江苏省连云港市东海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题（解析版）

这是一份江苏省连云港市东海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将集合化简变形成统一形式，然后分析判断即可.
【详解】因为，
所以．
故选：B．
2. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．
【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，
①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；
②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当时，,的区间长度大于3，
若,的区间长度，即．
若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，
此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；
若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，结合可得．
综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解.
3. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可.
【详解】易知集合，，
则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B，
对于C，当时，集合为，
而令，可得不为整数，故不含有7，
可得中不含有7，故C错误，
故选：D
4. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题是真命题的意思求解即可.
【详解】因为命题“”为真命题，
所以命题“”为真命题，
所以时，.
因，
所以当时，，此时.
所以时，，即实数的取值范围是.
故选：C.
5. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可.
【详解】如果，比如，则有，
根据定义，，
即“”不是“”的充分条件，
如果，则有，
，所以“”是“”的必要条件；
故“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
6. 已知实数，且，则以下说法正确的是（ ）
A. B. 的值为4或8C. D. 的值为
【答案】B
【解析】
【分析】由，且可得或，后验证各选项即可得答案.
【详解】因，则，又，
则或.
则或，结合，得或.
A选项，当时，；当时，，故A错误；
B选项，当时，；当时，，故B正确；
C选项，当时，；当时，，故C错误；
D选项，当时，；当时，，故D错误.
故选：B
7. “喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强与参考声强之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：分贝），即.若某处“喊泉”的声强级（单位：分贝）与喷出的泉水高度（单位：分米）满足关系式，两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若“喊泉”喷出泉水的高度比“喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则“喊泉”的声强是“喊泉”声强的（ ）
A. 5倍B. 10倍C. 20倍D. 100倍
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的运算性质可求.
【详解】设的声强分别为“喊泉”喷出泉水的高度分别为，
则，即，
从而，即，所以.
故“喊泉”的声强是“喊泉”声强的100倍.
故选：D
8. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
分析】先得出，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9. 设，若，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值.
【详解】因为，且，
当时，，符合题意；
当时，，又，所以或，解得或，
综上，或或.
故选：ABD
10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A. -2B. C. 0D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案.
【详解】当时，，
当时，，
对选项A：若，，此时，不满足；
对选项B：若，，此时，满足；
对选项C：若，，此时，满足；
对选项D：若，，此时，满足；
故选：BCD.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 是的必要不充分条件
B. “”是‘’成立的充分条件
C. 命题，则
D. 为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C.
【详解】对于A，若，则，但由不能推出，
所以是的充分不必要条件，故A错误；
对于B，时，一定成立，
所以是成立的充分条件，故B正确；
对于C，命题，则，故C错误；
对于D，当时，，
当时，为无理数，
所以为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确.
故选：BD.
12. ，运算“”为，则（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】ABCD
【解析】
【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，若，则，，
要证，只需要证，即证，
即证，即证，即证，
因为，，所以上式成立，所以，故D正确.
故选：ABCD.
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13. 设、是非空集合，定义且.已知，，则________.
【答案】或
【解析】
【分析】先求出，再求出，从而可求 。
【详解】∵、是非空集合，且，
而，，∴，，
故或.
故答案为：或.
14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围.
【详解】由，可得，
由于，且，则，
所以，则实数的取值范围是，
故答案：
15. 已知命题“：，”，若是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由特称量词与全称量词得出命题的否定，再由一元二次不等式恒成立得出实数的取值范围.
【详解】若是假命题，则，，
当时，代入不等式得成立；
当时，，
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：
16. 设正实数满足，且，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】化简，利用基本不等式得
可得答案
【详解】，
由于是正实数，且，
所以
，
当且仅当，即，所以时等号成立，
则的最小值为2，所以
，
当且仅当，即时等号成立，
则最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
17. 设为全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
（2）由已知结合集合的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解.
【小问1详解】
（1）由题意可得，
当时，，
所以，
因为，
所以
【小问2详解】
由(1)知，，
若，即，解得，此时满足；
若，要使，则，解得，
综上，若，所求实数的取值范围为
18. 已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
【答案】（1）
（2）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据列不等式求解；
（2）先得到，再根据包含关系列不等式求解.
【小问1详解】
因为，
所以或或，
解得或或，
所以；
【小问2详解】
若，，
对，都有，则，
所以，该不等式组无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能.
19. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算；
（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；
【小问1详解】
因，则.
当时，，所以.
【小问2详解】
因“”是“”成立充分不必要条件，则A是B的真子集.
所以，经检验“=”满足.
所以实数m的取值范围是.
20. （1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）9；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解；
（2）由求出，然后代入中化简计算即可.
【详解】（1）
；
（2）∵，
∴，，
∴
．
21. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知．
（1）当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
（2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
【答案】（1）时，矩形的面积最小，最小面积2400
（2）
【解析】
【分析】（1）设出的长为，则，表示出矩形面积的解析式，利用不等式求解；
（2）化简矩形面积，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
设出的长为，则，
，，，
∴矩形的面积，
由基本不等式得：，
当且仅当时，取“=”，当,即时，；
【小问2详解】
由（1）得，即，
∴，
∴或，
的范围在．
22. 已知整数，集合，，，满足，对任意的，都有且.记.
（1）若，写出两组满足条件的集合，并写出相应的；
（2）证明：；
（3）求的所有可能取值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据中的元素递增，中元素递减，即可列举求解，
（2）根据和两种情况，结合中的元素递增，中元素递减，即可分类求解，
（3）根据，，可得，根据，可得，，…，是，…，的排列，即可由求解.
【小问1详解】
（共6组，任写2组即可）
，，.，，.
，，.，，.
，，.，，.
【小问2详解】
由题设可得，
若，则，而，，，…，，
所以，
若，由于即，由于，
故，由于，
而需要有个不同的元素，故矛盾，因此，，结论成立.
若，则由且，，…，互不相同的正整数，知，
若，由于即，由于，
故，由于，
而需要有个不同的元素，故，而，
故此时不符合要求，
故，所以，结论成立.
【小问3详解】
设，则，，
两个中，其中一个取等号，另一个不取等号，所以比中至少个数大，
因此，即，，…，，而，，…，两两不同，
所以，，…，恰好是，…，的一个排列.
再设，则，，…，，
，，…，恰好是，…，的一个排列，
所以，，…，是，…，的排列，故有：
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.