2024年吉林省长春市东北师大附属实验中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2024年吉林省长春市东北师大附属实验中学中考数学一模试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )
A. B. C. D.
2.空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为( )
A. 2.97×105B. 2.97×106C. 2.97×10−5D. 2.97×10−6
3.如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是( )
A. B. C. D.
4.《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只麻雀、6只燕子，分别一起称重量，结果5只麻雀重，6只燕子轻.将一只麻雀、一只燕子交换位置后称重，重量相等.5只麻雀和6只燕子重量共1斤.问麻雀、燕子每只各重多少斤？”设每只麻雀重x斤，每只燕子重y斤，可列方程组为( )
A. 5x+y=6y+x5x+6y=1B. 5x=6y5x+6y=1
C. 4x+y=5y+x5x+6y=1D. 6x=7y5x+6y=1
5.如图，衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，AB=25cm，则BC约为(参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51)( )
A. 22.25cm
B. 22.5cm
C. 25.5cm
D. 44.5cm
6.如图，边长为2的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕原点O旋转180°，则旋转后顶点D的坐标为( )
A. (−3,−2 3)
B. (−2 3,−3)
C. (3,−2 3)
D. (2 3,−3)
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D.若CD=2 3，AB=12，则△ABD的面积为( )
A. 6 3
B. 12 3
C. 18 3
D. 24 3
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B、C在x轴的正半轴上，∠ACB=90°，点D在AB边上，且AD=2DB，函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D.若点A、B的坐标分别为(4,92)、(1,0)，则k的值为( )
A. 32
B. 3
C. 4
D. 92
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：m⋅(m2)3=______．
10.不等式组4−x>02x−6≤0的解集为______．
11.若a−b= 3，ab=1，则a2b−ab2=______．
12.如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137°，则拐角∠BCD的大小为______．
13.如图，在正五边形ABCDE中，AB=2，分别以顶点A、B、C、D、E为圆心，12AB的长为半径在正五边形ABCDE内作圆弧，则图中阴影部分图形的面积为______.(结果保留π)
14.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m.则离地面150m处的水平宽度(即CD的长)为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(2x+3)2−(2x+5)(2x−5)，其中x=−13．
16.(本小题6分)
在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、−1.现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字.用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上数字为一正一负的概率．
17.(本小题6分)
电子商务的迅速崛起，带来了物流运输和配送的巨大需求.某快递公司采购A、B两种型号的机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣10件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分拣600件快递所用的时间相同，求B型机器人每小时分拣快递的件数．
18.(本小题7分)
第19届亚洲运动会于2023年10月8日在杭州市胜利闭幕.为了解某校七、八年级学生对本届亚运会的关注程度，调查组从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚运会知识竞赛，竞赛成绩分六组(x表示得分)，A：70≤x<75，B：75≤x<80，C：80≤x<85，D：85≤x<90，E：90≤x<95，F：95≤x≤100.成绩整理后绘制了统计图如下：

已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)n= ______，a= ______；
(2)八年级竞赛成绩的中位数是______；
(3)已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚运会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数．
19.(本小题7分)
如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若tan∠BDC=12，DE=EC=2，则CD的长为______．
20.(本小题7分)
图①、图②、图③均是7×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上.只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．

(1)在图①中以A、B为顶点画一个面积为3的平行四边形；
(2)在图②中以A、B为顶点画一个面积为4的平行四边形；
(3)在图③中以A、B为顶点画一个面积为10的平行四边形.(正方形除外)
21.(本小题8分)
如图①，我国传统计重工具杆秤的应用方便了人们的生活．某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x厘米(x≥4)与秤钩所挂物体重量y斤之间的关系，进行了6次称重．表为称重时所记录的一些数据．
(1)在图②的平面直角坐标系中，描出以表格中x的值为横坐标、y的值为纵坐标的各点．
(2)观察(1)所描各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式．
(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，求秤钩所挂物体的重量．
(4)若这个秤最大的秤重量是6斤，直接写出秤砣到秤纽的水平距离x的取值范围．
22.(本小题9分)
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103～104页的部分内容．
【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长CD至点E，使DE=CD，连接BE、AE…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
【定理应用】如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边的中线，DG垂直平分CE，则∠AEC=78°，则∠BCE为______度.
【拓展提高】如图③，在△ABC中，∠B=30°，∠ADC=45°，AD恰好是中线，则∠C的度数为______度.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.动点P从点B出发沿折线BC一CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作PD⊥AB于点D，以PD为直角边构造等腰直角三角形PDE，使∠DPE=90°，且点E、点C始终在PD的同侧．设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段PC的长．
(2)当点E落在AC边上时，求t的值．
(3)当点E在AB边垂直平分线上时，求t的值．
(4)连结CE，当∠PEC为锐角时，直接写出t的取值范围．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+ax+b经过点A(−1,0)、B(3,0).点P是该抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求a，b的值．
(2)当m≠0时，设抛物线与y轴交于点C，求满足S△PAB=S△ABC的所有点P的坐标．
(3)以E(m2,−1)为对称中心构造矩形PQMN，PQ⊥x轴．
①当点P在抛物线对称轴右侧且矩形PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点时，求抛物线在矩形内部的图象(包括边界)最高点与最低点纵坐标的差ℎ(ℎ>0)与m的函数关系式．
②当点F(0,−m2)在矩形PQMN的内部且抛物线在该矩形内部的图象(不包括边界)从左至右逐渐上升或逐渐下降时，直接写出m的取值范围．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.D
6.A
7.B
8.B
9.m7
10.x≤3
11. 3
12.137°
13.32π
14.40m
15.解：原式=4x2+12x+9−(4x2−25)
=4x2+12x+9−4x2+25
=12x+34，
当x=−13时，
原式=12×(−13)+34
=−4+34
=30．
16.解：画列树状图为：

共有9种等可能结果，其中一正一负的结果有4种，
∴P(一正一负)=49．
答：两次抽出的卡片上数字为一正一负的概率49．
17.解：设B型机器人每小时分拣x件快递，
由题意，得700x+10=600x，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
答：B型机器人每小时分拣60件快递．
18.(1)20，4；
(2)86.5；
(3)500×3+120+500×(1−5%−5%−20%−35%)=275(人)，
答：估计该校两个年级学生对亚运会关注程度高的学生大约一共有275人．
19.(1)证明：在△ADE与△CDE中，
AD=CDDE=DEEA=EC，
∴△ADE≌△CDE(SSS)，
∴∠ADE=∠CDE
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(2)解：连接AC交BD于O，如图所示：
由(1)得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
在Rt△OCD中，tan∠BDC=OCOD=12，
∴OD=2OC，
设OC=x，则OD=2x，OE=OD−DE=2x−2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2+OE2=EC2，
即x2+(2x−2)2=22，
解得：x=85或x=0(舍去)，
∴OC=85，OD=165，
∴CD= OC2+OD2= (85)2+(165)2=8 55，
20.解：(1)如图：

▱ABCD即为所求(答案不唯一)；
(2)如图：

▱ABCD即为所求(答案不唯一)；
(3)如图：

▱ACBD即为所求．
21.解：(1)如图所示：
(2)由(1)中图象可知，所描各点在同一直线上．
设x，y的函数关系式：y=kx+b，
把(12,1)和(28,3)代入解析式得：
12k+b=128k+b=3,
解得：k=18b=−12，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=18x−12；
(3)当x=40时，y=18×40−12=4.5，
∴秤钩所挂物体的重量为4.5斤；
(4)把y=6代入解析式得：18x−12=6，
解得：x=52，
∴4≤x≤52．
∴秤砣到秤纽的水平距离x的取值范围4≤x≤52．
22.【定理证明】证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，
则DE=CD=12CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴▱ACBE是矩形，
∴CE=AB，
∴CD=12AB；
【定理应用】解：∠B=2∠BCE，理由如下：
如图②，连接DE，
∵CE是AB边上的中线，
∴AE=BE，
∵AD⊥BC，
∴DE=12AB=AE=BE，
∴∠B=∠BDE，
∵DG垂直平分CE，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠BDE=2∠BCE，
∴∠B=2∠BCE，
∵∠AEC=∠B+∠BCE=78°，
∴∠BCE=26°，
【拓展提高】解：如图③，过点C作CH⊥AB于H，连接DH，
在Rt△BHC中，∠B=30°，
∴HC=12BC，
∵∠BHC=90°，点D是BC的中点，
∴HD=12BC=CD，
∴HC=HD=CD，
∴△HDC为等边三角形，
∴∠HCD=∠HDC=60°，
∴∠HDA=60°−45°=15°，
∵∠B=30，∠ADC=45，
∴∠BAD=45°−30°=15°，
∴∠HDA=∠HAD，
∴HA=HD=HC，
∴∠HCA=45°，
∴∠ACB=∠HCA+∠HCD=105°，
23.解：(1)由题意得AC=3，BC=4，
∴AC+BC=7，
若点P与点C重合，则5t=4，
解得t=45；
若点P与点A重合，则5t=7，
解得t=75，
当0当45(2)当点E落在AC边上，如图1，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，PB=5t，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵PD⊥AB于点D，∠DPE=90°，
∴∠PDB=∠DPE=90°，
∴PE/​/AB，
∴∠CPE=∠B，
∵PE=PD=PB⋅sinB=35×5t=3t，PC=PE⋅cs∠CPE=PE⋅csB=45PE，
∴4−5t=45×3t，
解得t=2037，
∴t的值为2037．
(3)设AB边的垂直平分线交AB于点F，交BC于点G，则AF=BF=12AB=52，
当0∵∠DPE=∠PDF=∠DFE=90°，PE=PD，
∴四边形PDFE是正方形，
∴FD=PD=3t，
∵BD+FD=BF=52，BD=BP⋅csB=45×5t=4t，
∴4t+3t=52，
解得t=514；
当45∵∠DPE=∠PDF=∠DFE=90°，PE=PD，∠ADP=90°，
∴四边形PDFE是正方形，
∴FD=PD=AP⋅sinA=45(7−5t)，
∵AD+FD=AF=52，AD=AP⋅csA=35(7−5t)，
∴35(7−5t)+45(7−5t)=52，
解得t=7370，
综上所述，t的值为514或7370．
(4)当0点P刚开始运动时，∠PEC为钝角，且∠PEC越来越小，
当∠PEC=90°时，延长CE交AB于点H，则∠BHE=∠PEC=90°，
∴BH=BC⋅csB=4×45=165，
∵∠DPE=∠PDH=∠DHE=90°，PE=PD，
∴四边形PDHE是正方形，
由(3)得DH=DP=3t，BD=4t，
∴3t+4t=165，
解得t=1635，
∴当1635当45点P刚开始从点C向点A运动时，∠PEC为锐角，且∠PEC越来越大，
当∠PEC=90°时，延长CE交AB于点H，则∠AHE=∠PEC=90°，
此时AH=AB−BH=5−165=95，
∵∠DPE=∠PDH=∠DHE=90°，PE=PD，
∴四边形PDHE是正方形，
由(3)得DH=DP=45(7−5t)，AD=35(7−5t)，
∴35(7−5t)+45(7−5t)=95，
解得t=87，
∴当45综上所述，t的取值范围是163524.解：(1)将点A(−1,0)、B(3,0)代入y=x2+ax+b，
∴1−a+b=09+3a+b=0，
解得a=−2b=−3；
(2)∵a=−2b=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
当x=0时，y=−3，
∴C(0,−3)，
∵S△PAB=S△ABC，
∴C点到AB的距离与P点到AB的距离相等，
∴P点坐标为(0,3)或(2,−3)或(2,3)，
∵m≠0，
∴P点坐标为(2,−3)或(2,3)；
(3)∵P点横坐标为m，
∴P(m,m2−2m−3)，
∵E(m2,−1)为对称中心构造矩形PQMN，
∴M点坐标为(0,−m2+2m+1)，
∵PQ⊥x轴，
∴Q(m,−m2+2m+1)，N(0,m2−2m−3)，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，
①∵P点在抛物线对称轴右侧，
∴m>1，
当N点与C点重合时，矩形PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点，此时−3=m2−2m−3，
解得m=0(舍)或m=2，
∴ℎ=0，不符合题意；
如图1，当P与Q重合时，−m2+2m+1=m2−2m−3，解得m=1+ 3或m=1− 3(舍)，
当M与C重合时，−m2+2m+1=−3，解得m=1+ 5或m=1− 5(舍)，
∴1+ 3此时ℎ=m2−2m−3−(−m2+2m+1)=2m2−4m−4；
如图2，当抛物线的顶点在MQ上时，−m2+2m+1=−4，
解得m=1+ 6或m=1− 6(舍)，
∴当m>1+ 6时，矩形PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点，
此时ℎ=m2−2m−3+4=m2−2m+1；
综上所述：当1+ 31+ 6时，ℎ=m2−2m+1；
②由①可知，P(m,m2−2m−3)，M(0,−m2+2m+1)，Q(m,−m2+2m+1)，N(0,m2−2m−3)，
如图3，当m<0时，抛物线在矩形内部的图象(不包括边界)从左至右逐渐下降，
如图4，当N点与C点重合时，m2−2m−3=−3，
解得m=0或m=2，
∴0如图5，当P与Q重合时，m2−2m−3=−m2+2m+1，解得m=1+ 3或m=1− 3(舍)，
当M点与C点重合时，−3=−m2+2m+1，解得m=1+ 5或m=1− 5(舍)，
∴当1+ 3综上所述：当m≤2时，抛物线在矩形内部的图象(不包括边界)从左至右逐渐下降，当1+ 3x
4
12
16
24
28
36
y
0
1
1.5
2.5
3
4
如图1，画Rt△ABC并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想．
已知：如图2，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD=12AB．