2025年高考数学一轮复习-9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含解析】，共11页。试卷主要包含了 若圆C1， [2024·文昌模拟]， [2024·揭阳模拟]等内容，欢迎下载使用。

1. 若直线mx−y+m+3=0与圆x2+y2=4相切，则m的值为（ ）.
A. 3B. 1C. 33D. −3
2. [2024·吉安模拟]下列能将圆x2+y2−2x−4y+4=0平分的直线是（ ）.
A. x+y−1=0B. x+y+3=0C. x−y+1=0D. x−y+3=0
3. 若圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2−2mx+m2−m=0外切，则实数m=（ ）.
A. −1B. 1C. 1或4D. 4
4. （改编）圆x2+y2−4x−4y−10=0上的点到直线x+y+6=0的最大距离与最小距离之和为（ ）.
A. 22B. 42C. 82D. 102
5. （改编）若一条光线从点A−2,−3射出，经y轴反射后与圆x+32+y−22=1相切，则反射光线在y轴上的截距为（ ）.
A. 23B. 43C. −43或−34D. −13或−32
6. [2024·上饶模拟]已知A，B为圆C：x−m2+y−n2=4m,n∈R上两个不同的点，C为圆心，且满足CA+CB=23，则AB=（ ）.
A. 23B. 22C. 2D. 4
7. [2024·九江模拟]已知直线l：x+y+2=0与x轴，y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y=−mxm∈R和l2：my−x−4m+2=0交于点P，则△MNP的面积的最小值为（ ）.
A. 10B. 5−10C. 22D. 210−3
8. [2024·益阳模拟]若直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）.
A. [−1,2]B. (−2,−1]C. (−1,1]∪{−2}D. −2,1
综合提升练
9. [2024·文昌模拟]（多选题）已知圆O1：x2+y2−2x−3=0和圆O2：x2+y2−2y−1=0的两个交点分别为A,B，直线l：x+y+λ=0与圆O1交于C,D两点，则下列结论正确的是（ ）.
A. 直线AB的方程为x−y+2=0
B. 圆O2上存在两点P和Q，使得PQ>AB
C. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2
D. 若O1C⊥O1D，则λ=−3或λ=1
10. [2024·揭阳模拟]（多选题）已知直线l：3x+2y+m=0，圆C：x2+y2+4x−y+14=0，则下列说法错误的是（ ）.
A. 若m=5+13或m=5−13，则直线l与圆C相切
B. 若m=5，则圆C关于直线l对称
C. 若圆E：x2+y2+52x−2y−58m=0与圆C相交，且两个交点所在的直线恰为l，则m=2
D. 若m>5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则5+1311. [2024·衡水模拟]若圆C1：x2+y2=1和圆C2：x2+y2−23ax−2ay−5a=0a>12有且仅有一条公切线，则a=_________.
12. [2024·岳阳联考]已知圆O：x2+y2=1，点P在直线l：x−y−22=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，记劣弧AB⌢与PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则S的值为_______
应用情境练
13. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A−2,0，动点M满足MA=2MO，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y=kx−1+b与圆C恒有公共点，则实数b的取值范围为_______
14. [2024·扬州模拟]圆O（O为坐标原点）与直线l：x+y=2相切，与直线l垂直的直线m与圆O交于不同的两点P，Q，若OP⋅OQ<0，则直线m的纵截距的取值范围是_______
创新拓展练
15. [2024·昆明联考]已知圆O：x2+y2=4，过点P1,1的直线l与圆O交于A,B两点，则OA⋅OB的取值范围为______
16. [2024·潍坊联考]已知⊙C的圆心在直线3x−y−3=0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x−y+3=0截得的弦长为2.
（1）求⊙C的标准方程.
（2）设点D在⊙C上运动，且点T满足DT=2TO（O为原点），记点T的轨迹为E.
①求曲线E的方程.
②若过点M1,0的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴的正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 若直线mx−y+m+3=0与圆x2+y2=4相切，则m的值为（ C ）.
A. 3B. 1C. 33D. −3
[解析]因为直线mx−y+m+3=0 与圆x2+y2=4 相切，所以由圆心到直线的距离等于半径，即m+3m2+1=2，解得m=33.故选C.
2. [2024·吉安模拟]下列能将圆x2+y2−2x−4y+4=0平分的直线是（ C ）.
A. x+y−1=0B. x+y+3=0C. x−y+1=0D. x−y+3=0
[解析]要使直线平分圆，直线经过该圆的圆心即可，
由x2+y2−2x−4y+4=0，得x−12+y−22=1，
所以圆心坐标为1,2.
经检验可知圆心在x−y+1=0 上，故选C.
3. 若圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2−2mx+m2−m=0外切，则实数m=（ D ）.
A. −1B. 1C. 1或4D. 4
[解析]由题意得圆C2：x−m2+y2=m,所以m>0，即圆C1,C2的圆心分别为C10,0,C2m,0.
设圆C1,C2的半径分别为r1,r2，则r1=2,r2=m，所以C1C2=m=r1+r2=2+m，所以m=4.故选D.
4. （改编）圆x2+y2−4x−4y−10=0上的点到直线x+y+6=0的最大距离与最小距离之和为（ D ）.
A. 22B. 42C. 82D. 102
[解析]圆x2+y2−4x−4y−10=0 的标准方程为x−22+y−22=18，圆心坐标为2,2，半径为32，
圆心到直线x+y+6=0 的距离为2+2+62=52，
所以圆上的点到直线x+y+6=0 的最大距离为52+32=82，
最小距离为52−32=22，
所以圆x2+y2−4x−4y−10=0 上的点到直线x+y+6=0 的最大距离与最小距离之和为102.故选D.
5. （改编）若一条光线从点A−2,−3射出，经y轴反射后与圆x+32+y−22=1相切，则反射光线在y轴上的截距为（ D ）.
A. 23B. 43C. −43或−34D. −13或−32
[解析]点A−2,−3 关于y 轴的对称点为A'2,−3，
故可设反射光线所在直线的方程为y+3=kx−2，
即kx−y−2k−3=0.
因为反射光线与圆x+32+y−22=1 相切，
所以圆心−3,2 到反射光线的距离d=−3k−2−2k−3k2+1=1，
即24k2+50k+24=0，解得k=−43 或k=−34,
所以反射光线所在直线的方程为y+3=−43x−2 或y+3=−34x−2.令x=0,得y=−13 或y=−32.故选D.
6. [2024·上饶模拟]已知A，B为圆C：x−m2+y−n2=4m,n∈R上两个不同的点，C为圆心，且满足CA+CB=23，则AB=（ C ）.
A. 23B. 22C. 2D. 4
[解析]依题意，CA=CB=2，由CA+CB=23，得CA2+CB2+2CA⋅CB=12，解得CA⋅CB=2，
所以AB=CB−CA=CB2+CA2−2CA⋅CB=2.故选C.
7. [2024·九江模拟]已知直线l：x+y+2=0与x轴，y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y=−mxm∈R和l2：my−x−4m+2=0交于点P，则△MNP的面积的最小值为（ B ）.
A. 10B. 5−10C. 22D. 210−3
[解析]如图所示，根据题意可知，动直线l1：mx+y=0 过定点O0,0，动直线l2：my−x−4m+2=0，
即直线my−4+2−x=0 过定点B2,4.
因为m⋅−1+1⋅m=0，所以无论m 取何值，都有l1⊥l2，
所以点P 在以OB 为直径的圆上，且圆心坐标为1,2，
半径为12OB=5.
设Px,y，则点P 的轨迹方程为x−12+y−22=5，
圆心到直线l 的距离为1+2+22=522，则点P 到直线l 的距离的最小值为522−5.
由题意可知M−2,0，N0,−2，
则MN=22，
所以△MNP 的面积的最小值为12×22×522−5=5−10.故选B.
8. [2024·益阳模拟]若直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ B ）.
A. [−1,2]B. (−2,−1]C. (−1,1]∪{−2}D. −2,1
[解析]由题可得，y=x+b是斜率为1的直线，
曲线x=1−y2 是以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象，如图，
当直线y=x+b 与圆x=1−y2 相切时，b2=1⇒b=−2或b=2（舍去），
当直线y=x+b 过点1,0 时，b=−1,
由图可得，当−2综合提升练
9. [2024·文昌模拟]（多选题）已知圆O1：x2+y2−2x−3=0和圆O2：x2+y2−2y−1=0的两个交点分别为A,B，直线l：x+y+λ=0与圆O1交于C,D两点，则下列结论正确的是（ CD ）.
A. 直线AB的方程为x−y+2=0
B. 圆O2上存在两点P和Q，使得PQ>AB
C. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2
D. 若O1C⊥O1D，则λ=−3或λ=1
[解析]圆O1：x2+y2−2x−3=0 的标准方程为x−12+y2=4，圆心为O11,0，半径r1=2，
圆O2：x2+y2−2y−1=0 的标准方程为x2+y−12=2，圆心为O20,1，半径r2=2，
所以O1O2=1−02+0−12=2，r1−r2所以两圆相交，两圆方程相减得x−y+1=0，
即直线AB 的方程为x−y+1=0，故A 错误；
圆心O1 到直线AB 的距离d1=22=2，所以AB=2r12−d12=22，对于圆O2 上的任意两点P,Q，PQ≤2r2=AB，故B 错误；
圆O1 上的点到直线AB 的距离的最大值为d1+r1=2+2，故C 正确；
因为O1C⊥O1D，所以圆心O1 到直线CD 的距离为2，所以1+λ2=2，解得λ=−3 或λ=1，故D 正确.故选CD.
10. [2024·揭阳模拟]（多选题）已知直线l：3x+2y+m=0，圆C：x2+y2+4x−y+14=0，则下列说法错误的是（ AC ）.
A. 若m=5+13或m=5−13，则直线l与圆C相切
B. 若m=5，则圆C关于直线l对称
C. 若圆E：x2+y2+52x−2y−58m=0与圆C相交，且两个交点所在的直线恰为l，则m=2
D. 若m>5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则5+13[解析]圆C:x2+y2+4x−y+14=0,即x+22+y−122=4，故圆心C(−2,12).
对于A，若直线l 与圆C 相切，则圆心C 到直线l 的距离等于半径，则3×−2+2×12+m32+22=2，解得m=213+5 或m=−213+5，故A 错误；
对于B,若圆C 关于直线l 对称，则直线l 过圆心，则3×−2+2×12+m=0，解得m=5，故B 正确；
对于C，将圆C 与圆E 的方程作差得3x2+y+14+5m8=0，即3x+2y+12+5m4=0，则12+54m=m，解得m=−2，经检验，此时圆E：x2+y2+52x−2y+54=0，满足D2+E2−4F=254+4−5=214>0，则m=−2，故C 错误；
对于D，若圆C 上有且仅有两个点到直线l 的距离为1，则圆心C(−2,12)到直线l 的距离d∈r−1,r+1，即d∈1,3，即1<3×−2+2×12+m32+22<3，且m>5，解得5+1311. [2024·衡水模拟]若圆C1：x2+y2=1和圆C2：x2+y2−23ax−2ay−5a=0a>12有且仅有一条公切线，则a=1.
[解析]如图，由题意得圆C1 与圆C2 内切，又圆C2：x−3a2+y−a2=4a2+5aa>12，
所以C1C2=3a2+a2=4a2+5a−1，
所以2a+1=4a2+5a，解得a=1.
12. [2024·岳阳联考]已知圆O：x2+y2=1，点P在直线l：x−y−22=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，记劣弧AB⌢与PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则S的值为3−π3 .
[解析]如图所示，圆O：x2+y2=1 的圆心O 的坐标为0,0，半径为1.
因为sin∠OPB=rOP=1OP，且y=sin x 在(0,π2)上单调递增，
所以当OP 最小时，∠OPB最大，即∠APB 最大，此时OP⊥l，
且OP=2212+−12=2，PA=PB=3，
所以四边形OAPB 的面积S四边形OAPB=2×12×3×1=3.
设∠AOP=θ ，则∠AOB=2θ ，S扇形OAB=12×12×2θ=θ ，
所以劣弧AB⌢ 及PA，PB所围成的平面图形的面积S=3−θ .
又因为sin θ=32，θ∈(0,π2)，所以θ=π3，
所以S=3−θ=3−π3.
应用情境练
13. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A−2,0，动点M满足MA=2MO，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y=kx−1+b与圆C恒有公共点，则实数b的取值范围为[−153,153].
[解析]设点Mx,y，因为MA=2MO，所以x+22+y2=4x2+4y2，
所以动点M 的轨迹为阿氏圆C：3x2+3y2−4x−4=0.
易知直线l：y=kx−1+b 恒过点1,b，
若对任意实数k，直线l：y=kx−1+b 与圆C 恒有公共点，
则点1,b 在圆C 的内部或圆上，所以3+3b2−8≤0，
所以3b2≤5，解得−153≤b≤153，
所以实数b 的取值范围为[−153,153].
14. [2024·扬州模拟]圆O（O为坐标原点）与直线l：x+y=2相切，与直线l垂直的直线m与圆O交于不同的两点P，Q，若OP⋅OQ<0，则直线m的纵截距的取值范围是−2,2 .
[解析]由题意得，圆心0,0 到直线l1：x+y−2=0 的距离为圆的半径，即r=22=2，所以圆O 的标准方程为x2+y2=2.
设直线m 的方程为y=x+b，联立y=x+b, x2+y2=2, 消去y 得2x2+2bx+b2−2=0.
设直线m 与圆O 的交点为Px1,y1，Qx2,y2，
由Δ=2b2−8b2−2>0，
得b2<4，x1+x2=−b，x1x2=12b2−2， ①
因为OP⋅OQ<0，所以x1x2+y1y2<0.
又y1=x1+b，y2=x2+b，所以x1x2+y1y2=2x1x2+bx1+x2+b2<0， ②
由①②得b2<2，满足Δ>0，即−2故直线m 的纵截距的取值范围是−2,2.
创新拓展练
15. [2024·昆明联考]已知圆O：x2+y2=4，过点P1,1的直线l与圆O交于A,B两点，则OA⋅OB的取值范围为[−4,0] .
[解析]圆O：x2+y2=4，圆心为O0,0，半径r=2.
因为12+12=2<4，所以点P1,1 在圆内，依题意可知OA=OB=2，
当P1,1 为AB 的中点时，OA，OB的夹角最小，
此时OP⊥AB，OP=2，所以cs∠POA=OPOA=22.
因为∠POA∈(0,π2)，所以∠POA=π4，所以∠AOB=π2，
即OA，OB夹角的最小值为π2，
当线段AB 是圆的一条直径时，OA，OB的夹角最大，最大值为π ，
所以∠AOB∈[π2,π]，
所以OA⋅OB=OAOBcs∠AOB=4cs∠AOB∈[−4,0].
16. [2024·潍坊联考]已知⊙C的圆心在直线3x−y−3=0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x−y+3=0截得的弦长为2.
（1）求⊙C的标准方程.
（2）设点D在⊙C上运动，且点T满足DT=2TO（O为原点），记点T的轨迹为E.
①求曲线E的方程.
②若过点M1,0的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴的正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
[解析]（1）由题意可设圆C 的圆心C 的坐标为1,b，
因为圆心C 在直线3x−y−3=0 上，
所以3−b−3=0，解得b=0，即圆心为C1,0，
所以圆心C 到直线l 的距离d=22.设圆C 的半径为r，
所以弦长为2r2−d2=2r2−8.
又2r2−8=2，所以r2=9，
所以圆C 的标准方程为x−12+y2=9.
（2）①设Tx,y，Dx',y'，
则DT=x−x',y−y',TO=−x,−y，
由DT=2TO，得x−x'=−2x, y−y'=−2y, 所以x'=3x, y'=3y,
由D 在圆C 上运动得3x−12+3y2=9，
整理可得点T 的轨迹方程E 为x−132+y2=1.
②当直线AB⊥x 轴时，x轴必定平分∠ANB.
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx−1，
联立x−132+y2=1,
y=kx−1,
化简可得1+k2x2+−23−2k2x+k2−89=0，
则Δ=−2k2−232−4k2+1k2−89=209k2+4>0.
设Nt,0，Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=23+2k21+k2,x1x2=k2−891+k2.
若x 轴平分∠ANB，则kAN+kBN=0，所以y1x1−t+y2x2−t=0.
又y1=kx1−1，y2=kx2−1，
所以2x1x2−t+1x1+x2+2t=0，
所以2⋅k2−891+k2−t+123+2k21+k2+2t=0，
所以k2−89−t+113+k2+t1+k2=0，
所以−89−13t+1+t=0，解得t=116，
所以当点N 的坐标为(116,0)时，x轴平分∠ANB.