2025届高考数学二轮复习-数列题型填空题（二）专项训练【含解析】

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1．已知等差数列的前n项和为,若,则______.
答案：3
解析：,又,所以.
2．已知数列为等比数列,是其前n项和,若,,则________.
答案：12
解析：设等比数列的公比为q,,由得,因为,所以,
由,得,所以.
3．在等比数列中，，，则_________.
答案：8
解析：由题，则，且，所以，
故答案为：8
4．已知数列，是递增数列，则的取值范围_________.
答案：
解析：数列，是递增数列，
∴对任意的自然数n都成立，
即恒成立，，
故答案为：.
5．已知数列满足,则__________．
答案：
解析：由题,,
则,则数列是以为首项,2为公差的等差数列,
则,,
即答案为.
6．在等比数列中，，则________________.
答案：
解析：设等比数列的公比为q，
则，
又，
故.
7．已知等差数列的前n项和为,若,则________
答案：31
解析：设等差数列的公差为d,
则,解得,
所以,
.
故答案为：31.
8．已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________.
答案：
解析：因为函数，所以当时，.因为数列是正项等比数列，且，所以，所以1，同理可得，令，则，所以，故.
9．已知为等差数列的前n项和，，，则___________.
答案：
解析：方法一：令（A，B为常数，），
则得.
，，
.
方法二：不妨设，
则，
.
.
方法三：是等差数列，也为等差数列，设其公差为D.
，，，解得.
10．《莱因德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三分之和的是较小的两份之和，则最小的一份为_________.
答案：
解析：设等差数列的公差是，首项是，
由题意得， QUOTE 5?1+5×42?=100?3+?4+?5×17=?1+?2 Errr! Digit expected.则 QUOTE 5?1+10?=1003?1+9?×17=2?1+? Errr! Digit expected.，解得
所以，所以最小的一份为，故答案为：.
11．已知数列满足,且,表示数列的前n项和,则使不等式成立的正整数n的最小值是_____________.
答案：10
解析：因为数列满足且,所以数列是首项为2,公差为2的等差数列,
所以,所以,
所以
.
令,解得.
故答案为：10.
12．已知数列的前n项和为，（），且，.若恒成立，则实数m的取值范围为______.
答案：
解析：由，可得.两式相减，可得，所以数列为等差数列.因为，，所以，所以，，则.令，则.当时，，数列单调递减，而，，，所以数列中的最大项为1，故，即实数m的取值范围为.故答案为:.
13．已知数列中,,,若对任意,,则数列的前n项和______.
答案：
解析:由,且,,可知,
则可化为,
则有,即等比数列,
且公比为2,首项为,则,
所以,
即数列的前n项和为.
故答案为:.
14．设等差数列的各项均为整数,首项,且对任意正整数n,总存在正整数m,使得,则这样的数列的个数为______.
答案：3
解析：设等差数列的公差为d,
由条件知(k是某个正整数),则,
即,因此必有,且,
而对任意正整数n,可得
,
即的表示式满足等差数列的通项公式的结构,
又n,n-1为一奇一偶,即为整数,
所以为等差数列中的项,
因为等差数列的各项均为整数,所以只要且）为整数,
那么就是中的一项,
易知：可取1,3,即,对应可得到3个满足条件的等差数列.
故答案为:3.
15．对于数列,定义为数列的“加权和”,已知某数列的“加权和”,记数列的前n项和为,若对任意的恒成立,则实数p的取值范围为___________．
答案：
解析：由题意可得,
时,,
两式相减可得：,
化为,
时,,满足上式,
故,,
故,
对任意的恒成立,
∴ ,即,
解得,即,
故答案为：.