2025高考数学一轮复习-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含解析】

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1．直线7x－24y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相切，则正实数m的取值是( )
A．25eq \r(5)－55或25eq \r(5) B．25eq \r(5)＋55或25eq \r(5)－55
C．25eq \r(5)－55D．25eq \r(5)＋55
2．“点(a，b)在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知直线l：x－2ky＋1＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)，则k＝( )
A．1 B．±1
C．eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)
4．已知点P(6,0)，点A(1,1)，动点C满足eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(PC,\s\up7(―→))＝0(O为坐标原点)，过A点的直线被动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为( )
A．y＝2x－1B．y＝－2x＋1
C．y＝eq \f(1,2)x－1D．y＝－eq \f(1,2)x＋1
5．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是( )
A．(－∞，1]B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
6．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有( )
A．直线l恒过定点(3,1)B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交D．直线l与圆C相离
7．(多选)已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2eq \r(3)
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
8．已知直线l与圆x2＋y2－2x＝0相交于A，B两点，线段AB中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，则|AB|＝________．
9．直线x－eq \r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是________．
10．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
11．已知点P是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为( )
A．3B．eq \f(\r(21),2)
C．eq \r(2)D．2
12．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )
A．圆O1和圆O2有两条公切线
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)
13．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的值为________．
14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－eq \r(3)y＋2＝0均与圆相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值．
15．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．现过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为________；若点Q是直线l：x－y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点________．
16．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
课时过关检测(四十九)
直线与圆、圆与圆的位置关系【解析版】
1．直线7x－24y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相切，则正实数m的取值是( )
A．25eq \r(5)－55或25eq \r(5) B．25eq \r(5)＋55或25eq \r(5)－55
C．25eq \r(5)－55D．25eq \r(5)＋55
解析：C 圆x2＋y2－2x＋4y＝0⇔(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心(1，－2)，半径r＝eq \r(5)，由题意可知圆心到直线的距离d＝eq \f(|7×1－24×－2＋m|,\r(72＋242))＝eq \r(5)，即m2＋110 m－100＝0，解得m＝－55±25eq \r(5)，∵m＞0，∴m＝－55＋25eq \r(5)．故选C．
2．“点(a，b)在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：B 命题p：点(a，b)在圆x2＋y2＝1外等价于a2＋b2＞1，命题q：直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交等价于eq \f(2,\r(a2＋b2))＜1⇔a2＋b2＞4，从而有p⇒/ q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．故选B．
3．已知直线l：x－2ky＋1＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)，则k＝( )
A．1 B．±1
C．eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)
解析：D ∵⊙O的半径为1，eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)，得cs∠AOB＝－eq \f(1,2)，∠AOB＝eq \f(2,3)π，∠ABO＝eq \f(π,6)，∴圆心到直线AB的距离为OB·sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，则eq \f(1,\r(1＋4k2))＝eq \f(1,2)，k＝±eq \f(\r(3),2)．故选D．
4．已知点P(6,0)，点A(1,1)，动点C满足eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(PC,\s\up7(―→))＝0(O为坐标原点)，过A点的直线被动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为( )
A．y＝2x－1B．y＝－2x＋1
C．y＝eq \f(1,2)x－1D．y＝－eq \f(1,2)x＋1
解析：A 设C(x，y)，由eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(PC,\s\up7(―→))＝0得动点C的轨迹方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，则动点C的轨迹曲线为圆，圆心为D(3,0)．又点A(1,1)在圆内，所以kAD＝eq \f(1－0,1－3)＝－eq \f(1,2)，所以最短弦所在直线的斜率为2，所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．故选A．
5．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是( )
A．(－∞，1]B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
解析：A 由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k(x＋y)－2y－2＝0，求得定点P(1，－1)，又P(1，－1)在直线mx－ny－2＝0上，m＋n＝2，即n＝2－m．∴mn＝(2－m)m＝－(m－1)2＋1，∴mn的取值范围是(－∞，1]．故选A．
6．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有( )
A．直线l恒过定点(3,1)B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交D．直线l与圆C相离
解析：AC 将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,2x＋y－7＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))则无论m为何值，直线l过定点(3,1)，又定点(3,1)与圆心C(1,2)的距离为eq \r(3－12＋1－22)＝eq \r(5)＜5，故直线l与圆C恒相交，故A、C正确．
7．(多选)已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2eq \r(3)
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
解析：ABC 把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1,0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×eq \r(4－1)＝2eq \r(3)，B正确；圆心(1,0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4,4)，半径为3，则点A与点B之间的距离为eq \r(4－12＋42)＝5，圆A与圆B相切，D错误．故选A、B、C．
8．已知直线l与圆x2＋y2－2x＝0相交于A，B两点，线段AB中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，则|AB|＝________．
解析：圆的圆心为(1,0)，半径为1，则圆心与线段中点的距离d＝eq \f(\r(2),2)，所以|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(1－\f(1,2))＝eq \r(2)．
答案：eq \r(2)
9．直线x－eq \r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是________．
解析：画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d＝eq \f(|2|,\r(12＋\r(3)2))＝1，∴sin∠AOC＝eq \f(d,|OC|)＝eq \f(1,2)，∴∠AOC＝eq \f(π,6)，∴∠CAO＝eq \f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)．
答案：eq \f(2π,3)
10．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)由题意可得圆心为C(2,3)，半径为2，直线l与圆C相切，
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意；
当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
∴eq \f(|2k－3－4k－1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq \f(3,4)，
∴直线l的方程为3x＋4y－8＝0，
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0．
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
圆心C(2,3)到直线l的距离为eq \f(|2＋3－3|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴弦长为2eq \r(22－\r(2)2)＝2eq \r(2)．
11．已知点P是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为( )
A．3B．eq \f(\r(21),2)
C．eq \r(2)D．2
解析：D 易知点P在圆外，圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1．当PC所在直线与直线kx＋y＋4＝0(k＞0)垂直时，|PA|最小．此时在Rt△PAC中，|PC|＝eq \r(|PA|2＋|AC|2)＝eq \r(5)，即点C到直线kx＋y＋4＝0(k＞0)的距离为eq \r(5)，所以eq \f(5,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，解得k＝±2．又k＞0，所以k＝2．故选D．
12．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )
A．圆O1和圆O2有两条公切线
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)
解析：ABD 对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)，D正确．故选A、B、D．
13．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的值为________．
解析：设动点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，又点P是圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有的一点，所以两圆相切．圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心坐标为(－1,0)，半径为2，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(2,0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1；当两圆内切时，|r－2|＝3，r＞0，得r＝5．
答案：1或5
14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－eq \r(3)y＋2＝0均与圆相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值．
解：(1)设圆心(a,0)，a＞0，∴圆的半径为r＝a，∴eq \f(|a＋2|,2)＝a，解得a＝2．
∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,x－22＋y2＝4，))消去y得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0，∵直线与圆有两个交点，
∴Δ＝4(m－2)2－8m2＞0，解得－2－2eq \r(2)＜m＜－2＋2eq \r(2)，
且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2－m，,x1·x2＝\f(m2,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝2＋m，,y1·y2＝\f(m2,2)＋2m，))又eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(PN,\s\up7(―→))＝0，
∴(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，
整理得m2＋m－1＝0，解得m＝eq \f(－1－\r(5),2)或m＝eq \f(－1＋\r(5),2)．
15．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．现过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为________；若点Q是直线l：x－y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点________．
解析：根据题意，圆O：x2＋y2＝4中，由r2＝4，点P(1,3)在圆O外，过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为x＋3y－4＝0．设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得n(x＋y)＋4x－4＝0，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,4x－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))则直线AB恒过定点(1，－1)．
答案：x＋3y－4＝0 (1，－1)
16．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2．
又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为eq \f(－1,x1)·eq \f(－1,x2)＝－eq \f(1,2)，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，\f(1,2)))，可得BC的中垂线方程为y－eq \f(1,2)＝x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x2,2)))．
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－eq \f(m,2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(m,2)，,y－\f(1,2)＝x2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x2,2)))，))
又xeq \\al(2,2)＋mx2－2＝0，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(m,2)，,y＝－\f(1,2).))
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)，－\f(1,2)))，半径r＝eq \f(\r(m2＋9),2)．
故圆在y轴上截得的弦长为2 eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))2)＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．