2025高考数学一轮复习-9.4-列联表与独立性检验-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-9.4-列联表与独立性检验-专项训练【含解析】，共11页。试卷主要包含了1%　　B，9%，下列关于χ2的说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动
B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动
C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关
2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7．01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为( )
A．0．1% B．1%
C．99% D．99．9%
3．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%，则c等于( )
A．3B．4
C．5D．6
附：
4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的eq \f(1,2)，男生追星的人数占男生人数的eq \f(1,6)，女生追星的人数占女生人数的eq \f(2,3)，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有( )
参考数据及公式如下：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
A．12人 B．11人
C．10人D．18人
5．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，
其中a,15－a均为大于5的整数，根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，认为X，Y有关，则a的值可能为( )
A．8B．9
C．7D．6
6．(多选)下列关于χ2的说法正确的是( )
A．根据2×2列联表中的数据计算得出χ2＝6．735＞6．635＝x0．01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系
B．χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大
C．χ2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量
D．χ2＝eq \f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量
7．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：
单位：人
若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为eq \f(3,5)，则在犯错误的概率不超过________下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．
8．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；
(2)根据小概率值α＝0．025的独立性检验．
9．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：
根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是( )
A．焦虑B．说谎
C．懒惰D．以上都不对
10．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：
根据小概率值α＝0．005的独立性检验，________推断出在犯错误的概率不大于0．005的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关(填“能”或“不能”)．
11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
单位：人
(1)根据小概率值α＝0．01的独立性检验，能否认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．
12．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70，70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)．
②国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61．7,62．4,63．6,65．9,66．4,68．5,69．1,69．3,69．5．
③40个国家的人均国内生产总值(万美元)和国家创新指数得分情况统计图：
④中国的国家创新指数得分为69．5，人均国内生产总值9 960美元．
(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)
根据以上信息，解答下列问题：
(1)中国的国家创新指数得分排名世界第几？
(2)是否有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？
(3)用(1)(2)得到的结论，结合所学知识，合理解释④中客观存在的数据．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．
9.4-列联表与独立性检验-专项训练【解析版】
1．想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验( )
A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动
B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动
C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关
解析：D 独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设．
2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7．01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为( )
A．0．1% B．1%
C．99% D．99．9%
解析：C 易知χ2＝7．01>6．635＝x0．01，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．
3．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%，则c等于( )
A．3B．4
C．5D．6
附：
解析：A 列2×2列联表如下：
故χ2＝eq \f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥5．024．把选项A、B、C、D代入验证可知选A．
4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的eq \f(1,2)，男生追星的人数占男生人数的eq \f(1,6)，女生追星的人数占女生人数的eq \f(2,3)，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有( )
参考数据及公式如下：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
A．12人 B．11人
C．10人D．18人
解析：A 设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
单位：人
若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则χ2>3．841，由χ2＝eq \f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)－\f(5x2,18)))2,\f(x,2)·x·x·\f(x,2))＝eq \f(3,8)x>3．841，解得x>10．24，因为eq \f(x,2)，eq \f(x,6)为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人．故选A．
5．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，
其中a,15－a均为大于5的整数，根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，认为X，Y有关，则a的值可能为( )
A．8B．9
C．7D．6
解析：AB 根据公式，得χ2＝eq \f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq \f(13×13a－602,20×45×3×2)>3．841＝x0．05，根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意．
6．(多选)下列关于χ2的说法正确的是( )
A．根据2×2列联表中的数据计算得出χ2＝6．735＞6．635＝x0．01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系
B．χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大
C．χ2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量
D．χ2＝eq \f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量
解析：ABC D选项的公式中分子应该是n(ad－bc)2．故选A、B、C．
7．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：
单位：人
若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为eq \f(3,5)，则在犯错误的概率不超过________下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．
解析：设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A，由已知得P(A)＝eq \f(q＋35,100)＝eq \f(3,5)，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60．χ2＝eq \f(100×25×35－25×152,40×60×50×50)＝eq \f(25,6)≈4．167>3．841＝x0．05．根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，在犯错的概率不超过5%下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
答案：5%
8．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；
(2)根据小概率值α＝0．025的独立性检验．
解：建立性别与态度的2×2列联表如下：
单位：人
根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为eq \f(22,110)＝0．2，女生中作肯定态度的频率为eq \f(22,60)≈0．37．作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．
零假设为H0：性别和态度没有关系．
根据列联表中的数据得到χ2＝eq \f(170×22×38－22×882,110×60×44×126)≈5．622>5．024＝x0．025．
根据小概率值α＝0．025的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别和态度有关系，此推断认为犯错误的概率不大于0．025．
9．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：
根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是( )
A．焦虑B．说谎
C．懒惰D．以上都不对
解析：B 对于焦虑，说谎，懒惰三种心理障碍，设它们观测值分别为χeq \\al(2,1)，χeq \\al(2,2)，χeq \\al(2,3)，由表中数据可得：
χeq \\al(2,1)＝eq \f(110×5×60－25×202,30×80×25×85)≈0．863，
χeq \\al(2,2)＝eq \f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6．366，
χeq \\al(2,3)＝eq \f(110×15×30－15×502,30×80×65×45)≈1．410，因为χeq \\al(2,2)的值最大，所以说谎与性别关系最大．故选B．
10．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：
根据小概率值α＝0．005的独立性检验，________推断出在犯错误的概率不大于0．005的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关(填“能”或“不能”)．
解析：零假设为H0：喜欢“人文景观”景点与年龄无关．由公式χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2≈11．978>7．879＝x0．005，根据小概率值α＝0．005的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关，此推断认为犯错误的概率不大于0．005．
答案：能
11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
单位：人
(1)根据小概率值α＝0．01的独立性检验，能否认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．
解：(1)零假设为H0：在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系，
根据2×2列联表得，χ2＝eq \f(80×10×10－10×502,60×20×20×60)＝eq \f(80,9)≈8．889>6．635＝x0．01，
根据小概率值α＝0．01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0．01．
(2)由题意得，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(5,6)))，
且P(X＝k)＝Ceq \\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))3－k，k＝0,1,2,3，
故E(X)＝np＝3×eq \f(5,6)＝eq \f(5,2)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq \f(5,6)×eq \f(1,6)＝eq \f(5,12)．
12．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70，70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)．
②国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61．7,62．4,63．6,65．9,66．4,68．5,69．1,69．3,69．5．
③40个国家的人均国内生产总值(万美元)和国家创新指数得分情况统计图：
④中国的国家创新指数得分为69．5，人均国内生产总值9 960美元．
(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)
根据以上信息，解答下列问题：
(1)中国的国家创新指数得分排名世界第几？
(2)是否有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？
(3)用(1)(2)得到的结论，结合所学知识，合理解释④中客观存在的数据．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．
解：(1)由国家创新指数得分的频率分布直方图可得，“国家创新指数得分”在70≤x≤100的频率为(0．03＋0．005＋0．005)×10＝0．4．
因此，中国的国家创新指数得分排名为0．4×40＋1＝17．
(2)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可得2×2列联表如下：
由2×2列联表可得χ2＝eq \f(40×2×6－12×202,14×26×18×22)≈14．43，
由于14．43>10．828，
所以有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”．
(3)由(2)的结论说明：“人均国内生产总值与国家创新指数得分成线性相关关系”；事实上，我国的人均国内生产总值并不高，但是我国的国家创新指数相对比较高，恰恰说明了“中国特色社会主义制度的优越性，能够集中社会力量办大事”．
α
0．05
0．025
xα
3．841
5．024
α
0．050
0．010
0．001
xα
3．841
6．635
10．828
Y1
Y2
X1
a
20－a
X2
15－a
30＋a
年龄
是否喜欢西班牙队
合计
不喜欢西班牙队
喜欢西班牙队
高于40岁
p
q
50
不高于40岁
15
35
50
合计
a
b
100
α
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
xα
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
焦虑
说谎
懒惰
总计
女生
5
10
15
30
男生
20
10
50
80
总计
25
20
65
110
喜欢
不喜欢
合计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
合计
30
25
55
性别
休闲方式
合计
看电视
看书
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
α
0．050
0．010
0．001
xα
3．841
6．635
10．828
α
0．05
0．025
xα
3．841
5．024
X
Y
合计
y1
y2
x1
10
21
31
x2
c
d
35
合计
10＋c
21＋d
66
α
0．050
0．010
0．001
xα
3．841
6．635
10．828
性别
追星
合计
喜欢追星
不喜欢追星
男生
eq \f(x,6)
eq \f(5x,6)
x
女生
eq \f(x,3)
eq \f(x,6)
eq \f(x,2)
合计
eq \f(x,2)
x
eq \f(3x,2)
Y1
Y2
X1
a
20－a
X2
15－a
30＋a
年龄
是否喜欢西班牙队
合计
不喜欢西班牙队
喜欢西班牙队
高于40岁
p
q
50
不高于40岁
15
35
50
合计
a
b
100
α
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
xα
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
性别
态度
合计
肯定
否定
男生
22
88
110
女生
22
38
60
合计
44
126
170
焦虑
说谎
懒惰
总计
女生
5
10
15
30
男生
20
10
50
80
总计
25
20
65
110
喜欢
不喜欢
合计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
合计
30
25
55
性别
休闲方式
合计
看电视
看书
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
α
0．050
0．010
0．001
xα
3．841
6．635
10．828
国家创新指数得分
人均国内生产总值
合计
人均国内生产总值≤2
人均国内生产总值>2
国家创新指数得分≥65
2
20
22
国家创新指数得分<65
12
6
18
合计
14
26
40