2023-2024学年四川省巴中市八年级（下）期末数学试卷（北师大版）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省巴中市八年级（下）期末数学试卷（北师大版）（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列代数式为分式的是( )
A. a2x−1B. xπ+1C. 12x+yD. x2+y
2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列由左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. (x−3)(x+3)=x2−9B. ax+ay−1=a(x+y)−1
C. m2+4m+4=(m+2)2D. y2+y+1=y(y+1+1y)
4.平面直角坐标系内一点P(−2,4)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (4,−2)B. (2,4)C. (−2,−4)D. (2,−4)
5.若a、b都是实数且a>b，则下列不等式正确的是( )
A. ax>bxB. 1−a>1−bC. 2a>2bD. a26.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110∘，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为( )
A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘
7.下列命题是真命题的是( )
A. 两锐角分别相等的两个直角三角形全等
B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C. 平行四边形对角线相等
D. 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合
8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是( )
A. 540x−2−540x=3B. 540x+2−540x=3C. 540x−540x+2=3D. 540x−540x−2=3
10.如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，则关于x的不等式x+bA. x>−2B. x<−2C. x>−4D. x<−4
11.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC的面积为15，则BM+MD的最小长度为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
12.如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D是BC上一点，点E是AB上一点，连接AD，DE.若D是BC的中点，AC=6，BC=8，且△BED为直角三角形，则线段BE的长度为( )
A. 5或165
B. 145或165
C. 5或145
D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.在函数y= 3x−1中，自变量x的取值范围是______.
14.如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2).则顶点B的坐标是______.
15.一个多边形外角和是内角和的29，则这个多边形的边数为______.
16.若关于x的分式方程xx−1+2m1−x=−1有增根，则m=______.
17.若关于x的不等式组2x+1>x+ax2+1≥52x−9所有整数解的和为14，则整数a的值为______.
18.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=30∘，直线l⊥AB.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是______.
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)解不等式组3(x−1)−x<22x+13≤x+1
(2)解方程：1x−3+x−13−x=−3.
(3)先化简：(xx−2−4x2−2x)÷x+2x2，然后从−2≤x≤ 5中选一个你认为合适的整数作为x的值代入求值.
20.(本小题10分)
已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD//BC，AE=CF.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的长．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)、B(4,2)、C(3,4).
(1)将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是______
22.(本小题8分)
为深化全民阅读，推进“书香巴中”建设，我校图书借阅室决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书.已知每本甲种书比每本乙种书多8元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1600元和1200元.
(1)求甲、乙两种书的单价；
(2)由于借书学生人数较多，学校决定再次购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过3000元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
23.(本小题10分)
我们把形如x+abx=a+b(a、b不为零)，且两个解分别为x1=a，x2=b的方程称为“十字分式方程”.
例如：x+5x=6为“十字分式方程”，可化为x+1×5x=1+5，∴x1=1，x2=5.
再如：x+6x=−5为“十字分式方程”，可化为x+(−2)×(−3)x=(−2)+(−3)，∴x1=−2，x2=−3.
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若x+8x=−6为“十字分式方程”，则x1=______，x2=______；
(2)请利用上述方法求“十字分式方程”x+12x−2=−6的解；
(3)若“十字分式方程”x−3x=−6的两个解分别为x1=m，x2=n，求nm+mn的值.
24.(本小题18分)
(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，CD之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=CF，从而把AB，AD，CD转化在一个三角形中即可判断：AB，AD，CD之间的等量关系为______；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图③，AB//CF，AE与BC交于点E，且点E是BC的中点，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE=30∘，若AB=6，CF=2，求CD的值．
25.(本小题18分)
如图，直线l1：y1=kx+1与直线l2:y2=−12x+b交于点A(1,32),l1与x轴交于点B，l2与x轴交于点C.
(1)求点B和点C的坐标；
(2)P为直线l1上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线l2交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
(3)点M是y轴上一点，点N是直线l1上一点，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出点N的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据分式的定义可知，四个选项中，只有A选项中的式子分母中含有字母是分式，符合题意，
故选：A.
根据分式的定义解答即可．
本题主要考查了分式的概念，形如AB(B≠0)(A、B都是整式，且B中含有字母)的式子叫分式，关键掌握判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
2.【答案】B
【解析】解：A、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B.
根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可．
本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、x2−9不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B、a(x+y)−1不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C、是因式分解，故符合题意；
D、y+1+1y不是整式，不是因式分解，故不符合题意；
故选：C.
根据因式分解的定义：“把一个多项式转化成整式乘积的形式”进行逐一判断即可求解．
本题考查因式分解的定义，解题的关键是理解因式分解的定义．
4.【答案】D
【解析】解：根据中心对称的性质，得点P(−2,4)关于原点对称点的点的坐标是(2,−4).
故选：D.
根据平面直角坐标系中任意一点P((x,y),关于原点的对称点是(−x,−y)，据此求解即可．
本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、不等式a>b的两边同时乘x，若x>0，则不等号方向不变，即ax>bx，当x<0时不成立，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、不等式a>b的两边同时乘−1加上1，不等号方向改变，即1−a<1−b，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、不等式a>b的两边同时乘2，不等号方向不变，即2a>2b，原变形正确，故本选项符合题意；
D、不等式a>b的两边同时除以2，不等号方向不变，即a2>b2，原变形错误，故本选项不符合题意．
故选：C.
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可．
本题考查了不等式的性质．熟练掌握解不等式是关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110∘，得到△ADE
∴AB=AD，∠BAD=110∘
由三角形内角和
∠B=180∘−∠BAD2=180∘−110∘2=35∘
故选：B.
由旋转可知，AB=AD且∠BAD=110∘，则有三角形内角和可以计算∠B
本题是几何图形旋转问题，考查了图形旋转的性质、三角形内角和以及等腰三角形的性质．
7.【答案】D
【解析】解：A、两锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，没有边相等不能推导全等，故选项A错误，不符合题意；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B错误，不符合题意；
C、平行四边形对角线不一定相等，故选项C错误，不符合题意；
D、等腰三角形“三线合一”性质：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合，故选项D正确，符合题意；
故选：D.
根据全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质逐个判断即可得到答案．
本题考查命题与定理，直角三角形全等的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记以上知识点是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB//DC，AB=CD，OD=OB，
∴∠CDP=∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP=∠ADP，
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∵CD=6，
∴AB=6，
∴PB=AB−AP=6−4=2，
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO=12PB=1，
故选：A.
根据平行四边形的性质可得AB//DC，AB=CD，OD=OB，可得∠CDP=∠APD，根据DP平分∠ADC，可得∠CDP=∠ADP，从而可得∠ADP=∠APD，可得AP=AD=4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得EO=12PB，即可求出EO的长．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，
根据原计划完成的时间-实际完成的时间=3天，
得：540x−540x+2=3，
故选：C.
设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，根据原计划完成的时间-实际完成的时间=3天列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据原计划完成的时间-实际完成的时间=3天列出方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由图象可知两直线的交点P的横坐标为−2，且当x<−2时，函数y1=x+b的图象都在函数y2=kx−1图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为x<−2.
故选：B.
观察函数图象得到，当x<−2，函数y1=x+b的图象都在函数y2=kx−1图象的下方，即可得到关于x的不等式x+b本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：连接AD，交直线EF于点N，连接BN，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC=12⋅BC⋅AD=15，BC=5，
∴AD=15×25=6.
由作图过程可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴NA=NB，
∴当点M与点N重合时，BM+MD=BN+ND=AN+ND=AD，为最小值，
∴BM+DM的最小值为6.
故选：B.
连接AD，交直线EF于点N，连接BN.结合等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据三角形的面积公式可求出AD=6.由作图过程可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，则NA=NB，可知当点M与点N重合时，BM+MD=AN+ND=AD，为最小值，即可得出答案．
本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵D是BC的中点，BC=8，
∴BD=12BC=4
当∠BED=90∘时，S△BED=12BD⋅AC=12AB⋅DE，
即12×4×6=12×10⋅DE，
∴DE=125，
∴BE= BD2−DE2=165；
当∠BDE=90∘时，∠BDE=∠C=90∘，
∴AC//DE，
取AB的中点为P，
又∵D是BC的中点，
∴AC//DP，
∴点P即为点E(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)
∴BE=12AB=5；
综上所述：线段BE的长度为5或165，
故选：A.
运用勾股定理求出AB，再分当∠BED=90∘时和当∠BDE=90∘时两种情况讨论即可得解．
本题考查勾股定理，等面积法，三角形中位线定理等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
13.【答案】x≥13
【解析】解：由题意得，3x−1≥0，
解得：x≥13，
故答案为：x≥13.
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
14.【答案】(4,2)
【解析】解：如图，延长BC交y轴于点D，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA，BC//OA，
∵OA⊥y轴，
∴BC⊥y轴，
∵A(3,0)，C(1,2)，
∴BC=OA=3，CD=1，OD=2，
∴BD=CD+BC=1+3=4，
∴B(4,2)，
故答案为：(4,2).
延长BC交y轴于点D，由平行四边形的性质得BC=OA，BC//OA，再证BC⊥y轴，然后求出BC=OA=3，CD=1，OD=2，则BD=CD+BC=4，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】11
【解析】解：根据题意可得：29⋅(n−2)⋅180∘=360∘，
解得：n=11，
故答案为：11.
多边形的内角和定理为(n−2)⋅180∘，多边形的外角和为360∘，根据题意列出方程求出n的值．
本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．
16.【答案】12
【解析】解：xx−1+2m1−x=−1，
去分母得：x−2m=1−x，
解得：x=1+2m2，
∵关于x的分式方程xx−1+2m1−x=−1有增根，
∴x−1=0，
∴x=1，
即1+2m2=1，
解得：m=12.
故答案为：12
先求出x=1+2m2，再根据原分式方程有增根可得x=1，即可求解．
本题主要考查了分式方程的增根问题．理解增根的性质是关键．
17.【答案】2或−1
【解析】解：{2x+1>x+a①x2+1⩾52x−9②，
解不等式①得：x>a−1，
解不等式②得：x≤5，
∴a−1∵所有整数解的和为14，
∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，−1，
∴1≤a−1<2或−2≤a−1<−1，
∴2≤a<3或−1≤a<0，
∵a为整数，
∴a=2或a=−1，
故答案为：2或−1.
求出a−1本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组．
18.【答案】10+2 3
【解析】解：∵∠B=30∘，直线l⊥AB，
∴BE=2EF，
由图可得，
AB=4cs30∘=4× 32=2 3，
BC=5，
AD=7−4=3，
当EF平移到点F与点D重合时，如右图所示，
∵∠FEB=60∘，
∴∠DEC=60∘，
∵DE=CE=2，
∴△DEC为等边三角形，
∴CD=2.
∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD=2 3+5+3+2=10+2 3，
故答案为：10+2 3.
根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)由①得：x<52，
由②得：x≥−2，
∴不等式组的解集是：−2≤x<52；
(2)方程两边同时乘以(3−x)得：−1+x−1=−3(3−x)，
解得：x=72，
检验：把x=72代入3−x，得3−72=−12≠0，
∴x=72是原方程的解；
(3)原式=[xx−2−4x(x−2)]÷x+2x2
=x2−4x(x−2)⋅x2x+2
=(x+2)(x−2)x(x−2)⋅x2x+2
=x，
要使分式有意义，x(x−2)≠0且x+2≠0，
∴x≠±2且x≠0，
∵x满足条件−2≤x< 5的一个整数，
∴当x=−1时，原式=−1.
【解析】(1)根据解不等式组的一般步骤求解即可；
(2)根据解分式方程的一般步骤求解即可；
(3)先利用分式的性质进行化简，再根据分式有意义的条件可得x≠±2且x≠0，再代入求值即可．
本题考查解一元一次不等式组、解分式方程、分式的混合运算及分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90∘，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
∠DEA=∠BFC=90∘AE=CF∠DAE=∠BCF，
∴△DAE≌△BCF(ASA)，
∴AD=CB，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DH//BG，
∴∠DHA=∠GBA，
∵∠DAH=∠GBA，
∴∠DHA=∠DAH，
∴DA=DH.
在Rt△CFG中，
∵GF=2，CF=4，
∴CG= CF2+GF2= 42+22=2 5，
∴AH=2 5.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DHBG为平行四边形，
∴DH=BG，
∵DA=DH，DA=CB，
∴BG=BC.
在Rt△CFB中，
∵BF=BG−FG=BC−2，CF=4，
∴BC2=BF2+CF2，
∴BC2=(BC−2)2+42，
∴BC=5.
∴AD=BC=5.
【解析】(1)证明△DAE≌△BCF，可得AD=CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
(2)根据勾股定理可得CG，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAE≌△BCF.
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)(−2,0)
【解析】解：(1)见答案
(2)见答案
(3)如图，点P的坐标是(−2,0).
故答案为：(−2,0).
【分析】
(1)依据△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，即可画出△A1B1C1；
(2)依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)连接两对对应点，其交点即为对称中心．
本题考查的是作图-旋转变换、平移变换，根据题意作出各点在几何变换下的对应点是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲种书的单价为x元，则乙种书的单价为(x−8)元，由题意得：
1600x=1200x−8，
解得x=32，
经检验，x=32是原分式方程的解，且符合实际，
∴x−8=32−8=24，
答：甲、乙两种书的单价分别为32元、24元．
(2)设该校购买了甲种书m本，则购买了乙种书(100−m)本，由题意得：
32m+24(100−m)≤3000，
解得：m≤75，
答：该校最多购买75本甲种书．
【解析】(1)设甲种书的单价为x元，则乙种书的单价为(x−8)元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1600元和1200元，列出方程，解方程即可；
(2)设该校购买了甲种书m本，则购买了乙种书(100−m)本，根据总费用不超过3000元，列出不等式，解不等式即可．
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和不等关系列出不等式．
23.【答案】−2−4
【解析】解：(1)∵x+8x=−6为“十字分式方程”，
∴x+−2×(−4)x=−2+(−4)，
x1=−2，x2=−4；
故答案为：−2，−4；
(2)∵x+12x=−6为“十字分式方程”，
∴x−2+12x−2=−8，
∴x−2+(−2)×(−6)x−2=(−2)+(−6)，
∴x−2=−2或x−2=−6，
∴x1=0，x2=−4；
(3)∵“十字分式方程”x−3x=−6的两个解分别为x1=m，x2=n，
∴x1x2=mn=−3，x1+x2=m+n=−6，
∴nm+mn=m2+n2mm=(m+n)2−2mmmn=36+6−3=−14.
(1)根据新定义得到x+−2×(−4)x=−2+(−4)，即得x1=−2，x2=−4；
(2)根据新定义得到x−2+(−2)×(−6)x−2=(−2)+(−6)，得到x−2=−2或x−2=−6，即得x1=0，x2=−4；
(3)根据新定义得到x1x2=mn=−3，x1+x2=m+n=−6，得到nm+mn=−14.
本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键．
24.【答案】AD=CD+CF
【解析】解：(1)延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠ECF，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=CF，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠CFE，
∴AD=DF=CD+CF=CD+AB，
故答案为：AD=CD+CF；
(2)AB=CF+AF，理由：如图②，
延长AE，DC相交于点P，
同(1)的方法得，△ABE≌△PCE(AAS)，
∴AB=CP，
∵AE是∠BAF的角平分线，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AB//CD，
∴∠P=∠BAE，
∴∠FAE=∠P，
∴AF=PF，
∵CP=CF+PF=CF+AF，
∴AB=CF+AF；
(3)如图③，
延长AE，CF相交于G，
同(1)的方法得，△ABE≌△GCE(AAS)，
∴AB=CG=6，
∵CF=2，
∴FG=CG−CF=4，
∵AB//CD，
∴∠G=∠BAE，
∵∠EDF=∠BAE=30∘，
∴∠G=∠DEF=30∘，
∴∠DFG=120∘，DF=FG，
∴∠DFC=60∘，
过点F作FH⊥DG于G，
∴DH=GH，∠FHG=90∘，∠GFH=∠DFH=12∠DFG=60∘=∠DFC，
在Rt△FHG中，∠G=30∘，
∴FH=12FG=2=CF，
根据勾股定理得，HG= FG2−FH2=2 3，
在△DFC和△DFH中，
CF=HF∠DFC=∠DFHDF=DF，
∴△DFC≌△DFH(SAS)，
∴CD=DH=2 3.
(1)先判断出△AEB≌△FEC(AAS)，得出AB=CF，得出∠BAE=∠DAE，进而得出∠DAE=∠CFE，AD=DF，即可得出结论；
(2)同(1)的方法，即可得出结论；
(3)同(1)的方法判断出AB=CF+AF，进而求出FG，再求出HG，最后△DFC≌△DFH(SAS)，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)直线l1：y1=kx+1与直线l2:y2=−12x+b交于点A(1,32),l1与x轴交于点B，将A(1,32)代入y1=kx+1得：
k+1=32，
∴k=12，
∴y1=12x+1，
当y=12x+1=0时，x=−2，
∴B(−2,0)，
将A(1,32)代入y2=−12x+b得：
−12+b=32，
∴b=2，
∴y1=−12x+2，
当y=−12x+2=0时，x=4，
∴C(4,0).
(2)P为直线l1上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线l2交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，
∴点P的坐标是(m,12m+1)，点Q的坐标是(m,−12m+2)，
当m<0时，PQ=−12m+2−(12m+1)=−m+1，
∴S△OPQ=12⋅|m|⋅PQ=12⋅(−m)(−m+1)=12m2−12m，
当0≤m≤1时，PQ=−12m+2−(12m+1)=−m+1，
∴S△OPQ=12⋅|m|⋅PQ=12⋅m(−m+1)=−12m2+12m，
当m>1时，PQ=12m+1−(−12m+2)=m−1，
∴S△OPQ=12⋅|m|⋅PQ=12⋅m(m−1)=12m2−12m，
综上所述：S与m之间的函数关系式S=−12m2+12m或S=12m2−12m；
(3)设点N的坐标为(a,12a+1)，点M的坐标为(0,n)，
∵以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
当AC与MN为对角线时，1+42=a+0232+02=12a+1+n2，
得a=5n=−2，
∴N(5,72)，
当AM与CN为对角线时，1+02=a+4232+n2=12a+1+02，
得a=−3n=−2，
∴N(−3,−12)，
当AN与MC为对角线时，1+a2=4+0232+12a+12=0+n2，
得：a=3n=4，
∴N(3,52)，
综上所述：N(5,72)、N(−3,−12)或N(3,52).
【解析】(1)将点A分别代入y1=kx+1，y2=−12x+b，得出k，b，求出函数表达式，令y=0，分别代入y1，y2即可得出答案；
(2)分别表示出点P、Q的坐标，分m<0，0≤m≤1，m>1时，利用S△OPQ=12⋅|m|⋅PQ计算即可；
(3)表示出点M、N坐标，然后当AC与MN为对角线，AM与CN为对角线，AN与MC为对角线，分别求解即可．
本题考查了一次函数综合应用，平行四边形的判定和性质，面积的计算，一次函数与动点问题，用分类讨论的思想是题的关键．