3m−2)，
∵c=(−1,1)，(2a+b)⊥c，
∴(2a+b)⋅c=−2m−1+3m−2=0，
∴m=3．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本定理以及向量的加减运算，属于基础题．
根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可．
【解答】
解：由题意知ED=EA+AD=−14AC+AD
=−14(AB+AD)+AD=−14AB+34AD，
因为ED=xAB+yAD(x,y∈R)，
所以x=−14,y=34,x−y=−1．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查棱台的结构特征，棱台的体积公式等知识，属于基础题
首先求得棱台的高度，然后利用体积公式求得其体积即可．
【解答】
解：由棱台的几何特征可得其高度为：h= ( 6)2−[12(4 2−2 2)]2=2，
则其体积：V=13×(22+42+ 22×42)×2=563．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：因为a//c，
所以x2=2−4，解得x=−1，
所以a=(−1,2)，
又b=(2,3)，
所以b|b|=1 13(2,3)，
cs
所以a在b上的投影向量为|a|cs
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中等题．
通过三角形面积公式得到c= 23a，再利用余弦定理得到b= 53a，再结合正弦定理可得sinA．
【解答】
解：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC=12a⋅13a=12acsinB，
∴c= 23a．
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB
=a2+29a2−2×a× 23a× 22
=59a2，
∴b= 53a．
由正弦定理得sinA=a⋅sinBb=3 1010．
故选D．
7.【答案】A
【解析】解：设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC，
因为CO1=23× 32= 33，
所以OO1= 12−( 33)2= 63，
故高SD=2OO1=2 63，
因为△ABC是边长为1的正三角形，
所以S△ABC= 34，
故VS−ABC=13× 34×2 63= 26．
故选：A．
设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心为O1，延长CO1交球于点D，利用边角关系求解三棱锥的高，求出底面三角形的面积，由三棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了空间几何体的体积，棱锥体积公式的应用，棱锥的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积的计算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用正弦定理和余弦定理化简，求出sin(B−C)=sinC，可得tan(B−C)=tanC，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：由sin(A+C)=2Sb2−c2，得sinB=2Sb2−c2=acsinBb2−c2，
所以b2=c2+ac，由b2=a2+c2−2accsB，得a−2ccsB=c，
利用正弦定理sinA−2sinCcsB=sinC，
sinBcsC+csBsinC−2sinCcsB=sinBcsC−csBsinC=sinC，
即sin(B−C)=sinC，
∵锐角△ABC中，∴tan(B−C)=tanC，
∴tanC+12tan(B−C)=tanC+12tanC≥2 tanC⋅12tanC= 2，当且仅当tanC= 22时取等号．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A选项：若a⋅b=0，则a⊥b，故A选项错误；
对于B选项：若a⊥b，则a⋅b=0，故0=0满足，故B选项错误；
对于C选项：若a⋅c=b⋅c=0，则不可说明a=b，故C选项错误．
对于D选项：若a−b=a+b，则a2−2a⋅b+b2=a2+2a⋅b+b2，化简得a⋅b=0，故D选项正确；
故选：BD．
由平面向量基本平行垂直基本概念及数量积的性质进行判断即可．
本题以命题真假判断为载体，考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查三棱锥体积的求法，正方体外接球的表面积，异面直线的判断，线面平行的判定，属于中档题．
判断两条直线是否是异面直线判断A；易得A1C1//AC，由直线与平面平行的判定定理判断B；正方体的外接球的半径为 22+22+222= 3，求解外接球的表面积判断C；求解棱锥的体积判断D．
【解答】
解：已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．
对于A，因为A1C1⊂平面A1B1C1D1，又直线AD1与平面A1B1C1D1交于点D1，
D1∉A1C1，故直线A1C1与AD1没有交点，
故直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；
对于B，易得A1C1//AC，又A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
∴A1C1//平面ACD1，故B正确；
对于C，正方体的外接球的半径为 22+22+222= 3，
所以正方体的外接球的表面积为4π×( 3)2=12π，故C正确；
对于D，三棱锥D1−ADC的体积为 13×12×2×2×2=43，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】BD
【解析】解：由正弦定理可得asinA=bsinB，所以asinπ3=2sinB，
∴asinB=2sinπ3=2× 32= 3，
∴sinB= 3a，又△ABC有唯一解，
∴sinB=1或0
当0
故选：BD．
由正弦定理可得asinA=bsinB，可得sinB= 3a，再根据△ABC有唯一解，有sinB=1或0
12.【答案】π4
【解析】解：因为|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，
所以|2a−b|2=(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4|a|2+|b|2−4a⋅b=2，
所以a⋅b=1，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|= 22，
又因为〈a,b〉∈[0,π]，
所以〈a,b〉=π4．
故答案为：π4．
根据向量数量积公式，求得a⋅b的值，再根据夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
13.【答案】300
【解析】【分析】
本题考查解三角形的应用，考查正弦定理，属于中档题．
首先在Rt△AMD中，算出AM=MDsin45∘=200 2m，然后在△MAC中，利用正弦定理算出AC=200 3m，最后在Rt△ABC中，利用三角函数的定义即可算出山的高度BC．
【解答】
解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200m，
∴AM=MDsin45∘=200 2m.
∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°−45°−60°=75°，
∴∠MCA=180°−∠AMC−∠MAC=45°，
由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA=200 2× 32 22=200 3(m)，
在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=200 3× 32=300(m)．
故答案为300．
14.【答案】8 23
【解析】解：要使堑堵ABC−A1B1C1的体积最大，则只需要底△ABC的面积最大即可，
在直角三角形ACB中，AC2+BC2=AB2=8，则8=AC2+BC2≥2AC⋅BC，即AC⋅BC≤4，△ABC的面积S=12AC⋅BC≤12×4=2，当且仅当AC=BC时取等号，
即堑堵ABC−A1B1C1的体积最大时，AC=BC=2，
此时阳马B−A1ACC1的体积V=13×AC⋅AA1⋅BC=13×2×2 2×2=8 23．
故答案为：8 23．
根据三棱柱体积最大值，利用基本不等式求出取最大值的等价条件，AC=BC，然后利用锥体的体积公式进行计算即可．
本题主要考查空间体积的计算，根据三棱柱体积最大，利用基本不等式求出最大值时的等价条件，利用锥体的体积公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
15.【答案】解：(1)由题z2=−1+2i，
则z1+z2=(a2−1)+(2a+2)i，
由z1+z2为纯虚数，
得a2−1=02a+2≠0，
解得：a=1．
(2)z1i−z2=(1−2a)+(a2−2)i，
在复平面内的对应点在第四象限，
则1−2a>0a2−2<0，即a<12− 2
【解析】(1)由复数在复平面对应的向量得复数z2，再由复数的分类求得a的值；
(2)计算z1i−z2，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得a的取值范围．
本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义以及转化思想，是基础题．
16.【答案】解：(1)因为(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC，可得sin2A+sin2C=sin2B−sinAsinC，
所以由正弦定理可得a2+c2=b2−ac，即a2+c2−b2=−ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3．
(2)由S△ABC=15 34=12a·ABsinB得AB=5，
又BC=3，B=2π3，则cs2π3=52+32−AC22×5×3=−12，可得AC=7，
则AD=DC=72，
又∠BDA+∠BDC=π，可得cs∠BDA+cs∠BDC=0，
由余弦定理可得BD2+(72)2−522×72×BD+BD2+(72)2−322×72×BD=0，整理可得BD2=194，解得BD= 192．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(1)由正弦定理化简已知等式可得a2+c2−b2=−ac，由余弦定理可得csB=−12，结合范围B∈(0,π)，可得B的值．
(2)由题意利用余弦定理可求AC的值，进而可得AD=DC=72，又cs∠BDA+cs∠BDC=0，由余弦定理建立等式即可解得BD的值．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵CD=2BO，OA=2AD，∴DO=32AO，所以 DO=32AO．
∴CB=CD+DO+OB=2BO+32AO+OB=−OB−32OA．
(Ⅱ)因为OB//CD，OA//AD，所以 点O，A，D共线．
因为∠D=90°，所以∠O=90°．
以OA为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为 A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，
所以 A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)．
所以 AB=(−2,1)，AB=(−2,1)．
因为 点P在线段AB=3AP上，且AB=3AP，
所以 CP=AP−AC=(−53,−53)．
所以 CP=AP−AC=(−53,−53)．
因为 cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+5353 2× 10=2 55，
所以 cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+5353 2× 10=2 55.……………………(11分)
【解析】(Ⅰ)直线利用向量的线性运算即可．
(Ⅱ)以OA为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．可得 CP=AP−AC=(−53,−53)．CP=AP−AC=(−53,−53). cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+5353 2× 10=2 55，即可．
本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．
18.【答案】证明：(Ⅰ)在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴BC//AD，
(Ⅱ)取PA的中点F，连接EF，BF，
∵E是PD的中点，
∴EF//AD，EF=12AD，
又由(Ⅰ)可得BC//AD，BC=12AD，
∴BC//EF，BC=EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴CE//BF，
∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
∴CE//平面PAB．
(Ⅲ)取AD中点N，连接CN，EN，
∵E，N分别为PD，AD的中点，
∴EN//PA，
∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EN//平面PAB，
又由(Ⅱ)可得CE//平面PAB，CE∩EN=E，
∴平面CEN//平面PAB，
∵M是CE上的动点，AN⊂平面CEN，
∴MN//平面PAB，
∴线段AD存在点N，使得MN//平面PAB．
【解析】(Ⅰ)根据线面平行的性质定理即可证明；
(Ⅱ)取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；
(Ⅲ)取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．
本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)因为2c−a=2bcsA，又asinA=bsinB=csinC，
所以2sinC−sinA=2sinBcsA，
所以2sin(A+B)−sinA=2sinBcsA，
所以2sinAcsB−sinA=0，
因为A∈(0,π)，sinA≠0，
所以csB=12，
则B=π3．
(2)因为b2=a2+c2−ac，所以c2− 3c−6=0，
所以c=2 3或c=− 3(舍去)，
所以△ABC的面积为S=12acsinB=3 32．
(3)由a2+c2−ac=9，得(a+c)2=9+3ac，
因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，
所以3
设f(t)=t2−93t=13(t−9t)，
则f(t)在区间(3,6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=32，
所以，aca+c的最大值为32．
【解析】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦，基本不等式以及利用函数的单调性求最值，考查了转化思想和函数思想，属于较难题．
(1)根据题意，由2c−a=2bcsA利用正弦定理及两角和的正弦，可求csB，进而可求B的值；
(2)由题意可得c2− 3c−6=0，解方程可得c的值，进而根据三角形的面积公式即可得解；
(3)由余弦定理，基本不等式可求3
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