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    2022届吉林省长春市东北师大附中(明珠校区)中考数学模试卷含解析
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    2022届吉林省长春市东北师大附中(明珠校区)中考数学模试卷含解析

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    这是一份2022届吉林省长春市东北师大附中(明珠校区)中考数学模试卷含解析,共23页。试卷主要包含了如图,两个反比例函数y1=,对于一组统计数据,已知等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022中考数学模拟试卷
    考生须知:
    1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
    2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
    3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。

    一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1.向某一容器中注水,注满为止,表示注水量与水深的函数关系的图象大致如图所示,则该容器可能是(  )

    A. B.
    C. D.
    2.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为(  )

    A.8 B.8 C.4 D.6
    3.的负倒数是(  )
    A. B.- C.3 D.﹣3
    4.如图,两个反比例函数y1=(其中k1>0)和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2,点P在C1上.矩形PCOD交C2于A、B两点,OA的延长线交C1于点E,EF⊥x轴于F点,且图中四边形BOAP的面积为6,则EF:AC为(  )

    A.:1 B.2: C.2:1 D.29:14
    5.为了尽早适应中考体育项目,小丽同学加强跳绳训练,并把某周的练习情况做了如下记录:周一个,周二个,周三个,周四个,周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是
    A.180个,160个 B.170个,160个
    C.170个,180个 D.160个,200个
    6.对于一组统计数据:1,6,2,3,3,下列说法错误的是( )
    A.平均数是3 B.中位数是3 C.众数是3 D.方差是2.5
    7.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根为0,则a值为(  )
    A.1 B.﹣1 C.±1 D.0
    8.有三张正面分别标有数字-2 ,3, 4 的不透明卡片,它们除数字不同外,其余全部相同,现将它们背面朝上洗匀后, 从中任取一张(不放回),再从剩余的卡片中任取一张, 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是( )
    A. B. C. D.
    9.已知:如图四边形OACB是菱形,OB在X轴的正半轴上,sin∠AOB=.反比例函数y=在第一象限图象经过点A,与BC交于点F.S△AOF=,则k=(  )

    A.15 B.13 C.12 D.5
    10.一个六边形的六个内角都是120°(如图),连续四条边的长依次为 1,3,3,2,则这个六边形的周长是(  )

    A.13 B.14 C.15 D.16
    11.﹣6的倒数是(  )
    A.﹣ B. C.﹣6 D.6
    12.抛物线y=mx2﹣8x﹣8和x轴有交点,则m的取值范围是(  )
    A.m>﹣2 B.m≥﹣2 C.m≥﹣2且m≠0 D.m>﹣2且m≠0
    二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
    13.若一段弧的半径为24,所对圆心角为60°,则这段弧长为____.
    14.如图,某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°,景点B的俯角为30°,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A、B间的距离为__米(结果保留根号).

    15.如果a+b=2,那么代数式(a﹣)÷的值是______.
    16.当x ________ 时,分式 有意义.
    17.如图,矩形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点与原点O重合,AB=2, AD=1,点E的坐标为(0,2).点F(x,0)在边AB上运动,若过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2:1两部分,则x的值为__.

    18.如图,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°,则电视塔AB的高度为______米(结果保留根号).

    三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    19.(6分)如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB和线段CD,点A、B、C、D均在小正方形的顶点上.
    (1)在方格纸中画出以AB为斜边的等腰直角三角形ABE,点E在小正方形的顶点上;
    (2)在方格纸中画出以CD为对角线的矩形CMDN(顶点字母按逆时针顺序),且面积为10,点M、N均在小正方形的顶点上;
    (3)连接ME,并直接写出EM的长.

    20.(6分)动画片《小猪佩奇》分靡全球,受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片,分别是A佩奇,B乔治,C佩奇妈妈,D佩奇爸爸(四张卡片除字母和内容外,其余完全相同).姐弟两人做游戏,他们将这四张卡片混在一起,背面朝上放好.
    (1)姐姐从中随机抽取一张卡片,恰好抽到A佩奇的概率为 ;
    (2)若两人分别随机抽取一张卡片(不放回),请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.

    21.(6分)如图,在⊙O中,AB是直径,点C是圆上一点,点D是弧BC中点,过点D作⊙O切线DF,连接AC并延长交DF于点E.
    (1)求证:AE⊥EF;
    (2)若圆的半径为5,BD=6 求AE的长度.

    22.(8分)某中学为了解学生平均每天“诵读经典”的时间,在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计(设每天的诵读时间为分钟),将调查统计的结果分为四个等级:Ⅰ级、Ⅱ级、Ⅲ级、Ⅳ级.将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:

    ()请补全上面的条形图.
    ()所抽查学生“诵读经典”时间的中位数落在__________级.
    ()如果该校共有名学生,请你估计该校平均每天“诵读经典”的时间不低于分钟的学生约有多少人?
    23.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与双曲线(x>0)交于点.
    求a,k的值;已知直线过点且平行于直线,点P(m,n)(m>3)是直线上一动点,过点P分别作轴、轴的平行线,交双曲线(x>0)于点、,双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域(不含边界)记为.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
    ①当时,直接写出区域内的整点个数;②若区域内的整点个数不超过8个,结合图象,求m的取值范围.
    24.(10分)已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0。求证:方程恒有两个不相等的实数根;若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长。
    25.(10分)有这样一个问题:探究函数y=﹣2x的图象与性质.
    小东根据学习函数的经验,对函数y=﹣2x的图象与性质进行了探究.
    下面是小东的探究过程,请补充完整:
    (1)函数y=﹣2x的自变量x的取值范围是_______;
    (2)如表是y与x的几组对应值
    x

    ﹣4
    ﹣3.5
    ﹣3
    ﹣2
    ﹣1
    0
    1
    2
    3
    3.5
    4

    y






    0


    m



    则m的值为_______;
    (3)如图,在平面直角坐标系中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
    (4)观察图象,写出该函数的两条性质________.

    26.(12分)为加快城乡对接,建设美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建,如图,A,B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.开通隧道前,汽车从A地到B地要走多少千米?开通隧道后,汽车从A地到B地可以少走多少千米?(结果保留根号)

    27.(12分)如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.

    (1)证明:DE为⊙O的切线;
    (2)连接DC,若BC=4,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积.



    参考答案

    一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1、D
    【解析】
    根据函数的图象和所给出的图形分别对每一项进行判断即可.
    【详解】
    由函数图象知: 随高度h的增加, y也增加,但随h变大, 每单位高度的增加, 注水量h的增加量变小, 图象上升趋势变缓, 其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半径由底到顶逐渐变小, 故D项正确.
    故选: D.
    【点睛】
    本题主要考查函数模型及其应用.
    2、D
    【解析】
    分析: 连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,再根据矩形的性质可得OA=OB,根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO,再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°,即∠BAC=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.
    详解: 如图,连接OB,

    ∵BE=BF,OE=OF,
    ∴BO⊥EF,
    ∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,
    由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,
    ∴∠BAC=∠ABO,
    又∵∠BEF=2∠BAC,
    即2∠BAC+∠BAC=90°,
    解得∠BAC=30°,
    ∴∠FCA=30°,
    ∴∠FBC=30°,
    ∵FC=2,
    ∴BC=2,
    ∴AC=2BC=4,
    ∴AB===6,
    故选D.
    点睛: 本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,综合题,但难度不大,(2)作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键.
    3、D
    【解析】
    根据倒数的定义,互为倒数的两数乘积为1,2×=1.再求出2的相反数即可解答.
    【详解】
    根据倒数的定义得:2×=1.
    因此的负倒数是-2.
    故选D.
    【点睛】
    本题考查了倒数,解题的关键是掌握倒数的概念.
    4、A
    【解析】
    试题分析:首先根据反比例函数y2=的解析式可得到=×3=,再由阴影部分面积为6可得到=9,从而得到图象C1的函数关系式为y=,再算出△EOF的面积,可以得到△AOC与△EOF的面积比,然后证明△EOF∽△AOC,根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF﹕AC=.
    故选A.
    考点:反比例函数系数k的几何意义
    5、B
    【解析】
    根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.
    【详解】
    解:把这些数从小到大排列为160,160,170,180,200,最中间的数是170,则中位数是170;
    160出现了2次,出现的次数最多,则众数是160;
    故选B.
    【点睛】
    此题考查了中位数和众数,掌握中位数和众数的定义是解题的关键;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数.
    6、D
    【解析】
    根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得.
    【详解】
    解:A、平均数为=3,正确;
    B、重新排列为1、2、3、3、6,则中位数为3,正确;
    C、众数为3,正确;
    D、方差为×[(1-3)2+(6-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2]=2.8,错误;
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查了众数、平均数、中位数、方差.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
    7、B
    【解析】
    根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出:a﹣1≠0,a2﹣1=0,求出a的值即可.
    【详解】
    解:把x=0代入方程得:a2﹣1=0,
    解得:a=±1,
    ∵(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0是关于x的一元二次方程,
    ∴a﹣1≠0,
    即a≠1,
    ∴a的值是﹣1.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了对一元二次方程的定义,一元二次方程的解等知识点的理解和运用,注意根据已知得出a﹣1≠0,a2﹣1=0,不要漏掉对一元二次方程二次项系数不为0的考虑.
    8、C
    【解析】
    画树状图得:

    ∵共有6种等可能的结果,两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况,
    ∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是:.
    故选C.
    【点睛】运用列表法或树状图法求概率.注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
    9、A
    【解析】
    过点A作AM⊥x轴于点M,设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标,再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上,即可得出S△AOF=S菱形OBCA,结合菱形的面积公式即可得出a的值,进而依据点A的坐标得到k的值.
    【详解】
    过点A作AM⊥x轴于点M,如图所示.

    设OA=a=OB,则,
    在Rt△OAM中,∠AMO=90°,OA=a,sin∠AOB=,
    ∴AM=OA•sin∠AOB=a,OM=a,
    ∴点A的坐标为(a,a).
    ∵四边形OACB是菱形,S△AOF=,
    ∴OB×AM=,
    即×a×a=39,
    解得a=±,而a>0,
    ∴a=,即A(,6),
    ∵点A在反比例函数y=的图象上,
    ∴k=×6=1.
    故选A.
    【解答】
    解:
    【点评】
    本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是利用S△AOF=S菱形OBCA.
    10、C
    【解析】
    解:如图所示,分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I.

    因为六边形ABCDEF的六个角都是120°,
    所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.
    所以都是等边三角形.
    所以



    所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15;
    故选C.
    11、A
    【解析】
    解:﹣6的倒数是﹣.故选A.
    12、C
    【解析】
    根据二次函数的定义及抛物线与x轴有交点,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围.
    【详解】
    解:∵抛物线和轴有交点,
    ,
    解得:且.
    故选.
    【点睛】
    本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组,牢记“当时,抛物线与x轴有交点是解题的关键.

    二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
    13、8π
    【解析】
    试题分析:∵弧的半径为24,所对圆心角为60°,
    ∴弧长为l==8π.
    故答案为8π.
    【考点】弧长的计算.
    14、100+100
    【解析】
    【分析】由已知可得∠ACD=∠MCA=45°,∠B=∠NCB=30°,继而可得∠DCB=60°,从而可得AD=CD=100米,DB= 100米,再根据AB=AD+DB计算即可得.
    【详解】∵MN//AB,∠MCA=45°,∠NCB=30°,
    ∴∠ACD=∠MCA=45°,∠B=∠NCB=30°,
    ∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠CDB=90°,∠DCB=60°,
    ∵CD=100米,∴AD=CD=100米,DB=CD•tan60°=CD=100米,
    ∴AB=AD+DB=100+100(米),
    故答案为:100+100.
    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题,解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.
    15、2
    【解析】
    分析:根据分式的运算法则即可求出答案.
    详解:当a+b=2时,
    原式=
    =
    =a+b
    =2
    故答案为:2
    点睛:本题考查分式的运算,解题的关键熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
    16、x≠3
    【解析】
    由题意得
    x-3≠0,
    ∴x≠3.
    17、或﹣.
    【解析】
    试题分析:当点F在OB上时,设EF交CD于点P,
    可求点P的坐标为(,1).
    则AF+AD+DP=3+x, CP+BC+BF=3﹣x,
    由题意可得:3+x=2(3﹣x),
    解得:x=.
    由对称性可求当点F在OA上时,x=﹣,
    故满足题意的x的值为或﹣.
    故答案是或﹣.
    【点睛】
    考点:动点问题.
    18、.
    【解析】
    解:如图,连接AN,由题意知,BM⊥AA',BA=BA',∴AN=A'N,∴∠ANB=∠A'NB=45°,∵∠AMB=22.5°,∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN,∴AN=MN=200米,在Rt△ABN中,∠ANB=45°,∴AB=AN=(米),故答案为.

    点睛:此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角,主要考查了垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,解本题的关键是求出∠ANB=45°.

    三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    19、(1)画图见解析;(2)画图见解析;(3).
    【解析】
    (1)直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出符合题意的图形;
    (2)根据矩形的性质画出符合题意的图形;
    (3)根据题意利用勾股定理得出结论.
    【详解】
    (1)如图所示;

    (2)如图所示;
    (3)如图所示,在直角三角形中,根据勾股定理得EM=.
    【点睛】
    本题考查了勾股定理与作图,解题的关键是熟练的掌握直角三角形的性质与勾股定理.
    20、(1);(2)
    【解析】
    (1)直接利用求概率公式计算即可;(2)画树状图(或列表格)列出所有等可能结果,根据概率公式即可解答.
    【详解】
    (1);
    (2)方法1:根据题意可画树状图如下: 方法2:根据题意可列表格如下:

    弟弟
    姐姐
    A
    B
    C
    D
    A

    (A,B)
    (A,C)
    (A,D)
    B
    (B,A)

    (B,C)
    (B,D)
    C
    (C,A)
    (C,B)

    (C,D)
    D
    (D,A)
    (D,B)
    (D,C)

    由列表(树状图)可知,总共有12种结果,每种结果出现的可能性相同,其中姐姐抽到A佩奇,弟弟抽到B乔治的结果有1种:(A,B).
    ∴P(姐姐抽到A佩奇,弟弟抽到B乔治)
    【点睛】
    本题考查的是用列表法或树状图法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解决问题用到概率公式:概率=所求情况数与总情况数之比.
    21、(1)详见解析;(2)AE=6.1.
    【解析】
    (1)连接OD,利用切线的性质和三角形的内角和证明OD∥EA,即可证得结论;
    (2)利用相似三角形的判定和性质解答即可.
    【详解】
    (1)连接OD,

    ∵EF是⊙O的切线,
    ∴OD⊥EF,
    ∵OD=OA,
    ∴∠ODA=∠OAD,
    ∵点D是弧BC中点,
    ∴∠EAD=∠OAD,
    ∴∠EAD=∠ODA,
    ∴OD∥EA,
    ∴AE⊥EF;
    (2)∵AB是直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∵圆的半径为5,BD=6
    ∴AB=10,BD=6,
    在Rt△ADB中,,
    ∵∠EAD=∠DAB,∠AED=∠ADB=90°,
    ∴△AED∽△ADB,
    ∴,
    即,
    解得:AE=6.1.
    【点睛】
    本题考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用以及圆周角定理,关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答.
    22、)补全的条形图见解析()Ⅱ级.().
    【解析】
    试题分析:(1)根据Ⅱ级的人数和所占的百分比即可求出总数,从而求出三级人数,进而补全图形;
    (2)把所有同类数据按照从小到大的顺序排列,中间的数据是中位数,则该数在Ⅱ级.;
    (3)由样本估计总体,由于时间不低于的人数占,故该类学生约有408人.
    试题解析: (1)本次随机抽查的人数为:20÷40%=50(人).三级人数为:50-13-20-7=10.
    补图如下:

    (2)把所有同类数据按照从小到大的顺序排列,中间的数据是中位数,则该数在Ⅱ级.
    (3)由样本估计总体,由于时间不低于的人数占,所以该类学生约有.
    23、(1),;(2)① 3,② .
    【解析】
    (1)将代入可求出a,将A点坐标代入可求出k;
    (2)①根据题意画出函数图像,可直接写出区域内的整点个数;
    ②求出直线的表达式为,根据图像可得到两种极限情况,求出对应的m的取值范围即可.
    【详解】
    解:(1)将代入得a=4
    将代入,得
    (2)①区域内的整点个数是3
    ②∵直线是过点且平行于直线
    ∴直线的表达式为
    当时,即线段PM上有整点


    【点睛】
    本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题,正确理解整点的定义并画出函数图像,运用数形结合的思想是解题关键.
    24、(1)见详解;(2)4+或4+.
    【解析】
    (1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论.
    (2)根据一元二次方程的解的定义求得m值,然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论:①当该直角三角形的两直角边是2、3时,②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时,由勾股定理求出得该直角三角形的另一边,再根据三角形的周长公式进行计算.
    【详解】
    解:(1)证明:∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4,
    ∴在实数范围内,m无论取何值,(m-2)2+4≥4>0,即△>0.
    ∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根.
    (2)∵此方程的一个根是1,
    ∴12-1×(m+2)+(2m-1)=0,解得,m=2,
    则方程的另一根为:m+2-1=2+1=3.
    ①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为,该直角三角形的周长为1+3+=4+.
    ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为;则该直角三角形的周长为1+3+=4+.
    25、(1)任意实数;(2);(3)见解析;(4)①当x<﹣2时,y随x的增大而增大;②当x>2时,y随x的增大而增大.
    【解析】
    (1)没有限定要求,所以x为任意实数,
    (2)把x=3代入函数解析式即可,
    (3)描点,连线即可解题,
    (4)看图确定极点坐标,即可找到增减区间.
    【详解】
    解:(1)函数y=﹣2x的自变量x的取值范围是任意实数;
    故答案为任意实数;
    (2)把x=3代入y=﹣2x得,y=﹣;
    故答案为﹣;
    (3)如图所示;
    (4)根据图象得,①当x<﹣2时,y随x的增大而增大;
    ②当x>2时,y随x的增大而增大.
    故答案为①当x<﹣2时,y随x的增大而增大;
    ②当x>2时,y随x的增大而增大.

    【点睛】
    本题考查了函数的图像和性质,属于简单题,熟悉函数的图像和概念是解题关键.
    26、 (1)开通隧道前,汽车从A地到B地要走(80+40)千米;(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40(﹣)]千米.
    【解析】
    (1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△ACD中,解直角三角形求出CD,进而解答即可;
    (2)在直角△CBD中,解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程.
    【详解】
    (1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,
    ∵AB⊥CD,sin30°=,BC=80千米,
    ∴CD=BC•sin30°=80×=40(千米),
    AC=(千米),
    AC+BC=80+(千米),
    答:开通隧道前,汽车从A地到B地要走(80+)千米;
    (2)∵cos30°=,BC=80(千米),
    ∴BD=BC•cos30°=80×(千米),
    ∵tan45°=,CD=40(千米),
    ∴AD=(千米),
    ∴AB=AD+BD=40+(千米),
    ∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为:AC+BC﹣AB=80+﹣40﹣=40+40(千米).
    答:汽车从A地到B地比原来少走的路程为 [40+40]千米.

    【点睛】
    本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
    27、(1)详见解析;(2).
    【解析】
    (1)连接OD,由平行线的判定定理可得OD∥AC,利用平行线的性质得∠ODE=∠DEA=90°,可得DE为⊙O的切线;
    (2)连接CD,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积利用扇形DOC面积-三角形DOC的面积计算即可.
    【详解】
    解:
    (1)证明:连接OD,
    ∵OD=OB,
    ∴∠ODB=∠B,
    ∵AC=BC,
    ∴∠A=∠B,
    ∴∠ODB=∠A,
    ∴OD∥AC,
    ∴∠ODE=∠DEA=90°,
    ∴DE为⊙O的切线;
    (2)连接CD,
    ∵∠A=30°,AC=BC,
    ∴∠BCA=120°,
    ∵BC为直径,
    ∴∠ADC=90°,
    ∴CD⊥AB,
    ∴∠BCD=60°,
    ∵OD=OC,
    ∴∠DOC=60°,
    ∴△DOC是等边三角形,
    ∵BC=4,
    ∴OC=DC=2,
    ∴S△DOC=DC×=,
    ∴弧DC与弦DC所围成的图形的面积=﹣=﹣.

    【点睛】
    本题考查的知识点是等腰三角形的性质、切线的判定与性质以及扇形面积的计算,解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质以及扇形面积的计算.

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