[数学][期末]安徽省名校联盟2023-2024学年七年级下学期期末试题(解析版)

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1. 在实数、π、、、、0.1010010001…中，无理数的个（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
，，是无限不循环小数，它们均为无理数，共3个，
故选：C.
2. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 8的立方根是2B. 的平方根是
C. 4的算术平方根是D. 立方根等于的实数是
【答案】C
【解析】A、8的立方根是2，正确，不符合题意；
B、的平方根是，正确，不符合题意；
C、4的算术平方根是2，原说法错误，符合题意；
D、立方根等于的实数是，正确，不符合题意．
故选：C．
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
4. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴不一定成立，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D符合题意；
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A. ，运算正确，符合题意；
B. ，故运算不正确，不符合题意；
C. ，故运算不正确，不符合题意；
D. ，故运算不正确，不符合题意．
故选：A．
6. 如图，直线与相交于点O，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴．
故选：C．
7. 若分式方程有增根，则a的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】已知方程去分母得，
解得，
由分式方程有增根得，
，
．
故选：D．
8. 下列说法中正确的是（ ）
A. 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离
C. 经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行
D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】C
【解析】A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本选项错误，不符合题意；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线距离，故本选项错误，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确，符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，不符合题意；
故选：C．
9. 一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，得：
∴，即，
解得：，经检验，符合题意且符合实际应用，
∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．
∴，
解得：．
答：甲，乙两港相距．
故选D．
10. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】B
【解析】设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、
由图甲可得：
由图乙可得：，即：
a+b=．
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11. 的平方根是________．
【答案】
【解析】，
∴的平方根是，
故答案为：．
12. 某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最低可打__________折．
【答案】7
【解析】设打x折，根据题意得：
，
解得：，即最多可打7折．
故答案为：7．
13. 若关于x的分式方程+2＝的解为正数，则k的取值范围是 __________________．
【答案】k＜且k≠﹣
【解析】
方程两边同乘（x-1）得，1+2x-2=-2k，
解得
∵方程的解为正数
∴且
∴且
故答案为：且.
14. 已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则________°

【答案】或
【解析】如图，过作，而，
∴，

∴，，
∵，
∴，
∵的角平分线相交于G点，
∴，
过作，
同理：，
同理可得：．
如图，过作，而，
∴，

∴，，
∵，
∴，
∵的角平分线相交于G点，
设，，
∴，
∴，即，
过作，则，
∴，，
∴；
故答案为：或
三．（本答题共9题，满分90分）
15. 解不等式组，并在数轴表示不等式组的解集．
解：解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集如图所示：
16. 先化简分式：，再从3，2，5中选一个你认为合适的值，代入求值．
解：
，
∵，，3，
当时，原式．
17. 已知：如图，，平分，，求的度数．
解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
18. 两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．

（1）用含，的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值．
解：（1）；
；
（2），，
，
答：的值为25．
19. 阅读下面的文字，解答问题:大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知：，其中是整数，且，求的算术平方根．
解：（1），
，
∴的整数部分是4，小数部分是：，
故答案为：4，；
（2），
，
∴的小数部分为：，
，
∴，
∴的整数部分为：
∴＝
∴的值为1；
（3）
，
∴，
∴，
又∵，其中是整数，且，
∴，
∴，
∴的算术平方根是．
20. 丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
解：（1）设这项工程的规定时间是天，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
答：这项工程的规定时间是天；
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天），
则该工程施工费用是：（元），
答：该工程的费用为元．
21. 已知，关于x的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求b为何值时分式方程无解；
（3）若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
解：（1）把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：．
（2）把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即时，
此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）把a=3b代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
22. 阅读与思考
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式积，求整数p所有可能的值．
解：（1）原式
；
（2）原式
（3）∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
23. 如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．

（1）求证：；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设．
①如图2，当点G在点F右侧时，若，求的值；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
解：（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）①

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
解得；
故答案为：50；
②α和β之间的数量关系为或，理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）①得，
当点G在点F的左侧时，如图2，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，即，
综上所述，α和β之间的数量关系为或．
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
得．
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．
例如：将式子分解因式．
解：.