江苏省连云港市灌云高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题（解析版）

这是一份江苏省连云港市灌云高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集的定义，即可求解.
【详解】由题意集合，，
根据并集的定义可知，.
故选：C
2. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的运算，求得，结合交集的运算，即可求解.
【详解】由全集，，可得，
又由，则.
故选：C.
3. 如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题图中阴影区域，再利用集合的交、补定义及运算即可求出结果.
【详解】因为题图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是，
故选：C.
4. 命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而求得的取值范围，得到答案.
【详解】由命题为真命题，即不等式在上恒成立，
当，可得，所以.
故选：B.
5. 已知命题，则命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】因命题，
则其否定为.
故选：D
6. 若满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为满足，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
当且仅当即时取等号，
故的最小值为16，
故选：D.
7. 下列各式化简运算结果为1是（ ）
A. B.
C. （且）D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的性质进行计算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
8. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是
A. 对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C. 对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D. 对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
【答案】B
【解析】
【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系.
详解】解对于集合，，
可得当即可得，
即有，可得对任意，是的子集；
当时，，
可得是的子集；
当时，，
可得不是的子集；
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.
故选：
【点睛】本题考查集合间的关系，一元二次不等式的解法，属于中档题.
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对集合B中的分类讨论即可求解.
【详解】
当时, , 显然满足条件;
当时, , 集合,
故, 或, 解,
故实数的取值的集合是 .
故选：ACD.
10. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A. 集合为闭集合；
B. 集合为闭集合；
C. 集合为闭集合；
D. 若集合为闭集合，则为闭集合．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论.
【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确;
对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误;
对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确;
对于D：假设,.不妨取,但是, ,则不是闭集合.故D错误.
故选：AC
11. 下列结论正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “，有”的否定是“，使”
D. “是方程的实数根”的充要条件是“”
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D.
【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，正确；
对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于C，命题“，有”是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；
对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；
当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；
故选：ACD
12. 已知，为正数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最小值D. 有最小值2
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项分析判断；
【详解】，且，可知，
对于选项A：因为，
当且仅当时，等号成立，
可得，即有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
所以当，时，取得最小值，故B正确；
对于选项C：因为，
当且仅当，即时取等号，
所以有最小值，故C错误；
对于选项D：因为，
当且仅当时，等号成立，
可得，所以ab有最大值，故D错误；
故选：AB.
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13. 设集合，集合，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据交集概念，结合集合中元素的互异性可得.
【详解】因为，，，
所以，，，，，
当时，，集合满足题意，
当时，或（舍去），
此时，不满足题意，
综上，
故答案为：2
14. 已知集合，，若，则由的值构成的集合为______.
【答案】
【解析】
【分析】先解方程得集合A，再根据，最后根据包含关系求实数，即得结果.
【详解】因为集合，
因为，当时，，
当时，即时，令，解得，则或，
则对应实数的值为，综上，由的值构成的集合为.
故答案为：.
15. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】先分别把不等式表示为集合的形式，由题意可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】因为，
且，
所以由题意可得，
所以，，且等号不同时成立，
所以解得，即实数m的取值范围是．
故答案为：.
16. 若，且满足，则的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知利用等式关系可得，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解．
【详解】因为，且满足，
则，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
17. 已知全集为，集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的运算分析运算即可得解.
（2）利用集合的关系分析运算即可得解.
【小问1详解】
解：∵，当时，，
∴.
【小问2详解】
解：由题意，∵，∴.
∵，∴，
∴，解得：.
∴实数的取值范围是.
18. 设全集为，集合或，非空数集.
（1）若，求；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）确定，再计算交集得到答案.
（2）确定三个条件均等价于，根据得到，再根据得到或，计算得到答案.
【小问1详解】
时，，或，.
【小问2详解】
若选项①，，则；
若选择②，，则；
若选择③，，则.
三个条件均等价于，
，则，解得，
，则或，解得或
综上所述：实数的取值范围是.
19. 由有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，则称集合满足性质.
（1）已知，，判断集合，是否满足性质，并说明理由；
（2）设集合，且（），若集合满足性质，求的最大值.
【答案】（1）集合不满足性质，集合不满足性质，理由见解析
（2）6058
【解析】
【分析】（1）由已知集合结合定义求得与，再由性质的概念判断；
（2）要使取最大，则，，根据性质检验可得，可得的最大值.
【小问1详解】
因为，，
所以，，则集合A不满足性质，
所以，，则集合不满足性质.
【小问2详解】
，且，，
要使取最大，则，，
当时，，则不满足性质，
要使取最大，则，，
当时，，则不满足性质，
当时，，则不满足性质，
当时，则，不满足性质，
当时，满足性质，
则使得取最大，可得，
若集合A满足性质，则的最大值为6058.
20. 已知命题“，方程有实根”是真命题.
（1）求实数m的取值集合A；
（2）关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解；
（2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可.
【小问1详解】
因为命题“，方程有实根”是真命题，
所以方程有实根，则有，解得，
所以实数m的取值集合.
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当即时，不等式组无解，所以，满足题意；
当即时，不等式组的解集为，
由题意是的真子集，所以，所以.
综上，满足题意的a的取值范围是或.
21. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）5.5 （2）0
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解；
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
22. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元.
（1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)；
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数）
②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.
【答案】（1），从第 3 年开始该设备开始全年盈利；
（2）方案①比较合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）确定，解不等式得到答案.
（2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案.
【小问1详解】
，
解不等式，得，，故，
故从第 3 年该设备开始全年盈利；
【小问2详解】
①，
当且仅当时，即时等号成立.
到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元.
②，当时，.
故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元.
因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理.